樊 毅，張 寧，王耀中

（1.中南林業(yè)科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410004;2．湖南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，湖南 長沙 410079；3.湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410079）*

·金融與保險(xiǎn)·

基于雙因素Wang轉(zhuǎn)換方法的長壽風(fēng)險(xiǎn)債券定價(jià)研究

樊 毅1，2，張 寧3，王耀中2

（1.中南林業(yè)科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410004;2．湖南大學(xué) 經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易學(xué)院，湖南 長沙 410079；3.湖南大學(xué) 金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南 長沙 410079）*

在比較國外經(jīng)典債券設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，基于離散型死亡率模型假設(shè)，設(shè)計(jì)一種可調(diào)整上觸碰點(diǎn)的觸發(fā)型長壽債券，運(yùn)用帶永久跳躍的APC模型和雙因素Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)方法對長壽債券進(jìn)行定價(jià)，實(shí)證結(jié)果表明：在不同的參數(shù)組合下的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)均處在一個(gè)合理的范圍，由于模型參數(shù)多、可用死亡率數(shù)據(jù)年限短，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的結(jié)果對無風(fēng)險(xiǎn)利率等參數(shù)敏感性較高。

長壽風(fēng)險(xiǎn)債券；雙因素Wang轉(zhuǎn)換；死亡率；定價(jià)

一、引 言

近年來，長壽風(fēng)險(xiǎn)日益嚴(yán)峻，學(xué)者們不斷尋求和探索新的風(fēng)險(xiǎn)管理方式，并將目光集中在發(fā)達(dá)的資本市場，于是，死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化越來越受到關(guān)注和重視。長壽債券是一種本金或未來息票給付依賴于生存者指數(shù)的債券。不少學(xué)者對長壽債券的設(shè)計(jì)與定價(jià)進(jìn)行了研究，死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化的概念首次在Samuel H.Cox（1998）的演講中被提出；Blake和Burrows（2001）認(rèn)為可以運(yùn)用長壽債券來規(guī)避長壽風(fēng)險(xiǎn)，首次提出了基于生存概率連續(xù)性支付票息的長壽債券[1]。在風(fēng)險(xiǎn)定價(jià)方面，Wang分別于2000年和2002年在金融風(fēng)險(xiǎn)和保險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)的定價(jià)上推廣運(yùn)用概率分布扭曲方法[2，3]。Bauer（2010）等通過比較分析Wang轉(zhuǎn)換和其他定價(jià)方法，發(fā)現(xiàn)Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)方法較其它方法更優(yōu)[4]。Wang轉(zhuǎn)換方法通過長壽風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)格這一參數(shù)，將實(shí)際生存率轉(zhuǎn)換成風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整后的生存率，然后用無風(fēng)險(xiǎn)利率進(jìn)行貼現(xiàn)，從而得到長壽風(fēng)險(xiǎn)證券的公允價(jià)值[5，6]。Lin和Cox（2005）將Wang轉(zhuǎn)換方法運(yùn)用在長壽債券的定價(jià)上，測算得出長壽債券的市場價(jià)格[7]。在過去的幾十年里，保險(xiǎn)公司成功地將財(cái)產(chǎn)保險(xiǎn)巨災(zāi)風(fēng)險(xiǎn)通過發(fā)行巨災(zāi)債券的方式轉(zhuǎn)移至金融市場[8，9]。

目前，眾多死亡率債券和長壽債券被設(shè)計(jì)出來并在資本市場上發(fā)行。國內(nèi)方面，謝世清（2014）采用風(fēng)險(xiǎn)中性的定價(jià)方法，推導(dǎo)得出長壽債券的定價(jià)解析式[10]。尚勤和秦學(xué)志設(shè)計(jì)了一種長壽債券，運(yùn)用Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)方法對該債券進(jìn)行定價(jià)，并使用我國經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了實(shí)證研究[11，12]。胡仕強(qiáng)（2015）利用Lee-Carter模型和Wang轉(zhuǎn)換方法，基于中國人口死亡率預(yù)測數(shù)據(jù)對長壽連接型債券進(jìn)行了定價(jià)嘗試[13]。尚勤（2010）從投資者視角對歐洲投資銀行（EIB）和法國巴黎銀行（BNP）在2004年聯(lián)合發(fā)行的長壽債券從息票支付、違約風(fēng)險(xiǎn)、風(fēng)險(xiǎn)承擔(dān)機(jī)制以及模型參數(shù)的不確定性等方面進(jìn)行深入剖析，分析了該債券發(fā)行失敗的原因[14]。國內(nèi)外發(fā)行長壽債券以連續(xù)型為主，死亡率模型的使用也大多是連續(xù)型的。本文將基于離散型死亡率模型假設(shè)，設(shè)計(jì)一種可調(diào)整上觸碰點(diǎn)的觸發(fā)型長壽債券，運(yùn)用帶永久跳躍的APC模型和雙因素Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)方法對長壽債券進(jìn)行定價(jià)。

二、本金在險(xiǎn)型長壽債券的設(shè)計(jì)思路

（一）國際經(jīng)典死亡率債券的實(shí)踐

國際經(jīng)典死亡率關(guān)聯(lián)債券以2003年瑞士再保險(xiǎn)公司（Swiss Re）發(fā)行的死亡率債券和2004年歐洲投資銀行（EIB）發(fā)行的長壽債券為代表。

Swiss Re于2003年12月發(fā)行了為期三年的死亡率巨災(zāi)債券，到期日為2007年1月1日，用來轉(zhuǎn)移Swiss Re巨災(zāi)事件的死亡率風(fēng)險(xiǎn)，這是世界上第一支死亡率債券，是壽險(xiǎn)風(fēng)險(xiǎn)證券化史上具有開創(chuàng)意義的嘗試。該債券的面值為4億美元，投資者按季度獲得的息票設(shè)置為3個(gè)月美元LIBOR加135個(gè)基本點(diǎn)。本金則是無保證的，其返還依賴于五國（美國、英國、法國、意大利和瑞士）的死亡率指數(shù)。當(dāng)實(shí)際死亡率指數(shù)不超過2002年基準(zhǔn)水平的1.3倍時(shí)，本金全額返還；死亡率指數(shù)每增加0.01，本金返還減少5%；當(dāng)死亡率指數(shù)超過基準(zhǔn)水平的1.5倍時(shí)，無本金返還。瑞士再保險(xiǎn)公司建立了一個(gè)名為Vita Capital Ltd.的特殊目的的機(jī)構(gòu)（Special Purpose Vehicle，簡稱SPV），該死亡率債券由Vita Capital發(fā)行，Swiss Re支付保費(fèi)給Vita Capital，Vita Capital在資本市場發(fā)行債券獲取4億美元的本金，并每季支付一次利息給債券投資者。本金返還率公式表示如下：

（1）

式（1）中，q0為2002年死亡率指數(shù)；qt分別代表2004年、2005年和2006年的實(shí)際死亡率，該死亡率由美國、英國、法國、意大利和瑞士等五國人口死亡率按一定權(quán)重比例決定。Beelders和Colarossi（2004）用極值理論對該債券進(jìn)行估值，對死亡率進(jìn)行廣義帕累托分布假設(shè)[15]。Beelders和Colarossi通過計(jì)算，預(yù)測死亡率指數(shù)超過130%的可能性在33個(gè)基本點(diǎn)，而大于150%的機(jī)率在15個(gè)基本點(diǎn)，期望損失最高在22個(gè)基本點(diǎn)，這大大低于債券定價(jià)中支付給投資者的135個(gè)基本點(diǎn)，因此，該債券被認(rèn)為對投資者十分有利。從市場反應(yīng)來看，投資者對這種債券的確表現(xiàn)出極大的興趣，對債券的主要投資人（年金基金機(jī)構(gòu)）來說，該債券既提供了高利息收入，又是一個(gè)有豐厚回報(bào)的對沖長壽風(fēng)險(xiǎn)的工具，其發(fā)行取得了巨大的成功。具體結(jié)構(gòu)關(guān)系如圖1所示。

隨后，第一次真正嘗試長壽風(fēng)險(xiǎn)證券化的是2004年11月由法國巴黎銀行（BNP，Business News publishing）設(shè)計(jì)、歐洲投資銀行（European Investment Bank，EIB）發(fā)行的長壽債券。為了轉(zhuǎn)移養(yǎng)老金和年金保險(xiǎn)人的長壽風(fēng)險(xiǎn)，2004年11月，歐洲投資銀行（EIB）發(fā)行了一支初始本金為5.4億英鎊，期限為25年的長壽債券。該債券與Blake和Burrows在2001年提出的經(jīng)典生存?zhèn)^為相似。該債券的設(shè)計(jì)可以幫助年金計(jì)劃者對沖長壽風(fēng)險(xiǎn)，利息的支付與生存者指數(shù)掛鉤，生存者指數(shù)的計(jì)算基于英國政府精算署（GAD）公布的2002年65歲威爾士和英格蘭男性群體實(shí)際死亡率而確定。最初的利息支付額設(shè)定為0.5億英鎊，目標(biāo)群體是英國養(yǎng)老金基金的投資者，債券由Partner Re進(jìn)行了再保險(xiǎn)。遺憾的是，由于沒有足夠的市場需求，該債券在投入市場一年后被撤回。眾多學(xué)者討論了該債券發(fā)行失敗的原因主要有以下幾點(diǎn)：一是債券設(shè)計(jì)上存在缺陷，其中最突出的是存在巨大的基差風(fēng)險(xiǎn)；二是該債券具有資本要求高而風(fēng)險(xiǎn)降低少的特點(diǎn)，且未考慮通貨膨脹因素，這使其需要占用投資機(jī)構(gòu)大量資本，也使得該債券成為一種昂貴的債券；三是債券透明度不高，缺乏靈活性、投資者對長壽風(fēng)險(xiǎn)不熟悉等[16]。

圖1 Swiss Re 2003年發(fā)行的死亡率債券結(jié)構(gòu)圖來源：根據(jù)Cowley和Cummins （2005） 資料整理。

（二）本金在險(xiǎn)型長壽債券的設(shè)計(jì)

長壽債券的類型總的說來可以分為兩大類：一是本金有風(fēng)險(xiǎn)的長壽債券。當(dāng)相關(guān)的死亡率事件發(fā)生時(shí)，債券持有者可能會(huì)喪失全部或部分本金，Swiss Re死亡率債券為該類型。二是利息有風(fēng)險(xiǎn)的長壽債券（EIB/BNP長壽債券屬此類型）。息票的支付隨死亡率波動(dòng)而變化，息票具體的變化方式又可分為利息支付是死亡率指數(shù)的連續(xù)函數(shù)（即連續(xù)型）和投資者因死亡率指數(shù)超過某一約定數(shù)值而損失的部分乃至全部利息（即觸發(fā)型）兩種。另外也有少數(shù)本金和利息均在險(xiǎn)的債券類型。

不同長壽債券的構(gòu)造方式不同，但它們都存在一個(gè)負(fù)責(zé)設(shè)計(jì)、發(fā)行長壽債券的特殊目的的機(jī)構(gòu)（SPV）。SPV是一個(gè)以資產(chǎn)證券化為唯一目的的獨(dú)立法律實(shí)體，在整個(gè)資產(chǎn)證券化操作流程中處于核心地位。通過設(shè)立SPV，實(shí)現(xiàn)了資產(chǎn)與發(fā)起人的有效隔離，它不僅是發(fā)起人和投資者之間的中介，還連接著受托管理機(jī)構(gòu)、評(píng)級(jí)機(jī)構(gòu)、擔(dān)保機(jī)構(gòu)和證券承銷商等中介服務(wù)機(jī)構(gòu)。SPV是資產(chǎn)證券化交易結(jié)構(gòu)的核心和中樞。壽險(xiǎn)公司或年金公司支付固定費(fèi)用給SPV，SPV按照事先約定的死亡率指數(shù)發(fā)生情況向其支付浮動(dòng)的金額，同時(shí)SPV向投資者發(fā)行債券，募得本金，定期支付給投資者固定或浮動(dòng)的息票，期滿按照合同約定的死亡率發(fā)生情況部分或全部返還本金給投資者。SPV現(xiàn)金流如圖2所示。

圖2 SPV現(xiàn)金流圖資料來源：作者整理。

（2）

（3）

式（3）中，U是預(yù)先設(shè)定的生存者指數(shù)的最高觸碰點(diǎn)，L是最低觸碰點(diǎn)，Ut=min（Ut-1,St-1）。本金返還比例依賴于對中國2004—2018年死亡率的預(yù)測。 當(dāng)生存者指數(shù)超過U時(shí)，本金全額返還；當(dāng)生存者指數(shù)低于L時(shí)，則無本金返還。

設(shè)定L=0.6S0,U=0.9S0,S0=q0=0.00844是2003年的生存者指數(shù)。將下觸碰點(diǎn)固定為0.6S0，上觸碰點(diǎn)根據(jù)實(shí)際情況作出調(diào)整，比如從0.9S0調(diào)整到0.85S0，甚至0.8S0。該債券可用圖3表示。

圖3 長壽債券示意圖

三、帶永久跳躍的APC死亡率模型假設(shè)

長壽風(fēng)險(xiǎn)源于人口壽命不可預(yù)期的變化，通常用死亡率和生存率來衡量長壽風(fēng)險(xiǎn)。傳統(tǒng)的靜態(tài)死亡率模型主要用于對死亡率經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合，一般較少用來預(yù)測死亡率。隨著學(xué)者們對死亡率模型研究的逐漸深入，人們開始認(rèn)識(shí)到時(shí)間變化對死亡率有重要影響，從而涌現(xiàn)出一批隨機(jī)動(dòng)態(tài)死亡率模型。

（一）Age-Period-Cohort（APC）模型

在隨機(jī)模型中，影響力最大、運(yùn)用最廣泛的是Lee-Carter模型，隨后很多學(xué)者都致力于對Lee-Carter模型進(jìn)行擴(kuò)展與改進(jìn)。Lee-Carter（1992）初始模型如下[17]：

logm（x,t）=αx+βxkt

（4）

其中，m（x,t）為x歲的人在t時(shí)刻的中心死亡率，αx表示x歲的人死亡率對數(shù)的平均值；kt反映死亡率隨時(shí)間的變化趨勢；βx表示各年齡人群的死亡率對時(shí)間因子kt的敏感程度。時(shí)間因子kt通常服從帶漂移的一維隨機(jī)游走過程和ARIMA過程。

Lee-Carter模型的最主要特點(diǎn)是簡單易運(yùn)用，另外它也能得到比較準(zhǔn)確的死亡率預(yù)測結(jié)果，所以被廣泛運(yùn)用于死亡率預(yù)測的研究中。最近幾年，學(xué)者們在不斷改進(jìn)初始Lee-Carter模型的過程中，一系列Lee-Carter類模型被提出來，如Renshaw和Haberman（2003）模型[18]：

（5）

與死亡率相關(guān)的不僅有年齡和時(shí)間，還有出生年代效應(yīng)，Renshaw和Haberman（2006）率先提出了帶有出生年效應(yīng)的隨機(jī)動(dòng)態(tài)死亡率模型[19]：

（6）

其中參數(shù)γt-x表示出生年效應(yīng)，用來反映出生年t-x對死亡率的影響，雖然模型（6）對歷史數(shù)據(jù)擬合較好，但是穩(wěn)定性不夠。于是Cairns等（2008）指出，當(dāng)改變擬合模型的年齡范圍時(shí)，參數(shù)估計(jì)值就相應(yīng)出現(xiàn)較大區(qū)別，并通過進(jìn)一步的研究發(fā)現(xiàn)，模型穩(wěn)健性與似然函數(shù)的形狀關(guān)系密切[20]。

Currie于2006年給出了模型（6）的精簡形式，即Age-Period-Cohort模型（APC模型）。APC模型對美國歷史數(shù)據(jù)有較高的擬合檢驗(yàn)，同時(shí)還避免了模型（6）中出現(xiàn)的參數(shù)估計(jì)穩(wěn)健性問題[21-23]。

logm（x,t）=αx+kt+γt-x

（7）

樊毅（2017年）運(yùn)用中國人口死亡率數(shù)據(jù)，對Lee-Carter、APC等八個(gè)隨機(jī)死亡率模型進(jìn)行了比較分析，結(jié)果表明，APC模型對中國全年齡人口數(shù)據(jù)的擬合效果和預(yù)測效果也是最優(yōu)的。因此，本文在長壽債券定價(jià)時(shí)，選用APC模型作為死亡率假設(shè)的基本模型①。

（二）帶跳躍的APC模型

Lee和Carter（1992）用一維帶漂移項(xiàng)的隨機(jī)游走過程描述了時(shí)間效應(yīng)kt。

kt+1=kt+μ+σZt+1

（8）

式（8）中，σ表示常數(shù)波動(dòng)率，Zt+1表示一維獨(dú)立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N （0, 1），μ為常數(shù)漂移項(xiàng)。

死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化或長壽風(fēng)險(xiǎn)證券化的目的是用來對沖極端死亡率風(fēng)險(xiǎn)或長壽風(fēng)險(xiǎn)。在風(fēng)險(xiǎn)證券化過程中，由于極端事件導(dǎo)致死亡率的跳躍是一個(gè)需要考慮的因素，但現(xiàn)有很多研究都忽視了極端死亡率的跳躍過程，如Lee和Carter（1992）、Li和Chan（2007）在研究中將流行疾病等極端事件視為一種干擾，從而將其影響從模型中移除出去[24]。當(dāng)前研究中，極少文獻(xiàn)在死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化建模過程中考慮了死亡率的跳躍情況。

Cox等（2006）結(jié)合幾何布朗運(yùn)動(dòng)和復(fù)合泊松過程，提出了連續(xù)時(shí)間下永久跳躍的死亡率模型[25]，Chen和Cox（2009）在此基礎(chǔ)上又給出了離散時(shí)間下的永久跳躍過程[26]。

kt+1=kt+μ-pm+σZt+1+Yt+1Nt+1

（9）

式（9）中，Yt+1代表t+1年發(fā)生跳躍的嚴(yán)重程度的獨(dú)立同分布正態(tài)變量，該變量均值為m，標(biāo)準(zhǔn)差為s；Nt+1表示第t+1年發(fā)生跳躍的頻率數(shù)，且獨(dú)立于Yt+1。為簡單起見，假定發(fā)生跳躍的次數(shù)N在某一年內(nèi)最多為一次，且概率為p，N要么在概率p下取值為1，要么在概率1-p下取值為0。

（10）

kt+1=kt+μ+σZt+1+Yt+1Nt+1-YtNt

（11）

Chen和Cox（2009）使用美國1900—2003年不同年齡段的死亡率數(shù)據(jù)計(jì)算瞬時(shí)跳躍、永久跳躍和沒有跳躍三種情況下kt模型的擬合參數(shù)，結(jié)果表明，在似然比檢驗(yàn)下，帶跳躍的死亡率模型比不帶跳躍的死亡率模型擬合效果更好，而帶瞬時(shí)跳躍的模型比帶永久跳躍的模型更加適合死亡率風(fēng)險(xiǎn)證券化。

長壽市場上的投資者主要關(guān)注的是不可預(yù)期的死亡率改善狀況，這點(diǎn)與死亡率證券化會(huì)有很大不同。比如研發(fā)成功一種新藥可以治愈某種癌癥，那么，死亡率會(huì)有一個(gè)較大程度的下降，并且這種死亡率改善情況將會(huì)永久持續(xù)下去。因此，帶永久跳躍效應(yīng)的死亡率模型更適合應(yīng)用于長壽風(fēng)險(xiǎn)證券化中。考慮到中國人口可得數(shù)據(jù)的年限較短，對加入永久跳躍后的時(shí)間因子kt模型參數(shù)估計(jì)非常困難，所以，本文借鑒Chen和Cox（2009）的研究結(jié)果來確定定價(jià)過程中死亡率模型的時(shí)間因子kt的參數(shù)值，如表1所示。

表1 帶永久跳躍的kt模型的參數(shù)估計(jì)值

資料來源：Chen和Cox（2009）。

本文獲取的原始數(shù)據(jù)來源于1995—2014年的《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》與《中國2010年人口普查資料》，選取1994—2013各年度的綜合死亡人數(shù)和綜合平均死亡風(fēng)險(xiǎn)暴露人數(shù)數(shù)據(jù)，總計(jì)20年。以0～89歲的人作為研究對象，采取單一年齡的死亡數(shù)據(jù)，年齡上限為89歲。

四、雙因素Wang轉(zhuǎn)換方法和定價(jià)過程

（一）雙因素Wang轉(zhuǎn)換方法

Wang（2000）運(yùn)用損失超越曲線來描述巨災(zāi)債券所承擔(dān)的損失，即巨災(zāi)產(chǎn)生的損失額X超過x的概率，其概率表達(dá)式為S（x）=Pr（X>x），并在此基礎(chǔ)上提出單因素Wang轉(zhuǎn)換的變形公式[27]：

S*（x）=Φ[Φ-1（S（x））+λ]

（12）

其中，Φ是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)。對于一個(gè)給定的損失超越曲線S（x），單因素Wang轉(zhuǎn)換的目的就是通過產(chǎn)生一條經(jīng)過變換后的損失超越曲線S*對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行調(diào)整。也就是說，Wang轉(zhuǎn)換后的分布函數(shù)隱含了風(fēng)險(xiǎn)附加，參數(shù)λ就代表風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。另外，Wang轉(zhuǎn)換對原有分布進(jìn)行了風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整，并且假如原分布S服從正態(tài)分布，那么，經(jīng)過Wang轉(zhuǎn)換后的分布S*也服從正態(tài)分布，即μ*=μ+δλ,δ*=δ。

上述Wang轉(zhuǎn)換是假定風(fēng)險(xiǎn)的概率分布S（x）是已知的，但實(shí)際上只能在有限的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上去估計(jì)概率分布，所以，就存在參數(shù)的不確定性問題。

Wang（2004）運(yùn)用t分布替代具有未知參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，并通過下式對經(jīng)驗(yàn)估計(jì)的S（x）進(jìn)行參數(shù)不確定性調(diào)整[28]：

S*（x）=Q[Φ-1（S（x））]

（13）

其中，Q表示自由度為k的t分布，其概率密度函數(shù)為f（t;k）：

（-∞

（14）

S*（y）=Q[Φ-1（S（y））+y]

（15）

雙因素轉(zhuǎn)換模型不僅考慮了概率變換，也對參數(shù)進(jìn)行了不確定性調(diào)整，其目的是用來測度巨災(zāi)債券和長壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

（二）長壽債券其他相關(guān)假設(shè)

1.年限及運(yùn)行。本債券設(shè)計(jì)年限為15年，具體設(shè)計(jì)思路見本文第二部分。

2.無風(fēng)險(xiǎn)利率。即無風(fēng)險(xiǎn)收益率，一般將一年期國債利率或者銀行三個(gè)月定期存款利率作為無風(fēng)險(xiǎn)利率，投資者可以以這個(gè)利率進(jìn)行無風(fēng)險(xiǎn)借貸。

3.LIBOR。銀行間同業(yè)拆借利率是市場借貸利率的基礎(chǔ)，所以，能較好地反映一項(xiàng)投資的基本收益。

（三）雙因素Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)過程

本文在長壽債券定價(jià)實(shí)證中采用帶永久跳躍的APC模型，其中時(shí)間因子kt如公式（9）所示。

由于雙因素Wang轉(zhuǎn)換比單因素Wang轉(zhuǎn)換解釋長壽市場價(jià)格更具有一致性，因此，使用雙因素Wang轉(zhuǎn)換分別對變量Z、Y和N進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并假定Z、Y和N相互獨(dú)立。令λ1、λ2和λ3分別代表與Z、Y、N三個(gè)變量相關(guān)的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)，在風(fēng)險(xiǎn)調(diào)整測度Q下死亡率時(shí)間因子為：

（16）

Cox、Lin和Wang（2006）、Chen和Cox（2009）都基于永久跳躍的死亡率模型和λ1=λ2=λ3=λ的假設(shè)估計(jì)了瑞士再保險(xiǎn)公司于2003年發(fā)行的巨災(zāi)債券的風(fēng)險(xiǎn)市場價(jià)，分別為0.83和0.8072。前者是基于死亡率qt的隨機(jī)跳躍過程，后者是基于死亡率時(shí)間因子kt。本文將采用后者方法，針對時(shí)間因子kt的隨機(jī)跳躍過程模型中的三個(gè)變量Z、Y、N分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，并假定長壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)為λ1=λ2=λ3=λ。具體計(jì)算過程如下：

（1）基于時(shí)間因子模型kt+1=kt+μ-pm+σZt+1+Yt+1Nt+1，模擬kt10 000次（t取2004—2018年），假定k0=-12，模型中其他參數(shù)估計(jì)值見表1。

（4）計(jì)算損失率。

設(shè)定下觸碰點(diǎn)L=0.6S0和初始上觸碰點(diǎn)U=0.9S0，其中，S0=q0代表2003年生存指數(shù)。固定下觸碰點(diǎn)在0.6S0，改變上觸碰點(diǎn)，分0.9S0、0.85S0和0.8S0三個(gè)檔次。

（5）使用無風(fēng)險(xiǎn)利率，將長壽債券每期的息票和最終返還的本金貼現(xiàn)到2004年初，并通過以下方程計(jì)算該長壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)：

（17）

其中，P是長壽債券的簽發(fā)規(guī)模 （比如100萬元人民幣）,r代表無風(fēng)險(xiǎn)利率，L是12個(gè)月同業(yè)拆借利率（LIBOR），計(jì)算結(jié)果如表2所示。

表2 Wang轉(zhuǎn)換下長壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)

從表2可知，固定長壽債券的下觸碰點(diǎn)為0.6S0，即若生存指數(shù)觸及該點(diǎn)，就發(fā)生完全的長壽事件，投資者的本金將無法收回；同時(shí)將初始上觸碰點(diǎn)設(shè)置為0.9S0、0.85S0、0.8S0三個(gè)情景，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)結(jié)果分別為506個(gè)基點(diǎn)（即5.06%）、498個(gè)基點(diǎn)（即4.98%）和483個(gè)基點(diǎn)（即4.83%）。結(jié)果表明，隨著初始上觸碰點(diǎn)的下移，風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)逐漸降低。這與理論分析結(jié)論是一致的，因?yàn)槌跏忌嫌|碰點(diǎn)越低，發(fā)生首次觸碰的概率就越小，投資人的本金損失率也越小，即投資風(fēng)險(xiǎn)下降，因此，長壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)應(yīng)該低一些。

另外，從表2也可以看到，在雙因素Wang轉(zhuǎn)換定價(jià)方法下，長壽債券的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)對無風(fēng)險(xiǎn)利率和LIBOR的假設(shè)條件要求比較高。也就是說，無風(fēng)險(xiǎn)利率和LIBOR的微小變化都會(huì)對風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的結(jié)果產(chǎn)生大的波動(dòng)，甚至出現(xiàn)不合理的結(jié)果（如出現(xiàn)負(fù)值）。這可能是由于我國人口死亡率可用數(shù)據(jù)年限很短，而帶永久跳躍的隨機(jī)死亡率模型參數(shù)太多，引起模型參數(shù)不穩(wěn)定，進(jìn)而導(dǎo)致風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)結(jié)果的敏感性很高。

五、結(jié)論與建議

上述實(shí)證表明，雙因素Wang轉(zhuǎn)換對本文設(shè)計(jì)的債券和中國的人口死亡率數(shù)據(jù)敏感性較高，波動(dòng)性較大。這可能是因?yàn)槟壳爸袊丝谒劳雎士捎脭?shù)據(jù)時(shí)間很短，只有20年，容易導(dǎo)致死亡率模型參數(shù)不夠穩(wěn)定，進(jìn)而對定價(jià)結(jié)果產(chǎn)生影響。因?yàn)橥瑯拥姆椒ㄓ妹绹娜丝跀?shù)據(jù)定價(jià)就不會(huì)有這樣的問題（見Chen和Cox, 2009），美國可用的人口數(shù)據(jù)有上百年。因此，精算師們今后對長壽債券設(shè)計(jì)和定價(jià)時(shí)，應(yīng)多關(guān)注模型風(fēng)險(xiǎn)和參數(shù)風(fēng)險(xiǎn)。同時(shí)，基于模型風(fēng)險(xiǎn)的重要性，在定價(jià)實(shí)務(wù)中可以考慮通過一組模型來處理模型風(fēng)險(xiǎn)。例如，對于給定的數(shù)據(jù)，根據(jù)BIC標(biāo)準(zhǔn)給每個(gè)模型分配一個(gè)權(quán)重，然后綜合計(jì)算債券的溢價(jià)。

在長壽風(fēng)險(xiǎn)日趨嚴(yán)峻的今天，再保險(xiǎn)、自然對沖等傳統(tǒng)的長壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方式所能發(fā)揮的作用受到很多局限，資本市場衍生工具這類新型的長壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移方式將會(huì)發(fā)揮越來越大的作用，尤其是長壽債券，具有巨大的市場潛力。長壽債券對我國來說是個(gè)新生事物，未來其實(shí)現(xiàn)機(jī)制應(yīng)著重從監(jiān)管機(jī)制、法律機(jī)制和政府激勵(lì)機(jī)制等方面展開。

首先，應(yīng)認(rèn)可并大力支持長壽債券業(yè)務(wù)的發(fā)展，并創(chuàng)新監(jiān)管制度，確立與長壽債券運(yùn)行相配套的政府監(jiān)管邊界，為長壽債券順利運(yùn)行提供條件。其次，應(yīng)通過立法允許相關(guān)法人或保險(xiǎn)人從事長壽風(fēng)險(xiǎn)債券業(yè)務(wù)。再次，政府應(yīng)出臺(tái)相關(guān)的法律法規(guī)，進(jìn)一步完善資本市場，鼓勵(lì)成熟投資者進(jìn)行以套期保值和套利為目的的投資工具交易，增加資本市場長期債券的種類與份額，為死亡率指數(shù)相關(guān)金融衍生品的發(fā)行和交易創(chuàng)造良好的投資環(huán)境和交易平臺(tái)。

注釋：

① 我們傾向于離散時(shí)間的死亡率模型，主要是考慮到：（1）死亡率最多一年測算一次；（2）在定價(jià)過程中，離散時(shí)間死亡率模型相對容易被理解和執(zhí)行；（3）死亡率在短期內(nèi)不會(huì)有大的改善；（4）大部分年金和債券的息票都是以離散方式支付的。

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（責(zé)任編輯:寧曉青）

Pricing Longevity Bonds Using Two-factor Wang Transform Approach

FAN Yi1，2,ZHANG Ning3，WANG Yaozhong1

（1.CollegeofEconomicsandTrade,HunanUniversity,Changsha，Hunan410079,China； 2.CollegeofEconomics,CentralSouthUniversityofForestryandTechnology,Changsha，Hunan410004,China； 3.CollegeofFinanceandStatistics,HunanUniversity,Changsha，Hunan410079,China）

Based on the assumption of discrete mortality model and comparison of foreign classic bond, we design a longevity bond with adjustment-upper trigger point and price the longevity bond by using the APC model with permanent jumping and double-factor Wang transform.The empirical results show that risk premiums are all in a reasonable range under different combination of parameters.The result of risk premium is sensitive to the parameters such as risk-free interest rate because of using the multi-parameters model and lack of the available mortality data.

longevity risk bond;two-factor wang transform;mortality;pricing

2017-01-14；

2017-03-08

湖南省社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（11YBA343、14YBA093）、湖南省情與決策咨詢項(xiàng)目（2012BZZ29）、湖南省教育廳優(yōu)秀青年項(xiàng)目（17B286）、中南林業(yè)科技大學(xué)青年基金重點(diǎn)項(xiàng)目（2012ZD05）、國家社會(huì)科學(xué)基金項(xiàng)目（17BJL048）.

樊毅（1983—），女，湖南常德人，湖南大學(xué)經(jīng)貿(mào)與貿(mào)易學(xué)院博士研究生，中南林業(yè)科技大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院講師，研究方向：風(fēng)險(xiǎn)管理與保險(xiǎn)。

F840.65

A

1003-7217（2017）04-0032-07