鄧衛(wèi)和

(江蘇省阜寧中學(xué),江蘇 鹽城 224000)

淺談應(yīng)用向量解決高中幾何習(xí)題的方法

鄧衛(wèi)和

(江蘇省阜寧中學(xué),江蘇 鹽城 224000)

向量，是一種具有幾何、數(shù)量、方向性質(zhì)的數(shù)學(xué)概念，它經(jīng)常應(yīng)用于坐標(biāo)圖形上，進(jìn)行空間、數(shù)量及方向的計(jì)算.本文對(duì)此進(jìn)行了分析研究.

向量；解決；高中；幾何；習(xí)題

談到向量的概念，很多同學(xué)對(duì)向量概念的理解局限為數(shù)量和方向這兩個(gè)要素上.實(shí)際上，向量具有數(shù)量、幾何、坐標(biāo)三重性質(zhì).如果同學(xué)們能夠靈活的應(yīng)用這三重性質(zhì)，就能應(yīng)用向量公式高效的解出數(shù)學(xué)習(xí)題.

一、應(yīng)用向量將幾何變?yōu)榉匠?/h2>

很多同學(xué)在解方程的時(shí)候，沒(méi)有想過(guò)向量就是一個(gè)方程.即使現(xiàn)在談到向量就是一種特殊的方程，可能部分同學(xué)們還是難以理解.向量，不是表示方向和大小的嗎？它怎么會(huì)是一種方程呢？同學(xué)們要看到，在坐標(biāo)圖形上，一元一次方程，代表著向某一個(gè)方向無(wú)限延伸的直線；向量，在坐標(biāo)圖形上代表著向某一個(gè)方向無(wú)限延伸的直線.那么在坐標(biāo)圖上，方程不是和向量有著共通性嗎？如果同學(xué)們?cè)诮夥匠痰臅r(shí)候，應(yīng)用向量的計(jì)算公式，可以不可以簡(jiǎn)化方程的計(jì)算呢？現(xiàn)用習(xí)題1為例.

習(xí)題1：已知在△ABC中，三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0，-4)、B(4，0)、C(-6，2)，而點(diǎn)E、F、D分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，求直線FD、EF、DE的方程.

同學(xué)們要了解，在坐標(biāo)圖形上，向量具有方程的性質(zhì)，同學(xué)們?cè)诮夥匠痰臅r(shí)候，如果遇到計(jì)算方程的問(wèn)題，可以把方程問(wèn)題變成向量問(wèn)題，應(yīng)用向量平移、向量座標(biāo)計(jì)算的方法求取方程.

二、應(yīng)用向量確定立體幾何關(guān)系

同學(xué)們?cè)谧鰩缀瘟?xí)題的時(shí)候，有時(shí)需要證明圖形和圖形之間的幾何關(guān)系.一般地，同學(xué)們會(huì)用幾何圖形的性質(zhì)來(lái)證明.然而有時(shí)同學(xué)們?cè)谧C明的時(shí)候會(huì)遇到幾何求證的條件不全，同學(xué)們難以應(yīng)用幾何圖形的性質(zhì).向量既具有空間圖形中指示方向的特性，又有空間圖形中指示數(shù)量的特性，同學(xué)們?cè)谧C明幾何圖形時(shí)，可以把幾何圖形變成向量，就用向量數(shù)的特征來(lái)轉(zhuǎn)換空間圖形的數(shù)與量.現(xiàn)用習(xí)題2為例.

習(xí)題2 在正方體ABCD-A1B1C1D1中E是棱DD1的中點(diǎn).請(qǐng)問(wèn)在棱C1D1上是否存在一點(diǎn)F，使B1F∥平面A1BE？請(qǐng)證明.

同學(xué)們看到，習(xí)題2給出的證明條件非常抽象，如果同學(xué)們要用幾何性質(zhì)來(lái)證明，過(guò)程會(huì)非常繁瑣.現(xiàn)在，將幾何問(wèn)題變?yōu)榻馕鰩缀螁?wèn)題.應(yīng)用特殊取值法，取出空間幾何中的數(shù)值，應(yīng)用向量計(jì)算坐標(biāo).同學(xué)們?cè)賹⒂?jì)算出的坐標(biāo)還原成幾何證明問(wèn)題，就能輕易地證明出幾何問(wèn)題.

同學(xué)們要意識(shí)到，同學(xué)們?cè)谧C明幾何問(wèn)題的時(shí)候，如果可以應(yīng)用特殊取值法來(lái)證明幾何問(wèn)題，就可以將幾何問(wèn)題變?yōu)樽鴺?biāo)圖形，應(yīng)用向量的方式計(jì)算出幾何圖形的座標(biāo)位置確定幾何圖形，再應(yīng)用幾何性質(zhì)來(lái)證明.

三、應(yīng)用向量求取幾何夾角

同學(xué)們?cè)诮鉀Q幾何問(wèn)題的時(shí)候，有時(shí)需要處理幾何圖形的邊、角問(wèn)題，有時(shí)同學(xué)們應(yīng)用幾何性質(zhì)來(lái)解析幾何，解題的過(guò)程會(huì)比較繁瑣.如果同學(xué)們把向量圖形的方向特性，與數(shù)的特性結(jié)合起來(lái)，便能用數(shù)、形、方向三重特性來(lái)呈現(xiàn)幾何圖形，同學(xué)們可以應(yīng)用這種方法，靈活的轉(zhuǎn)換幾何圖形的邊長(zhǎng)、圖形、角的性質(zhì)，獲得需要的幾何圖形數(shù)值.現(xiàn)用習(xí)題3為例.

習(xí)題3 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，求它的對(duì)角線與它任何一個(gè)面的對(duì)角線的夾角.

同學(xué)們可以看到，這一題就是把空間幾何圖形變?yōu)樽鴺?biāo)圖形，又將解析幾何圖形變?yōu)橄蛄坑?jì)算，應(yīng)用向量公式計(jì)算出幾何圖形的邊長(zhǎng)，求取幾何圖形角的案例.習(xí)題3里，已經(jīng)給出了正方體的棱長(zhǎng)，同學(xué)們可以直接應(yīng)用幾何圖形性質(zhì)來(lái)解析這道題.然而應(yīng)用解習(xí)題2的思路來(lái)看，應(yīng)用解析幾何的方式來(lái)解這道習(xí)題，會(huì)讓解題的過(guò)程變得簡(jiǎn)單.

[1]張鳳蓮.高中數(shù)學(xué)中的向量研究[D]. 華中師范大學(xué),2007.

[2]彭勇.關(guān)于向量及其教學(xué)研究[D]. 華中師范大學(xué),2006.

[責(zé)任編輯：楊惠民]

2017-05-01

鄧衛(wèi)和(1970.10-)，男，江蘇阜寧人，中學(xué)一級(jí)教師，大學(xué)本科，從事高中數(shù)學(xué)研究.

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