張新艷

(山東省濟南市平陰縣第一中學，山東 濟南 250400)

例談高中三角函數(shù)求值題的解題技巧

張新艷

(山東省濟南市平陰縣第一中學，山東 濟南 250400)

三角函數(shù)是高中數(shù)學教學的重要組成部分，具有高度抽象性的特點，對學生的邏輯分析能力、歸納總結(jié)能力要求較高.而且三角函數(shù)也是高考的重要考點，題型多變.鑒于此，為了減少學生的學習難度，提高學生的解題速度，高中數(shù)學教師應當重視從多方面、多層次培養(yǎng)學生的三角函數(shù)解題技巧.本文主要針對常見的三角函數(shù)解題方法進行討論.

三解函數(shù)；解題；技巧

一、角轉(zhuǎn)化求值

在一些三角函數(shù)求值題目中，正余弦、正余切以及正余弦角度之間的求值雖然簡單，但是形式多變對學生的思維能力要求較高.對于此類題型，學生應當懂得萬變不離其宗這一道理，并靈活運用三角函數(shù)公式，進行快速化簡.需要注意的是學生在進行化簡時應當認真仔細，避免出現(xiàn)遺漏、丟失情況，以致于出現(xiàn)思路正確，而結(jié)果錯誤的現(xiàn)象.

例如這樣一道題目：求sin20°cos70°+sin10°sin50°的值.顯然，題目中給出的并非是常見特殊角.為此，在求解時可以根據(jù)積和化差公式sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2 兩個公式進行轉(zhuǎn)化.將sin20°cos70°轉(zhuǎn)化為sin20°sin20°；sin10°sin50°轉(zhuǎn)化為-[cos(10°+50°)-cos(10°-50°)]/2，再進一步進行化簡可得到：(1-cos60°)/2=1/4.從中能夠看出，角的轉(zhuǎn)化是相當靈活的，學生在應用時也要適當?shù)仂`活應用.這樣才能快速解題，節(jié)省解題時間.

上述例題是正余弦之間的轉(zhuǎn)換，而在實際的三角函數(shù)題目中還包含正余弦、正余切之間的轉(zhuǎn)化.如這樣一道題目：已知tanα=2，求(4sinα-2cosα)/(5cosα+3sinα)的值.顯然，這道題目并沒有給出具體角度，而只是給出了正切值，來求解一個復雜的正余弦三角函數(shù)值.對此，可以靈活應用tanα=sinα/cosα這一公式，將所求式子的分母、分子同除以cosα.經(jīng)過化簡可得到：(4tanα-2)/(5+3tanα)=10.從上述兩道題目中能夠?qū)τ谶@種需要相互轉(zhuǎn)化的三角函數(shù)題目來說，學生應先完全把握住轉(zhuǎn)化公式，并根據(jù)已知條件，求解式子羅列出相應的公式，并擇其優(yōu)者而用之，最終完成轉(zhuǎn)化求值，縮短解題時間.

二、數(shù)形結(jié)合求值

有一些三角函數(shù)求值題目與圖形息息相關(guān).單純依靠學生的想象力找尋解題思路比較困難.對此種題目，教師就可以引導學生學會如何結(jié)合圖形，快速完成題目求解.而且在日常教學中，教師還可以采用多種多樣的教學方法逐步培養(yǎng)學生的畫圖習慣，一旦遇到能夠通過圖形解決的題目便可以充分發(fā)揮出圖形的優(yōu)勢.但是有一部分題目既可應用數(shù)形結(jié)合方法，也可應用化簡求值方法，學生可以根據(jù)自身的學習水平適當選擇.

圖1

圖2

三、升冪降冪

利用升冪降冪可以將高次冪的三角函數(shù)進一步進行化簡.這種類型在三角函數(shù)求值題目中也比較常見.通常在解決這種問題時需要結(jié)合公式，如2cos2α-1=1-2sin2α=cos2α-sin2α=cos2α等公式.也就是說學生不僅要能夠熟背這些公式，還能夠結(jié)合題目加以應用.這樣才能快速解決三角函數(shù)求值問題.當然，學生在化簡的過程中，要盡可能地保證準確率，有時很可能會因為一丁點的錯誤得到錯誤結(jié)果，浪費解題時間.

例如這樣一道題目：化簡(1-cos4α-sin4α)/(1-cos6α-sin6α).解決這道題目最簡單的思路便是通過將題目轉(zhuǎn)化成為形式更加簡單的題目，也就是說要盡可能地降低題目中的高次冪，以方便求解.但是明顯題目中的冪數(shù)并不統(tǒng)一，若要進行化簡就要選擇升冪或者降冪.根據(jù)公式sin2α+cos2α=1，可將題目中的1進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化.如1-cos4α-sin4α可轉(zhuǎn)化成為與之冪數(shù)相對等的(sin2α+cos2α)2-cos4α-sin4α.而在1-cos6α-sin6α中，再次提高sin2α+cos2α的冪數(shù)，簡單的說是將原式子轉(zhuǎn)化為(sin2α+cos2α)3-cos6α-sin6α.這樣便能夠整體將式子進行轉(zhuǎn)化.而后經(jīng)過加減運算，便能夠得到最終的化簡結(jié)果：原式子=2cos2αsin2α/3cos2αsin2α(sin2α+cos2α)=2/3.從中能夠看出，升冪降冪選擇的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中原有的冪數(shù)，并靈活應用1這一關(guān)鍵數(shù)字.在三角函數(shù)中，sin2α+cos2α=1這一公式在多種求值題目中均可應用.總的來說，高中數(shù)學教師應重點培養(yǎng)學生的靈活性思維，能夠根據(jù)題目進行適當?shù)霓D(zhuǎn)化，從而提高三角函數(shù)解題速度.

三角函數(shù)既是高中數(shù)學的重點、難點，也是數(shù)學抽象性的集中體現(xiàn).為此，教師在教學時應重視采用靈活的教學方法，加深學生對三角函數(shù)公式的記憶，并結(jié)合各種練習題目，提高學生的實踐能力，最終提高學生的解題效率.總之，是在新課改逐漸深入的背景下，數(shù)學教師在教學時應當摒棄傳統(tǒng)的灌輸式教學模式，避免學生對數(shù)學產(chǎn)生厭惡情緒.尤其是三角函數(shù)求值題目較難，需要學生花費較長的時間鉆研、熟知、掌握，教師應當充分發(fā)揮自身的引導作用，幫助學生真正掌握三角函數(shù)求值題的解題技巧.

[1]黃嬋.三角函數(shù)求值的分類辨析[J].教育教學論壇,2015(10)：174-176.

[2]彭萬雷.例析三角函數(shù)求值題的解題技巧[J].華夏教師,2016(12):37.

[責任編輯：楊惠民]

2017-05-01

張新艷(1980.01-)，女，山東濟南人，平陰一中，中學二級，本科，高中數(shù)學教學.

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