金元峰， 宋健楠， 李 霄， 侯成敏

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院，吉林 延吉 133002 )

帶有奇異p-Laplacians算子的分?jǐn)?shù)階差分方程邊值問(wèn)題解的存在性

金元峰， 宋健楠， 李 霄， 侯成敏

( 延邊大學(xué) 理學(xué)院，吉林 延吉 133002 )

考慮離散分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題

其中ν∈(0,1),a,b∈Z,0≤a0,m≥2為固定實(shí)數(shù)。f(·,u)∶[-d,d]N-d×R→R是關(guān)于第二個(gè)變量的連續(xù)函數(shù)且滿足Ambrosetti-Rabinorwitz條件。建立變分框架，利用臨界點(diǎn)定理，得到離散分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題解的存在性結(jié)果。

分?jǐn)?shù)階差分方程； 邊值問(wèn)題； 臨界點(diǎn)定理； 存在性

0 引言

近年來(lái)，離散分?jǐn)?shù)微積分引起廣泛關(guān)注，文獻(xiàn)多采用各種不動(dòng)點(diǎn)定理研究離散分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題[1-7]。少有文獻(xiàn)利用變分法處理離散分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題。文獻(xiàn)[8]研究問(wèn)題：

利用變分法給出該問(wèn)題多重解的存在性。文獻(xiàn)[9]研究問(wèn)題：

利用變分法和矩陣?yán)碚摻o出該問(wèn)題的三解存在性。文中考慮問(wèn)題：

(1)

1 預(yù)備知識(shí)

定義1[9]假設(shè)f∶Na→R,ν>0,那么f的ν階左分?jǐn)?shù)和定義為

f的ν階左分?jǐn)?shù)差分定義為

定義2[9]假設(shè)f∶bN→R,ν>0,那么f的ν階右分?jǐn)?shù)和定義為

f的ν階右分?jǐn)?shù)差分定義為

引理1[9]假設(shè)f∶Na→R,ν,μ>0,有

引理2[10]假設(shè)f∶bN→R,ν,μ>0,有

引理5[10]假設(shè)f∶Na→R,k∈N0,ν>0。對(duì)于t∈Na+M-μ+ν,有

此外，若μ>0,M-1<μ≤M,對(duì)于t∈Na+ν,有

引理6[11]假設(shè)f∶bN→R,k∈N0,ν>0，對(duì)于t∈b-νN,有

此外，若μ>0,M-1<μ≤M,對(duì)于t∈b-M+μ-νN,有

定理1[12](山路定理)假設(shè)E是一個(gè)實(shí)Banach空間，I∈C1(E,R)滿足(PS)條件。如果I(θ)=0且

(Ⅰ1)存在常數(shù)ρ,α>0使得I|?Bρ≥α,

2 主要結(jié)果

記g(t,x)=λ|x|m-2x-f(r,x),(r,x)∈[a,b]Na×R,

記K∶={u∈C[a,b]Na,‖bνu‖≤d,[bνu(t)]t=b+ν=[bνu(t)]t=a+ν-1=0}。顯然K是凸子集。

在C[a,b]Na上定義泛函I:C[a,b]Na→(-∞,+∞),

(2)

從條件[bνu(t)]t=b+ν=0知,u(b)=0。由引理6 有

由引理2有

因?yàn)?/p>

所以

且

|。

(3)

引理7 對(duì)f∈C,由式(2)定義的泛函I是下半連續(xù)的且是C1類泛函。如果u屬于I在K上的極小類，那么u是問(wèn)題 (1) 的一個(gè)解。

證明 由定義1和2有

于是

(4)

則I是下半連續(xù)且屬于C1類泛函。

引理8 假設(shè)p≥1是一個(gè)實(shí)數(shù)，那么

(5)

并且存在常數(shù)α1,α2≥0使得

(6)

證明 如果p=1,那么

即式(5)成立。

即式 (5) 成立。

即式 (6) 式成立。

引理9 假設(shè)(AR)條件成立，那么泛函I滿足(PS)條件，即任意的(PS)序列都有收斂的子列。

(7)

又由于{un}是(PS)序列，所以當(dāng)I(un)→c∈R時(shí)，有

取ω=un(r)±1，則利用中值定理知

(8)

(9)

由條件(AR)知，

(10)

且

(11)

由式 (5)、式(8)及‖bνun‖≤d知，存在常數(shù)c2,c3≥0，使得

(12)

由式(2)、式(8)和式(10)知，

(13)

由式(11-13) 知，對(duì)于任意的n≥n0,有

(14)

由式(13) 結(jié)合θ>m表明，

(15)

引理10 設(shè)(AR)條件成立且c∈R，則當(dāng)|c|→∞有I(c)→-∞。

證明 (AR)條件蘊(yùn)含存在r∈c,r>0,使得對(duì)于所有的r∈[a,b]Na和|x|≥x0有

(16)

成立。由式(16)可以推出

對(duì)于所有的r且|c|≥x0都成立，那么可在θ>m,r>0時(shí)推出結(jié)論。

引理11 假設(shè)F滿足對(duì)于任意的r∈[a,b]Na，

(17)

那么存在α,ρ>0，使得對(duì)于所有的u∈K∩?Bρ，其中?Bρ={u∈c∶‖u‖=ρ},有

(18)

證明 由式(17)知，存在常數(shù)b<λ和ρ>c使得，對(duì)于所有的r∈[a,b]Na和|x|≤ρ有

(19)

如果

(20)

成立，則由式(18)可以得出，對(duì)于所有的u∈K∩?Bρ有

因此可由式(20)推出式(18)。

定理2 假設(shè)(AR)條件成立。如果F滿足式(16)，那么問(wèn)題 (1) 至少有一個(gè)非平凡解。

證明 由式(2)知，I是定義在實(shí)Banach空間C[a,b]Na上的泛函且I(θ)=0。根據(jù)定理1和引理9知，I∈C1(C[a,b]Na,R)且滿足(PS)條件。

再由引理10和引理11可知,I滿足定理1的條件(Ⅰ1)和(Ⅰ2)。根據(jù)定理1知,I有一個(gè)臨界值c滿足c≥α。該臨界值即為問(wèn)題(1)的一個(gè)非平凡解。

3 結(jié)束語(yǔ)

主要研究一類帶有奇異p-Laplacian算子的離散分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題。建立適當(dāng)?shù)腂anach空間上的變分框架，利用臨界點(diǎn)定理獲得該問(wèn)題的存在性結(jié)果，為研究帶奇異p-Laplacian算子的離散分?jǐn)?shù)階邊值問(wèn)題提供一種有效的方法。

[1] Jarad F, Baleanu D. Discrete variational principles for Lagrangians linear in velocities [J]. Reports on Mathematical Physics, 2007,59(1):33-43.

[2] Atici F M, Eloe P W. A transform method in discrete fractional calculus [J]. Int. J. Difference Equ, 2007,2(2):165-176.

[3] Goodrich C S. Solutions to a discrete right-focal fractional boundary value problem [J]. Int. J. Difference Equ, 2010,5(2):195-216.

[4] Atici F M, Eloe P W. Two-point boundary value problems for finite fractional difference equations [J]. Journal of Difference Equations & Applications, 2011,17(4):445-456.

[5] Goodrich C S. On discrete sequential fractional boundary value problems [J]. Journal of Mathematical Analysis & Applications, 2012,385(1):111-124.

[6] Goodrich C S. Existence and uniqueness of solutions to a fractional difference equation with nonlocal conditions [J]. Computers & Mathematics with Applications, 2011,61(2):191-202.

[7] Goodrich C S. Continuity of solutions to discrete fractional initial value problems [J]. Computers & Mathematics with Applications, 2010,59(11):3489-3499.

[8] Xie Zuoshi, Jin Yuanfeng, Hou Chengmin. Multiple solutions for a fractional difference boundary value problem via variational approach [J]. Abstract & Applied Analysis, 2012:1-16.

[9] He Yansheng, Hou Chengmin. Existence of solutions for discrete fractional boundary value problems withp-Laplacian operator [J]. Journal of Mathematical Research with Applications, 2014,34(2):197-208.

[10] Ibrahim R W, Jalab H A. Existence of a class of fractional difference equations with two point boundary value problem [J]. Advances in Difference Equations, 2015(1):1-12.

[11] Xie Zuoshi, Hou Chengmin. Properties of right fractional sum and right fractional difference operators and application [J]. Advances in Difference Equations, 2015(1):1-16.

[12] Rabinowitz P H. Minimax methods in critical point theory with applications to differential equations [M]. Providence, RI, USA: American Mathematical Society, 1986:100.

[13] Dinca G, Jebelean P, Mawhin J. Variational and topological methods for Dirichlet problems withp-Laplacian [J]. Portugaliae Mathematica, 2001,58(3):339-378.

[14] 張瑜,侯成敏.帶有p-Laplacian算子的分?jǐn)?shù)階多點(diǎn)邊值問(wèn)題單調(diào)正解的存在性[J].東北石油大學(xué)學(xué)報(bào),2014,38(6):116-125. Zhang Yu, Hou Chengmin. Existence of monotone positive solution for fractional multipoint boundary value problem withp-Laplacianoperator [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2014,38(6):116-126.

[15] 艾尚明,盧源秀,葛琦,等.一類帶有成對(duì)邊界條件的奇異半正分?jǐn)?shù)階差分系統(tǒng)的正解[J].東北石油大學(xué)學(xué)報(bào),2014,38(4):103-108. Ai Shangming, Lu Yuanxiu, Ge Qi, et al. Positive solutions for a class of singular semipositione fractional difference system with coupled boundary conditions [J]. Journal of Northeast Petroleum University, 2014,38(4):103-118.

2017-02-24；編輯：任志平

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11161049,11361066)

金元峰(1976-)，男，博士，副教授，主要從事微分方程理論及其應(yīng)用方面的研究。

侯成敏,E-mail: cmhou@foxmail.com

O175.7

A

2095-4107(2017)04-0116-07

DOI 10.3969/j.issn.2095-4107.2017.04.013