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        第一型曲面積分的中值定理

        2017-09-03 11:03:42張曉呵廣西民族大學(xué)理學(xué)院
        科學(xué)中國人 2017年18期
        關(guān)鍵詞:中值曲面性質(zhì)

        張曉呵廣西民族大學(xué)理學(xué)院

        第一型曲面積分的中值定理

        張曉呵
        廣西民族大學(xué)理學(xué)院

        本文提出了第一型曲面積分的中值定理,并給出相關(guān)證明。與現(xiàn)有證法的區(qū)別是本文并未用到連續(xù)性,而是引入了定義在曲面上函數(shù)的介值性,再加之可積性,來定義和證明中值定理,此外還提出了第一型曲面積分的相關(guān)性質(zhì)。

        第一型曲面積分;介值性;可積性;中值定理

        此文為廣西民族大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新訓(xùn)練項(xiàng)目“項(xiàng)目名稱:第一型曲面積分的中值定理”的階段性成果,該項(xiàng)目獲得國家級立項(xiàng),項(xiàng)目編號:201610608017。

        1 引言

        積分中值定理體系龐大,但仍然有大量數(shù)學(xué)學(xué)者在研究,在華東師范版[1]和劉玉璉[2]的數(shù)學(xué)分析中給出了積分中值定理和積分第二中值定理的定義和證明后,對于其在曲線和曲面上的形式并未明確,而本文給出了第一型曲面積分的中值定理。目前就第一型曲面積分的中值定理的提出和證明主要在連續(xù)型曲面[3-5]上,而本文給出的中值定理將“連續(xù)性”弱化為“介值性”和“可積性”,擴(kuò)大其應(yīng)用范圍。

        2 定義和定理

        2.1 第一型曲面積分的定義和性質(zhì)

        我們先回顧文獻(xiàn)[1]中關(guān)于第一型曲面積分的定義

        定義2.11設(shè)S是空間中可求面積的曲面,f(x,y,z)為定義在S上的函數(shù),對曲面S做分割T,它把S分割成n個小曲面塊Si(i=1,2,...n),以ΔSi記小曲面塊Si的面積,分割T的細(xì)度若極限:

        存在,且與分割T及(ξi,ηi,ζi)(i=1,2,...n)取法無關(guān),則稱此極限為f(x,y,z)在S上的第一型曲面積分,記作?Sf(x,y,z)d S。

        我們可以觀察到,第一型曲面積分和第一型曲線積分有著很多類似之處,我們給出曲面積分的以下性質(zhì):

        性質(zhì)2.11(有界性)若函數(shù)f(x,y,z)在曲面S可積,則f(x,y,z)在S必定有界。

        證明用反證法.若f在S上無界,則對于S上的任意分割T,必存在屬于T的某個小曲面塊Sk,f在Sk上無界,在i≠k的各個小曲面塊Si上任意取定(ξi,ηi,ζi),并記:

        現(xiàn)對任意大的正數(shù)M,由于f在Sk上無界,故存在(ξk,ηk,ζk)∈Sk,使得:

        于是有:

        由此可見,對于無論多么小的∥T∥,按照上述方法選取點(diǎn)集時,總能使積分和的絕對值大于任何預(yù)先給定的正數(shù),這與函數(shù)f(x,y,z)在曲面S可積矛盾。

        性質(zhì)2.12設(shè)函數(shù)f(x,y,z)在曲面S可積,若f(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈S,則

        證明由于在S上f(x,y,z)≥0,因此f(x,y,z)的任意積分和均為非負(fù),由f(x,y,z)在曲面S可積,則有:

        證明令F(x,y,z)=g(x,y,z)-f(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈S,顯然F可積,由性質(zhì)2.12推得

        (7)式得證。

        性質(zhì)2.14若曲面S由小曲面塊S1,S2...Sk接連而成,且也存在,且:i

        證明參見文獻(xiàn)[1]積分區(qū)間可加性和第一型曲線積分的性質(zhì)二。

        2.2 多元函數(shù)的介值性

        我們先給出定義在曲面上的函數(shù)的介值性的定義。

        定義2.21設(shè)f(x,y,z)是定義在曲面S上的函數(shù),記:

        我們稱f在S上是可介值的,如果任意的實(shí)數(shù)α:m<α<M,在曲面上至少存在一點(diǎn)(ξ,η,ζ)∈S,使得f(ξ,η,ζ)=α.(11)

        事實(shí)上,函數(shù)的介值性是弱于連續(xù)性的,若f在S上是連續(xù)的,則f在S上可介值的;反之卻不一定成立。

        3 主要結(jié)論

        3.1 第一型曲面積分的中值定理

        定理3.11(第一型曲面積分的中值定理)設(shè)f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面Σ:z=z(x,y)上的函數(shù),滿足如下條件:

        1)f(x,y,z),g(x,y,z)在曲面Σ上可積;

        2)f(x,y,z)是可介值的;

        3)g(x,y,z)在Σ上不變號;

        則至少存在一點(diǎn)(ξ,η,ζ)使得:

        證明f(x,y,z)在Σ可積,由性質(zhì)2.11,f(x,y,z)在Σ有界,設(shè)M=sup{f(x,y,z)|(x,y,z)∈Σ},m=inf{f(x,y,z)|(x,y,z)∈Σ}.當(dāng)m=M時,f為Σ上的常函數(shù),(12)式顯然成立。以下設(shè)m<M,由條件3),不妨設(shè)g(x,y,z)≥0,(x,y,z)∈Σ,這時有:

        由性質(zhì)2.13有:

        其中Σl是Σ的任意一個小曲面塊,其中第二個不等號是由性質(zhì)2.12和2.14推得,由該不等式,我們知道由此我們可以斷定,必存在一點(diǎn)(ξl,ηl,ζl)∈Σl,使得f(ξl,ηl,ζl)=M.若不然,任意的(x,y,z)∈Σl,都有f(x,y,z)<M,從而[M-f(x,y,z)]g(x,y,z)>0,(x,y,z)∈Σl,進(jìn)而矛盾。因此,存在一點(diǎn)lllllll,即:

        這就證得(12)式成立。

        我們可以觀察到,定理3.11運(yùn)用到了函數(shù)的可積性和可介值性,而我們知道,如果f在S上是連續(xù)的,則f在S上可介值的,也是可積的,因此,我們也可以得到如下結(jié)論:

        定理3.12設(shè)f(x,y,z),g(x,y,z)在定義在光滑曲面Σ:z=z(x,y)上的連續(xù)函數(shù),且滿足g(x,y,z)在Σ上不變號,則至少存在一點(diǎn)(ξ,η,ζ)使得:

        [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上、下冊)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2010.

        [2]劉玉璉等.數(shù)學(xué)分析講義(上、下冊)(第四版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

        [3]吳世玕,杜紅霞.曲線積分與曲面積分中值定理[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報,2006,(06):30-31.

        張曉呵(1996-),男,漢族,河北張家口人,本科,現(xiàn)就讀于廣西民族大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)方向。

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