張媛黑龍江工業(yè)學(xué)院

求解逆矩陣的常用方法

張媛
黑龍江工業(yè)學(xué)院

矩陣是線性代數(shù)中非常重要的內(nèi)容之一，而在矩陣計(jì)算中最基礎(chǔ)的就是求矩陣的逆矩陣。本文針對(duì)可逆方陣介紹幾種常用方法，通過(guò)定義法、伴隨矩陣法、初等變換法、分塊矩陣法、以及Matlab軟件的解法求逆矩陣,并從中總結(jié)出一些具有應(yīng)用價(jià)值的規(guī)律。

初等變換；分塊矩陣；伴隨矩陣；可逆矩陣

矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容，很多工作、生活中的實(shí)際問(wèn)題用矩陣的思想去解決既簡(jiǎn)單又直觀，而逆矩陣又是矩陣?yán)碚搶W(xué)習(xí)的重點(diǎn)與難點(diǎn).本文給出幾種求逆矩陣的常用方法，將會(huì)給矩陣的學(xué)習(xí)帶來(lái)一定的幫助。

一、定義法

對(duì)于n階方陣A,如果存在n階方陣B使得AB=BA=E,則B=A-1，稱(chēng)A為可逆矩陣,稱(chēng)B為A的逆矩陣.下面舉例說(shuō)明這種方法。

例1設(shè)n階方陣A滿足方程A2-A-2E=0，證明A+2E可逆并求它的逆矩陣

二、伴隨矩陣法

n階矩陣A=aij為可逆的充分必要條件是A非奇異矩陣且

對(duì)于階數(shù)低的小型矩陣用此方法求逆矩陣既方便又快捷，特別是對(duì)二階矩陣只需要將主對(duì)角線元素互換，次對(duì)角線的元素變號(hào).若所求矩陣是三階以上的矩陣，計(jì)算量大容易出現(xiàn)誤差，所以本方法適合二階矩陣求逆矩陣。

初等變換法適于階數(shù)較高（n≥3）的矩陣，注意在求逆矩陣時(shí)只允許進(jìn)行初等行變換，使用初等行變換法求逆矩陣一般比伴隨矩陣法要簡(jiǎn)便一些。

三、初等變換法

設(shè)A，E都是n×n矩陣

這種方法不用事先知道n階矩陣是否可逆，如果在化簡(jiǎn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)矩陣某一行全為零，則可知A不可逆。

四、分塊矩陣法

設(shè)A、B、C、D分別為可逆矩陣，分兩種情況進(jìn)行討論：

一種是對(duì)角形矩陣求逆，則有

此方法適用于階數(shù)高的矩陣，并且能化成對(duì)角形或三角形塊陣的矩陣。在求逆矩陣之前，要進(jìn)行合理分塊，不能一步完成的高階矩陣，可通過(guò)分塊降階，反復(fù)使用上述方法。

五、Matlab軟件解法

求逆矩陣還可以通過(guò)計(jì)算機(jī)軟件Matlab，首先輸入一個(gè)n階矩陣A，然后利用函數(shù)det(A)判斷行列式是否為零，如果不為零則可利用求逆矩陣函數(shù)inv(A)得到逆矩陣。

以上求逆矩陣的方法只是一些初步認(rèn)識(shí)，通過(guò)歸納總結(jié)可以看出，在求逆矩陣的過(guò)程中，必須熟練掌握運(yùn)用相關(guān)的可逆矩陣定理和性質(zhì)，同時(shí)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)募记煽墒褂?jì)算更加簡(jiǎn)便.可逆矩陣的運(yùn)用及其廣泛，這就需要我們不斷的去探索和研究。

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張媛（1971-），女，漢族，單位：黑龍江工業(yè)學(xué)院，職稱(chēng)：副研究員，研究方向：高等數(shù)學(xué)。