張世明

摘要：學(xué)生在學(xué)習(xí)中常常出現(xiàn)“不懂”“不會(huì)”“不通”的情況，教師往往將責(zé)任歸咎于學(xué)生一方，恰恰忽視了三個(gè)教育不等式，即 “講”不等于“懂”、“懂”不等于“會(huì)”、“會(huì)”不等于“通”。教學(xué)中如果關(guān)注這三個(gè)不等式，反思教育的過程，采取有效的策略，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，我們就會(huì)對(duì)學(xué)生多一份理解，對(duì)自己多一份教學(xué)的清醒。

關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；講授；理解；融通

中圖分類號(hào)：G622.5 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號(hào)：1673-9094（2017）07B-0097-04

我們時(shí)常聽到老師這樣抱怨學(xué)生：“這道題老師都講過好幾遍了，你怎么還是不懂？”“剛才你不是舉手表示聽懂了嗎，怎么現(xiàn)在又不會(huì)了？”“你做題怎么不知道變通？”我們常常把學(xué)生“不懂”“不會(huì)”“不通”的原因都一味地歸咎于學(xué)生一方。其實(shí)，在這一過程中，我們忽視了幾個(gè)教育的不等式，是更為重要的原因。

一、“講”不等于“懂”

有些教師會(huì)認(rèn)為：我講了，學(xué)生就會(huì)懂。但實(shí)踐告訴我們，很多時(shí)候并非如此。教師講了，并不能保證學(xué)生一定就能懂，因?yàn)橛芍v到懂，應(yīng)當(dāng)以學(xué)生深度參與為橋梁。如果在教師講的過程中，學(xué)生的思想游離于教師所講內(nèi)容之外，這時(shí)教師的講就變成了一廂情愿；或者當(dāng)學(xué)生處于被動(dòng)學(xué)習(xí)的狀態(tài)時(shí)，學(xué)生只是看起來像在聽，其思維并未能進(jìn)入深層次的學(xué)習(xí)；或者明明對(duì)其中有不理解的地方，卻不善于問，或礙于面子不敢問，這樣就給后續(xù)的學(xué)習(xí)或做題埋下了隱患。

比如，一次作業(yè)中有這樣一道題：“35分鐘=____時(shí)”，我以為這類題不應(yīng)該再出現(xiàn)問題，因?yàn)樽鲱}方法我已經(jīng)向?qū)W生講過多遍，可還是有好幾個(gè)學(xué)生做錯(cuò)了。講評(píng)時(shí)，我想了解一下到底在哪個(gè)環(huán)節(jié)出了問題，便請(qǐng)其中一位做錯(cuò)的學(xué)生說說自己的思路過程，幫他分析一下產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因，形成正確的認(rèn)知。

師：這道題你做錯(cuò)了，能說說做錯(cuò)的原因嗎？

生1：我不知道要用“35÷60”。

師：那你現(xiàn)在知道為什么用“35÷60”嗎？

生1：還是不知道。

師：誰來幫忙解釋一下？

生2：因?yàn)椤皶r(shí)”和“分”之間的進(jìn)率是60，“35分鐘=____時(shí)”是把小單位的名數(shù)改寫成大單位的名數(shù)，要除以進(jìn)率60。

師：你現(xiàn)在聽懂了嗎？

（生l還是似懂非懂的樣子。生2已經(jīng)把解題方法講這么清楚了，但生1為什么還是不懂呢？）

師：好，我們先來看看這道題中的兩個(gè)單位，它們分別是什么？

生1：分和時(shí)。

師：分和時(shí)之間的進(jìn)率是多少？

生1：60。

師：這題是把小單位的名數(shù)改寫成大單位的名數(shù)，還是把大單位的名數(shù)改寫成小單位的名數(shù)？

生1：把小單位的名數(shù)改寫成大單位的名數(shù)。

師：把小單位改寫成大單位，方法就是：用35除以進(jìn)率60，現(xiàn)在明白了嗎？

（從表情上看，生l似乎還不太理解。這時(shí)有學(xué)生舉手想發(fā)言。）

生3：老師，我雖然知道小單位改寫成大單位要除以進(jìn)率，但不知道為什么要“除以”進(jìn)率。

生1點(diǎn)頭，頗有同感的樣子。

為什么我自以為講得很清楚了，學(xué)生卻還是不懂呢？仔細(xì)想想，這里忽視了一個(gè)問題，那就是師生之間客觀存在的差距。要知道，教師學(xué)科知識(shí)、思維經(jīng)驗(yàn)一般都優(yōu)于學(xué)生，思維往往具有很大的跳躍性。以“35分鐘=____時(shí)”這題為例，學(xué)生要想清晰地理解并熟練解決這個(gè)問題，一般要對(duì)三個(gè)問題進(jìn)行思考：（1）分與時(shí)之間的進(jìn)率是多少；（2）分與時(shí)這兩個(gè)單位的大小比較；（3）求“35分鐘=____時(shí)”，就是看35分中有多少個(gè)60分鐘。老師對(duì)這幾個(gè)問題中的前兩個(gè)問題要進(jìn)行思考，對(duì)第三個(gè)問題，基本是一種直覺性的思維，在無意識(shí)間就可以迅速求解。而這個(gè)問題恰恰是卡住學(xué)生思維的“結(jié)點(diǎn)”。教學(xué)時(shí)，如果我們對(duì)這個(gè)“結(jié)點(diǎn)”關(guān)注不夠，只是把解題的思路過程簡(jiǎn)化為兩個(gè)程序傳授給學(xué)生：一是牢記進(jìn)率，二是小單位改成大單位要除以進(jìn)率，學(xué)生便不能真正理解“小單位改寫大單位要除以進(jìn)率”這樣一個(gè)原理。倘若學(xué)生在不理解的情況下，又沒有主動(dòng)詢問老師，這就會(huì)使解題變成執(zhí)行程序，機(jī)械套用。由于缺少對(duì)原理的理解，一旦當(dāng)他們對(duì)該思路過程記錯(cuò)或忘記時(shí)，只能靠“猜測(cè)”來解題，難免會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤。

教學(xué)中，學(xué)生做錯(cuò)了題，我們不能因?yàn)樽约喊言撝v的知識(shí)都講了，好像方法也教給學(xué)生了，就責(zé)怪學(xué)生，而要注意觀察學(xué)生有沒有深度參與，多與學(xué)生進(jìn)行心靈的溝通，善于“蹲下來”，多聽聽他們的聲音，聽他們講學(xué)習(xí)中的疑點(diǎn)、盲點(diǎn)，同時(shí)還要善于突破自己“教”的思維定勢(shì)，多從自身“教”這方面細(xì)細(xì)查找原因，或許就能找到問題的癥結(jié)。

二、“懂”不等于“會(huì)”

我們?cè)谛率谕昴骋恢R(shí)以后，有時(shí)習(xí)慣性地問學(xué)生：“今天老師講的內(nèi)容大家都聽懂了嗎？”如果學(xué)生齊刷刷地回答：“懂了”，教師似乎就有一種心理上的自我安慰。然而到了學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用有關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題時(shí)，只要將題目背景一變，有的學(xué)生還是不會(huì)做。這到底是什么原因？其實(shí)，我們常常有一個(gè)誤判，他們所說的“懂”只是淺層次的，“懂”和“會(huì)”之間還是有一定距離的，我們不能滿足于學(xué)生所說的“懂了”，而要重點(diǎn)考察學(xué)生有沒有真正掌握數(shù)學(xué)的思想方法。

比如，一位老師教學(xué)蘇教版六年級(jí)上冊(cè)《解決問題策略——替換》，書中的例題是：“小明把720毫升果汁倒入6個(gè)小杯和1個(gè)大杯，正好都倒?jié)M。已知小杯容量是大杯的三分之一，小杯和大杯的容量各是多少毫升？”教學(xué)中，這位老師根據(jù)教材中的情境圖，制作了多媒體課件進(jìn)行演示，通過直觀演示，學(xué)生似乎都明白了。例題講完之后，老師進(jìn)行了追問：“對(duì)今天講的用‘替換這一知識(shí)來解決問題，大家聽懂了嗎？”學(xué)生沒有提出問題。在接下來的知識(shí)運(yùn)用環(huán)節(jié)，教師出示了這樣一道平行練習(xí)題：“3輛大貨車和4輛小貨車共運(yùn)貨30噸，已知大貨車的載重量是小貨車的2倍。這兩種貨車的載重量各是多少噸？”這時(shí)我發(fā)現(xiàn)身旁的一名學(xué)生嘴咬筆端，遲遲不動(dòng)筆。我悄悄地問他：“你怎么不做？”他回答說：“不會(huì)做?！蔽医又鴨枺骸斑@道題的解題思路與例題差不多，剛剛老師講完例題之后問大家聽懂了沒有，我發(fā)現(xiàn)你是舉手的，現(xiàn)在為什么又不會(huì)做了呢？”他說：“老師講例題時(shí)是有圖的，我好像是聽懂了，可這道題沒有圖，我就不知道怎么做了?！痹谧鳂I(yè)反饋環(huán)節(jié)，教師請(qǐng)做對(duì)的學(xué)生舉手，結(jié)果全班有近四分之一的學(xué)生沒有舉手，引起了我的反思。這節(jié)課教師在教授例題時(shí)，采用了直觀教學(xué)，對(duì)所要講的知識(shí)似乎也講了，之后，教師問了全班學(xué)生：“大家聽懂了嗎？”學(xué)生也齊聲回答：“聽懂了！”但為什么到了鞏固練習(xí)時(shí)還有那么多的學(xué)生不會(huì)做題呢？

回顧講授例題的過程，教師和學(xué)生都過度關(guān)注直觀演示，學(xué)生的認(rèn)知只是停留在感性的“生活化認(rèn)知”的層面，整個(gè)教學(xué)過程是奔著找到一種解決問題方法的單一目標(biāo)而去的。例題講完之后，教師只是簡(jiǎn)單地問學(xué)生：“聽懂了嗎？還有什么問題？”并沒有讓學(xué)生通過回顧對(duì)方法、策略、思想的形成過程進(jìn)行再認(rèn)和梳理，因而學(xué)生的認(rèn)知并沒能發(fā)展為“數(shù)學(xué)化認(rèn)知”。其實(shí)，方法、策略、思想這三者有著遞進(jìn)的關(guān)系，數(shù)學(xué)方法上升到一定高度便形成策略，數(shù)學(xué)策略通過進(jìn)一步凝練則形成數(shù)學(xué)思想。就上述這一例題來講，將兩種不同的杯子轉(zhuǎn)換成同一種杯子來求解，是其解題方法。利用不同背景的相關(guān)題目，讓學(xué)生在觀察比較中發(fā)現(xiàn)這類題蘊(yùn)含著相同的解題思路，即都是“提出替換—進(jìn)行轉(zhuǎn)化—獲得解題思路”這一解題策略。但這里僅僅讓學(xué)生掌握解題的方法和策略還不夠，更需要在此基礎(chǔ)上幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)思想。就本例題而言，根據(jù)“小杯容量是大杯的三分之一”，既可將“6個(gè)小杯”替換成“2個(gè)大杯”，又可將“1個(gè)大杯”替換成“3個(gè)小杯”，滲透“對(duì)應(yīng)”的思想；將兩種不同的杯子替換成同樣的杯子，杯子數(shù)量變了，但“720毫升果汁”不變，體現(xiàn)了“變與不變”的思想。這類題有一種帶有“模型”意義的思路過程：第一步，確定替換掉哪一種量；第二步，尋找替換的依據(jù)；第三步，思考如何替換；第四步，替換之后相等于多少個(gè)什么樣的杯子來裝720毫升果汁，進(jìn)而求出該杯的容量。這些，都滲透了“有序思維”及簡(jiǎn)單的“建?！彼枷?。

由此看來，具體的解題過程與指導(dǎo)并不是數(shù)學(xué)教學(xué)的核心，而發(fā)掘和提煉數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心知識(shí)，從數(shù)學(xué)思想方法的層面引導(dǎo)學(xué)生展開數(shù)學(xué)分析和思考，學(xué)生才能真正學(xué)得扎實(shí)，認(rèn)清形式背后的本質(zhì)內(nèi)涵及其變化規(guī)律，從整體上深刻地理解數(shù)學(xué)，充分體驗(yàn)、領(lǐng)悟思想方法和解題策略的普遍意義，從而以不變應(yīng)萬變，提高他們的解題效率和應(yīng)用能力。教學(xué)中如果我們長(zhǎng)期地關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的沉積和凝練，便能使學(xué)生逐步養(yǎng)成善于反思和總結(jié)的習(xí)慣，促進(jìn)他們主動(dòng)地從數(shù)學(xué)思想方法的高度去把握數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

三、“會(huì)”不等于“通”

在講完一個(gè)例題之后，當(dāng)我們出一些同類的題讓學(xué)生練習(xí)時(shí)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生一般都會(huì)做，但只要將題目稍加變化，不少學(xué)生就難以應(yīng)對(duì)。因?yàn)榫湍骋恢R(shí)而言，學(xué)生僅僅是停留在“會(huì)”的層面，而沒有達(dá)到“通”的境界。如果我們以“會(huì)”為“通”，就降低了認(rèn)知與思維的等級(jí)。其實(shí)，由“會(huì)”到“通”，當(dāng)以學(xué)生獨(dú)立地思悟作為橋梁。教學(xué)有三重境界，教之以“知”，教之以“法”，悟之以“智”。教之以“知”如授人以“魚”，教之以“法”如授人以“漁”，而最高境界乃是學(xué)生悟之得“智”，真正變得聰慧起來。這就提醒我們，教學(xué)中要懂得給學(xué)生以適當(dāng)?shù)臅r(shí)間和空間去感悟。

比如，蘇教版五年級(jí)下冊(cè)“圓的周長(zhǎng)和面積”的教學(xué)。如果省去教師直觀演示和讓學(xué)生操作、觀察的過程，直接告知學(xué)生圓面積公式及計(jì)算方法，相信學(xué)生在已知半徑、直徑、周長(zhǎng)的情況下也能求出圓的面積。但是，圓面積公式是前人經(jīng)過高度的提煉加工然后用簡(jiǎn)約化和抽象化的符號(hào)表達(dá)出來的，如果將這一符號(hào)化的結(jié)果知識(shí)直接告知學(xué)生，學(xué)生就缺少了知識(shí)形成過程的真實(shí)經(jīng)驗(yàn)和體驗(yàn)。在實(shí)際教學(xué)中，我先采用課件直觀演示，將圓剪拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生觀察得知：長(zhǎng)方形的面積與圓的面積相等，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑。之后又讓學(xué)生模仿老師的演示，用學(xué)具進(jìn)行了操作。最后推導(dǎo)出圓面積公式。這樣的教學(xué)，學(xué)生不僅會(huì)求圓面積，也知道了圓面積公式的來龍去脈。

但問題還是出現(xiàn)了。這部分內(nèi)容結(jié)束后，到了復(fù)習(xí)階段，我給學(xué)生出了如下幾道題：

（1）如圖1，長(zhǎng)方形周長(zhǎng)比圓周長(zhǎng)長(zhǎng)20厘米，求圓面積。

解這道題需要學(xué)生清楚地知道將一個(gè)圓切拼成近似的長(zhǎng)方形后周長(zhǎng)所產(chǎn)生的變化。

（2）如圖2，已知圓周長(zhǎng)40厘米，如果圓的面積和長(zhǎng)方形面積相等，計(jì)算陰影部分的周長(zhǎng)。

這道題需由“圓面積和長(zhǎng)方形面積相等”這一條件，推知長(zhǎng)方形兩條長(zhǎng)之和即為圓的周長(zhǎng)，從而求出解。

（3）如圖3，長(zhǎng)方形和圓面積相等，圓的半徑等于長(zhǎng)方形的寬，已知陰影面積是120平方厘米。求圓面積。

這道題需由“長(zhǎng)方形和圓面積相等，圓的半徑等于長(zhǎng)方形的寬”推知陰影部分的面積即為圓面積的四分之三，進(jìn)而求解。

（4）如圖4，陰影部分是一個(gè)長(zhǎng)6.28厘米的長(zhǎng)方形，它的面積與圓面積相等。求圓面積。

這道題需由“長(zhǎng)方形的面積與圓面積相等”推知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)即圓周長(zhǎng)的一半，進(jìn)而求解。

經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這幾道題一開始全班只有極少數(shù)學(xué)生能夠解答。我暗自怪罪學(xué)生，當(dāng)初明明對(duì)圓轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形進(jìn)行了演示，學(xué)生自己也動(dòng)手進(jìn)行了操作，可到了這里怎么就不知道變通？再轉(zhuǎn)念一想，自己的“教”有沒有不足的地方呢？反思教學(xué)環(huán)節(jié)，在講授圓面積這一知識(shí)時(shí)，教師直觀演示的目的很大程度上是直奔圓面積公式的推導(dǎo)的，教學(xué)過程是依照教材來展開的。就學(xué)生的“學(xué)”而言，其操作則完全模仿了老師的演示，只是被動(dòng)、機(jī)械地完成規(guī)定程序，其認(rèn)知停留在表象上，并沒有在觀察、比較和推理的過程中去理解圓與拼合的長(zhǎng)方形之間的關(guān)系，因而沒能真正形成數(shù)學(xué)的思維。就教師的“教”而言，只是停留在對(duì)教材本身所傳達(dá)的文字信息上，沒有做適度的延伸和拓展，沒能很好地促成學(xué)生實(shí)現(xiàn)認(rèn)知的深化和發(fā)展，這些正是造成學(xué)生不能將知識(shí)內(nèi)化并遷移運(yùn)用的重要原因。鑒于此，在圓面積公式得出之后，可以再做一些回顧與拓展，請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)觀察剛才的剪拼圖，思考：（1）如果告訴你長(zhǎng)方形與圓面積相等，圓半徑等于長(zhǎng)方形的寬，你能推知出什么？（2）如果告訴你長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，你能推知出什么？（3）由圓變成長(zhǎng)方形，什么產(chǎn)生了變化？有怎樣的變化？

通過這些逆向性和延伸性的追問，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的記憶和理解，今后他們?cè)谟龅缴鲜鲞@類拓展性題目時(shí)，就會(huì)通過聯(lián)想，讓相關(guān)知識(shí)復(fù)活起來，去辨認(rèn)問題的特征，將之納入相應(yīng)的知識(shí)系統(tǒng)中去，進(jìn)一步找到解決問題的途徑與方法。

對(duì)于教學(xué)中學(xué)生出現(xiàn)的“不懂”“不會(huì)”“不通”，我們除了要從學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)心理、學(xué)習(xí)能力、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面進(jìn)行分析之外，更多的還是要善于從我們自身“教”的角度去反思。比如，我們?cè)诮虒W(xué)理念、教學(xué)行為等方面有哪些不足？卡住學(xué)生思維的結(jié)點(diǎn)在哪里，又如何進(jìn)行改進(jìn)等等，這樣，我們就會(huì)對(duì)學(xué)生多一份理解，對(duì)自己多一份教學(xué)的清醒。

責(zé)任編輯：宣麗華