張海燕，李耀紅，李冬楠

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，宿州，234000

一例三重積分多種解法的比較分析

張海燕，李耀紅，李冬楠

宿州學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，宿州，234000

通過一例三重積分在直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)和球坐標(biāo)下五種解法，探討了三重積分計算問題的基本思路和方法。結(jié)合相關(guān)文獻(xiàn)，分析了三重積分計算中如何根據(jù)積分區(qū)域、被積函數(shù)、積分限和區(qū)域圖形情況選擇合適的坐標(biāo)系，將三重積分化為三次積分進(jìn)行計算。

三重積分；積分區(qū)域；多種解法

1 直角坐標(biāo)系下的計算

1.1 利用截面法

由于被積函數(shù)為z2，只含有一個變量，因此可以把三重積分化為“先二重后一重”的累次積分。又由于空間區(qū)域V用平行于xy平面的平面截得的是一個圓面，即

此時積分區(qū)域V=V1+V2,其中

從而

1.2 利用投影法

V={(x,y,z)|(x,y)∈D,

從而

2 柱面坐標(biāo)系下的計算

由于積分區(qū)域V由x2+y2+z2≤r2和x2+y2+z2≤2rz所確定，且有

注2：通過對比，柱面坐標(biāo)下計算三重積分和直角坐標(biāo)系下利用投影法計算三重積分基本相同。

3 球坐標(biāo)系下的計算

3.1 利用積分區(qū)域可加性

作球面坐標(biāo)變換x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,則積分區(qū)域V1變?yōu)?/p>

則積分區(qū)域V2變?yōu)镾1和S2：

因此利用球面坐標(biāo)，有

3.2 利用積分區(qū)域補(bǔ)全法

作球坐標(biāo)變換x=ρsinφcosθ,y=ρsinφsinθ,z=ρcosφ,則積分區(qū)域V2變?yōu)?/p>

因此利用球坐標(biāo)，有

對積分區(qū)域V2也可以利用區(qū)域補(bǔ)全法，可以得到和以上類似的結(jié)果。

注3：比較上述兩種算法，難易程度相當(dāng)，說明在區(qū)域劃分沒有減少的情況下，利用區(qū)域可加性和區(qū)域補(bǔ)全法計算三重積分均可。

4 計算方法的比較分析

通過對一例三重積分的五種算法比較可知，三重積分計算基本思路和方法是選取不同坐標(biāo)系，將三重積分化為三次積分，根據(jù)具體問題的特點(diǎn)采取不同積分次序進(jìn)行計算。結(jié)合實(shí)例，三重積分計算除了一些技巧性問題外，還應(yīng)注意分析以下問題：

(1)坐標(biāo)系的選擇。應(yīng)該了解三種坐標(biāo)系下積分公式的主要特點(diǎn),在給定的積分區(qū)域下選用哪種坐標(biāo)系更為方便。 對于平面圍成的積分區(qū)域,一般選用直角坐標(biāo)系；對于圓錐面、旋轉(zhuǎn)拋物面圍成的區(qū)域或積分區(qū)域與繞z 軸旋轉(zhuǎn)形成的旋轉(zhuǎn)體有關(guān)時，一般選用柱面坐標(biāo)系；而與球相關(guān)的積分區(qū)域，往往選取球坐標(biāo)系。

(2)被積函數(shù)的特點(diǎn)。結(jié)合被積函數(shù)的特點(diǎn)選擇合適的坐標(biāo)系，往往能簡化三重積分計算。對于被積函數(shù)中只含有一個變量的，可以選取直角坐標(biāo)系，且若截面面積易求，可利用截面法求積分，如解法一；若被積函數(shù)含有兩個變量，且有平方和形式，如x2+y2，則可選取柱面坐標(biāo)系；若被積函數(shù)含有三個變量平方和形式，一般利用球坐標(biāo)系。

(3)積分限的選擇。積分限和坐標(biāo)系的選取息息相關(guān)，一旦確定坐標(biāo)系后，積分限一般有固定模式。因此，坐標(biāo)系的選擇除要關(guān)注積分區(qū)域形式和被積函數(shù)特點(diǎn)外，還要關(guān)注積分限是否容易確定，累次積分是否容易計算，選擇不同積分限計算繁簡程度不同。在具體積分限確定時，關(guān)鍵是看線：直角坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)是看投影面的垂線與積分區(qū)域相交情況；球坐標(biāo)看極點(diǎn)出發(fā)的射線與區(qū)域相交情況。

如本文中的例子，從積分區(qū)域形式看，選擇球坐標(biāo)比較合適，從被積函數(shù)看直角坐標(biāo)比較合適，通過對比積分限，顯然利用直角坐標(biāo)計算要容易。應(yīng)了解化成三次積分與化成一次積分和一個二重積分的公式的主要特點(diǎn),以及給定積分區(qū)域與被積函數(shù)下使用何種公式合適。

(4)積分區(qū)域示意圖的勾勒。對于由方程組或不等式給出的積分區(qū)域,盡量畫出示意圖，可以直觀地從區(qū)域圖形特點(diǎn)判斷利用何種坐標(biāo)系計算，以及如何確定積分限。

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[2]陳浩.一例三重積分的解法剖析[J].宿州學(xué)院學(xué)報,2010,25(8):103-107

[3]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].5版.北京:高等教育出版社,2010:99-106

[4]呂中學(xué).關(guān)于三重積分的計算[J].高等數(shù)學(xué)研究,2016,19(2):48-50

[5]趙俠,楊路.例談高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法——一道習(xí)題玩轉(zhuǎn)三重積分[J].湖南理工學(xué)院學(xué)報：自然科學(xué)版,2016,29(3):84-87

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(責(zé)任編輯：汪材印)

10.3969/j.issn.1673-2006.2017.06.027

2017-01-12

安徽省高校優(yōu)秀青年人才支持計劃重點(diǎn)項(xiàng)目(gxyqZD2016339)；宿州學(xué)院綜合理科實(shí)踐教育基地(szxysjjd201205)。

張海燕(1980-),女,安徽宿州人，碩士，副教授，研究方向：非線性泛函分析及應(yīng)用研究。

O172.2

A

1673-2006(2017)06-0102-03