鐘桂珍
摘要:在目前我國高中數(shù)學學習中,向量方法解題被廣泛的應用,甚至在物理學習中都有所涉及。向量方法不單單是高中數(shù)學學習中較為重要的學習內(nèi)容,它也是作為一種常見的解題手段而存在。其數(shù)形結(jié)合的特點,可以將多方面的知識連接在一起,更為直觀和形象的建立成為一個整體。本文作者通過閱讀大量資料和習題,著重分析高中數(shù)學解題中向量方法的使用,對于實際的向量方法教學有一定的參考意義。
關鍵詞:高中數(shù)學;向量;應用研究
一、向量解題方法對于高中數(shù)學教學的必要性:
1.加深學生理解 目前我國數(shù)學教育教材的設置,在高中以前的初中數(shù)學教育階段,主要涉及數(shù)學常量和變量的一些基礎知識,也是主要為高中包括后面的數(shù)學學習打下堅實基礎。高中數(shù)學中向量的學習則是在初中數(shù)學的學習基礎之上幫助學生初步構(gòu)建數(shù)學學習知識體系,對于學生從初中數(shù)學意識向高中數(shù)學學習思路的轉(zhuǎn)型起到過渡作用??梢杂行У募由顚W生對于數(shù)學學習的理解。
2.提升高中生解題能力 向量知識作為重要的解題方法存在,對于思維推理能力以及空間能力正在塑造過程中的高中生來說,可通過簡單、形象、直觀的表現(xiàn)方式,幫助學生快速解答問題,對于學生初步建立數(shù)學模型有一定的幫助。
3.數(shù)形結(jié)合,提升學生發(fā)散式思維 數(shù)形結(jié)合思維是向量解題方法中非常重要的部分。它可以將本身比較復雜和繁瑣的數(shù)字和文字描述,通過向量構(gòu)建成形象直觀的模型,并且結(jié)合命題數(shù)據(jù)展示出來。對于教師來說,在課程設計上面,要注重將問題轉(zhuǎn)化為概括性、抽象性等形式,再通過教師的思路引導,可以有效的幫助學生建發(fā)散式思維。
二、數(shù)學解題中影響向量解題法的一些因素分析:
數(shù)學解題過程中因素分析:在實際的解題過程中,影響向量解題法的因素眾多,本文將這些因素進行了匯總和分析:
第一,情感因素。情感因素在高中生學習過程中占據(jù)重要位置。包括我們常見到的學生的學習興趣、愛好、學生學習的動力來源等等,這些對于學生的學習和解題過程起到主導作用。
第二,經(jīng)驗因素。數(shù)學解題是一個復雜的過程,其經(jīng)驗因素主要體現(xiàn)在它對于學生基礎知識儲備、個人解題偏好、思路等方面也是有所要求的。
三、高中數(shù)學解題中向量方法的實際應用
1.三角函數(shù)解題中向量的使用 三角函數(shù)同樣作為高中數(shù)學教學中的重點知識,在結(jié)合向量方法解答三角函數(shù)問題的時候,往往可以將問題思路清晰直接的展現(xiàn)出來,使得解題過程變得更加輕松。
例:已知f(x)=2sin(x+π3),
(1)若向量,m=(cosx2,3cosx2),n(-cosx2,sinx2)并m//n。求f(x)的值。
(2)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的對邊分別是a,b,c,且滿足(2a﹣c)cosB=bcosC,求f(A)的取值范圍.
解答:(1)由m//n,可得cosx2sinx2=-3cosx2cosx2,所以cosx2=0?;騮anx2=-3,所以x=2kπ+π或x=2kπ-2π3(kεZ),f(x)=-3.
因為(2a﹣c)cosB=bcosC
由正弦定理可知2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC,所以2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC。
2sinAcosB=sin(B+C),因為A+B+C=π,所以sin(B+C)=sinA,且sinA≠0。 所以,cosB=12,B=π3
最后可得,f(A)的取值范圍為(0,2]。
這道例題就是典型的利用向量知識,結(jié)合三角函數(shù)正弦定理等知識的實際應用。
2.向量問題在不等式中的實際應用 求解不等式的問題在高中數(shù)學中的應用也是相當?shù)膹V泛,但是在實際的解題過程中如果能夠很好的結(jié)合使用向量方法,往往可以簡化解題過程,提高解題效率,開闊解題思路。
例題:應用向量證明不等式√(a12+a22+a32)√(b12+b22+b32)≥|a1b1+a2b2+a3b3|
解答:
構(gòu)造向量m=(a1,a2,a3),n=(b1,b2,b3),
則m·n=(a1b1,a2b2,a3b3).
故依向量模不等|m|·|n|≥|m·n|,得
√(a12+a22+a32)·√(b12+b22+b32)≥√(a1b1+a2b2+a3b3)2=|a1b1+a2b2+a3b3|.
故原不等式成立。
在不等式證明的問題中,對一些變形技巧的應用比較的廣泛,否則是很難進行證明的。在實際的不等式證明過程中,如果能夠把一些數(shù)字裝換為向量,就能夠有效的將不等式中抽象的關系轉(zhuǎn)化成為更加形象具體的向量關系,幫助解答問題。因此在實際的不等式解題中,如何找到向量切入點是很關鍵的。
3.利用向量解決幾何問題 向量本身的方向和長度是能夠代表實際的數(shù)值以及位置坐標關系的。因此在解決幾何問題的時候適當?shù)募尤胂蛄拷忸}方法,可以直觀有效的建立解題模型,對于解題過程有很大的幫助。
例:已知三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等,A1在底面ABC內(nèi)的射影為三角形ABC的中心,則AB1與底面ABC所成角的正弦值等于?(根號2/3)是以A1在底面投影O為原點建系,AO為X軸.設邊長1,請講一下如何表示A,B1坐標?
解答:設邊長為6,延長AO與BC交於D,則AD=3√3
由等邊三角形中心性質(zhì)可知OA=2√3,∴A(2√3,0,0)
AA1=6,勾股定理得OA1=2√6,∴A1(0,0,2√6)
BD=BC/2=3,OD=√3,且BD⊥AD
∴B(-√3,3,0)
∵A1B1∥=AB,∴A1B1→=AB→
設B1(x,y,z),則A1B1→=(x,y,z-2√6)
AB→=(-3√3,3,0)
∴B1(-3√3,3,2√6)
AB1→=(-5√3,3,2√6)
易證OA1→=(0,0,2√6)是面ABC的法向量
設AB1與面ABC所成角為θ,則sinθ=|cos|=|AB1→·OA1→|/|AB1→||OA1→|=|0+0+24|/[√(75+9+24)*√(0+0+24)]=√2/3
結(jié)束:通過上面的舉例分析,我們可以實際看到向量方法在高中數(shù)學中的廣泛應用。因此對于向量方法的學習和使用,需要我們的教師切合實際的引導學生開放思維。從而不斷提高學習效率和質(zhì)量。
參考文獻:
[1]李卓潔.關于向量在解決高中數(shù)學問題中的應用研究[J].信息化建設.2015年6月
[2]劉爽.高中數(shù)學解題中向量方法的應用分析[J].數(shù)學學習與研究.2015年7月
(作者單位:江西省贛州市興國縣平川中學 342400)endprint