楊德甘肅省卓尼縣柳林中學

關(guān)于雙曲線若干問題的探討

楊德
甘肅省卓尼縣柳林中學

雙曲線是圓錐曲線的重要內(nèi)容之一，也是高考的熱點問題，知識綜合程度較高，且易于發(fā)散，運算復雜．此中不乏雙曲線的第二定義和焦點弦等問題，無疑，這類問題在啟迪學生思維，拓寬解題思路等諸多方面都有十分重要的作用，因而它在中學數(shù)學教材及各種復習資料中始終占有一席之地，針對雙曲線的第二定義、焦點弦等問題及其應用，有必要作進一步的探討和研究。

新課改；雙曲線；焦點弦；第二定義

1 引言

新的數(shù)學課程標準是在以學生發(fā)展為本的理念下，要求學生轉(zhuǎn)變學習方式，教師積極探索，轉(zhuǎn)變教與學觀念，加深對課本內(nèi)容的拓展理解和應用。所以，在數(shù)學教學中，教師應善于引領(lǐng)學生對課本的一些重要問題進行進一步的探索與研究，以提高學生的數(shù)學素質(zhì)與應試能力。

2 雙曲線的兩個定義

定義1我們把平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡叫做雙曲線．這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點間的距離叫做雙曲線的焦距。

定義2平面上與一個定點（焦點F）的距離和一條定直線（準線l）的距離的比等于常數(shù)e的點的軌跡，當0＜e＜1時是橢圓;當e＞1時是雙曲線;當e=1時是拋物線。()

例1已知點P到定點F2c,0的距離和它到定直線l∶x=的距離比是常數(shù)(c＞a＞0)，求點P的軌跡。

解設(shè)P(x,y)根據(jù)題意得：

化簡得

令c2-a2=b2，則上式可化為

由此得雙曲線的標準方程，這個雙曲線的離心率就是P到定點F2的距離和它到定直線l（F2不在l上）的距離比。

事實上，在由第一定義推導雙曲線標準方程時，曾得到這樣一個式子：

令c2-a2=b2，則上式可化為：

如果對(1)式做如下處理

(3)式的幾何意義是∶

動點Px,y到定點Fc,0的距離與P到定直線l∶x=的距離的比值是一個常數(shù)=e＞1(c＞a＞0)．這正好是雙曲線的第二定義，由此可見雙曲線的第一、二定義是相互包容的。

3 焦點弦問題

定義3經(jīng)過圓錐曲線焦點且被圓錐曲線截得的線段叫做焦點弦。

這是一個非常重要的幾何量，在歷次考試中出現(xiàn)頻率較大，且形式多樣。

過雙曲線焦點F且與該雙曲線交于A，B兩點，傾斜角為α，則有

(1)當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的同支上時，

(2)當直線l與雙曲線的兩個交點A，B在雙曲線的異支上時，

(3)當直線l與雙曲線只有一個交點時，

證明由對稱性，不妨設(shè)F為有焦點(c,0)

(1)由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

(2)首先A，B在雙曲異支上時，由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

(3)由于直線l與雙曲線有且只有一個交點，依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行，即

對焦點在y軸上的雙曲線而言，也有上述性質(zhì)。

[1]陳炆.圓錐曲線統(tǒng)一定義與統(tǒng)一方程中若干問題釋疑[J].數(shù)學通訊，2010(12)∶10-12.

[2]巨鵬，孫月芳.圓錐曲線焦點弦長的公式求法[J].內(nèi)江科技，2010(5)∶31-32.

[3]彭世金.圓錐曲線焦點弦長的一個公式及應用[J].數(shù)學通訊，2007(22)∶22-23.

楊德，中學一級教師，現(xiàn)任甘肅省卓尼縣柳林中學政教處主任。