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        關(guān)于雙曲線若干問(wèn)題的探討

        2017-08-30 17:04:59楊德甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)
        科學(xué)中國(guó)人 2017年17期
        關(guān)鍵詞:卓尼縣漸近線雙曲線

        楊德甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)

        關(guān)于雙曲線若干問(wèn)題的探討

        楊德
        甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)

        雙曲線是圓錐曲線的重要內(nèi)容之一,也是高考的熱點(diǎn)問(wèn)題,知識(shí)綜合程度較高,且易于發(fā)散,運(yùn)算復(fù)雜.此中不乏雙曲線的第二定義和焦點(diǎn)弦等問(wèn)題,無(wú)疑,這類問(wèn)題在啟迪學(xué)生思維,拓寬解題思路等諸多方面都有十分重要的作用,因而它在中學(xué)數(shù)學(xué)教材及各種復(fù)習(xí)資料中始終占有一席之地,針對(duì)雙曲線的第二定義、焦點(diǎn)弦等問(wèn)題及其應(yīng)用,有必要作進(jìn)一步的探討和研究。

        新課改;雙曲線;焦點(diǎn)弦;第二定義

        1 引言

        新的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)是在以學(xué)生發(fā)展為本的理念下,要求學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式,教師積極探索,轉(zhuǎn)變教與學(xué)觀念,加深對(duì)課本內(nèi)容的拓展理解和應(yīng)用。所以,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,教師應(yīng)善于引領(lǐng)學(xué)生對(duì)課本的一些重要問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步的探索與研究,以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)與應(yīng)試能力。

        2 雙曲線的兩個(gè)定義

        定義1我們把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距。

        定義2平面上與一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn)F)的距離和一條定直線(準(zhǔn)線l)的距離的比等于常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡,當(dāng)0<e<1時(shí)是橢圓;當(dāng)e>1時(shí)是雙曲線;當(dāng)e=1時(shí)是拋物線。()

        例1已知點(diǎn)P到定點(diǎn)F2c,0的距離和它到定直線l∶x=的距離比是常數(shù)(c>a>0),求點(diǎn)P的軌跡。

        解設(shè)P(x,y)根據(jù)題意得:

        化簡(jiǎn)得

        令c2-a2=b2,則上式可化為

        由此得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程,這個(gè)雙曲線的離心率就是P到定點(diǎn)F2的距離和它到定直線l(F2不在l上)的距離比。

        事實(shí)上,在由第一定義推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),曾得到這樣一個(gè)式子:

        令c2-a2=b2,則上式可化為:

        如果對(duì)(1)式做如下處理

        (3)式的幾何意義是∶

        動(dòng)點(diǎn)Px,y到定點(diǎn)Fc,0的距離與P到定直線l∶x=的距離的比值是一個(gè)常數(shù)=e>1(c>a>0).這正好是雙曲線的第二定義,由此可見(jiàn)雙曲線的第一、二定義是相互包容的。

        3 焦點(diǎn)弦問(wèn)題

        定義3經(jīng)過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)且被圓錐曲線截得的線段叫做焦點(diǎn)弦。

        這是一個(gè)非常重要的幾何量,在歷次考試中出現(xiàn)頻率較大,且形式多樣。

        過(guò)雙曲線焦點(diǎn)F且與該雙曲線交于A,B兩點(diǎn),傾斜角為α,則有

        (1)當(dāng)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A,B在雙曲線的同支上時(shí),

        (2)當(dāng)直線l與雙曲線的兩個(gè)交點(diǎn)A,B在雙曲線的異支上時(shí),

        (3)當(dāng)直線l與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí),

        證明由對(duì)稱性,不妨設(shè)F為有焦點(diǎn)(c,0)

        (1)由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

        (2)首先A,B在雙曲異支上時(shí),由漸近線與弦AB斜率的關(guān)系知

        (3)由于直線l與雙曲線有且只有一個(gè)交點(diǎn),依題意則直線l與該雙曲線的漸近線平行,即

        對(duì)焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線而言,也有上述性質(zhì)。

        [1]陳炆.圓錐曲線統(tǒng)一定義與統(tǒng)一方程中若干問(wèn)題釋疑[J].數(shù)學(xué)通訊,2010(12)∶10-12.

        [2]巨鵬,孫月芳.圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的公式求法[J].內(nèi)江科技,2010(5)∶31-32.

        [3]彭世金.圓錐曲線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)的一個(gè)公式及應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)通訊,2007(22)∶22-23.

        楊德,中學(xué)一級(jí)教師,現(xiàn)任甘肅省卓尼縣柳林中學(xué)政教處主任。

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