江蘇省海州高級(jí)中學(xué) (222062)

徐進(jìn)勇

高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)初探

江蘇省海州高級(jí)中學(xué) (222062)

徐進(jìn)勇

數(shù)學(xué)知識(shí)體系由概念、命題、推理組成．?dāng)?shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石，是導(dǎo)出數(shù)學(xué)定理和數(shù)學(xué)法則的邏輯基礎(chǔ)，是提高解題能力的前提，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科的靈魂和精髓．學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生認(rèn)知的基礎(chǔ)，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，數(shù)學(xué)概念是學(xué)生數(shù)學(xué)思維形式的一種體現(xiàn)．正確理解數(shù)學(xué)概念及其生成過程，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象等核心素養(yǎng)的最好素材．

1 關(guān)于數(shù)學(xué)概念

1.1 數(shù)學(xué)概念定義

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，是利用科學(xué)抽象的方法，對(duì)大量生動(dòng)的直觀背景材料進(jìn)行去粗取精，由表及里，由此及彼的加工和制作[1]．?dāng)?shù)學(xué)概念是一種數(shù)學(xué)的思維形式，是學(xué)生不斷感知經(jīng)驗(yàn)的活動(dòng)過程，對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)和學(xué)習(xí)能力培養(yǎng)具有“奠基植根”作用．

1.2 數(shù)學(xué)概念特點(diǎn)

數(shù)學(xué)概念形成是一個(gè)提煉、概括、抽象的過程．具有如下特點(diǎn)：

①主觀的抽象性和客觀具體內(nèi)容的統(tǒng)一．大多數(shù)概念都是排除對(duì)象具體的物質(zhì)內(nèi)容，抽象出內(nèi)在的、本質(zhì)的屬性而形成的．

②符號(hào)化、形式化的特點(diǎn)．?dāng)?shù)學(xué)符號(hào)是抽象數(shù)學(xué)概念的具體表示，數(shù)學(xué)概念常使用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示，使概念形式化、簡(jiǎn)明化．

③具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性．任何一個(gè)概念都處在一定的知識(shí)體系中，要掌握概念必須弄清楚概念的地位和作用，以及概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，要在整體全局上把握概念的全貌，以便于把新概念納入原有的知識(shí)體系中．

④數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用價(jià)值．中國(guó)科學(xué)院院士、數(shù)學(xué)家李邦河院士指出：“數(shù)學(xué)根本上是玩概念，不是玩技巧．”[2]概念不僅包含知識(shí)，更隱含著思維方法，只有通過深入地揭示隱藏在具體數(shù)學(xué)概念背后的思維方法，我們才能真正做到把數(shù)學(xué)課講活、搞懂、入深．

1.3 數(shù)學(xué)概念分類

從根本講，幾乎所有數(shù)學(xué)中那些最初的和最古老的問題都是由外部世界產(chǎn)生的，但是數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)于現(xiàn)實(shí)世界有表現(xiàn)相對(duì)的獨(dú)立性．一門數(shù)學(xué)分支或一種數(shù)學(xué)理論一經(jīng)建立，人們便可以不受外界情況的影響，僅靠邏輯思維而將它向前推進(jìn)，并由此導(dǎo)致新理論與新思想的產(chǎn)生．也就是說，在數(shù)學(xué)中研究的不僅是直接從現(xiàn)實(shí)世界抽象出來的數(shù)量關(guān)系和空間形式，而且還研究那些在數(shù)學(xué)內(nèi)部中以已經(jīng)形成的數(shù)學(xué)概念和理論為基礎(chǔ)定義出來的關(guān)系和形式．據(jù)此，筆者把數(shù)學(xué)概念按生成方式分為二種類型：一是來自于客觀世界，是對(duì)客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式的抽象而生成的概念，如集合、函數(shù)單調(diào)性、圓、橢圓等概念；二是來自于數(shù)學(xué)內(nèi)部，是在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)而創(chuàng)造的新概念，如對(duì)數(shù)、導(dǎo)數(shù)、復(fù)數(shù)等．

2 數(shù)學(xué)概念教學(xué)現(xiàn)狀

當(dāng)前數(shù)學(xué)概念教學(xué)走過場(chǎng)現(xiàn)象比較普遍，老師不喜歡教、害怕教，學(xué)生不喜歡學(xué)、不重視學(xué)，講完定義就做題，做了題才發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)概念一知半解，總結(jié)起來主要存在以下問題：

①學(xué)習(xí)方式單一．往往是一介紹、二注意、三訓(xùn)練，概念教學(xué)習(xí)題化傾向嚴(yán)重．

②重結(jié)論輕過程．往往把數(shù)學(xué)概念看作一個(gè)名詞，概念教學(xué)就是對(duì)概念作解釋，要求學(xué)生記憶，而忽視數(shù)學(xué)概念的引入和形成過程．

③缺失數(shù)學(xué)概念背后數(shù)學(xué)文化的發(fā)掘．不能揣測(cè)科學(xué)家創(chuàng)造概念的歷程，對(duì)概念產(chǎn)生的原因、目的及科學(xué)性理解不到位，概念教學(xué)顯的不夠自然，內(nèi)涵不豐富．

④重講授，輕探索．教師往往習(xí)慣于將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，僅考慮教的過程，忽視學(xué)生學(xué)的過程，影響了學(xué)生正確數(shù)學(xué)觀念的形成，不利于學(xué)生的能力發(fā)展．

3 數(shù)學(xué)概念教學(xué)探索

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》針對(duì)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)提出：高中數(shù)學(xué)課程應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì)．在數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程中，學(xué)生應(yīng)該理解數(shù)學(xué)概念形成的過程，并掌握在這一過程中所蘊(yùn)含的思想方法，使學(xué)生易于接受枯燥難懂的數(shù)學(xué)概念．

3.1 模式探索

類型一

從哲學(xué)上講，概念是抽象思維形式的體現(xiàn)，是判斷、推理等邏輯思維的起點(diǎn)，因此，數(shù)學(xué)概念的教學(xué)主要培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力．教學(xué)中，教師須提供豐富而直觀的材料，引導(dǎo)學(xué)生觀察、比較和分析材料，最終概括出概念的本質(zhì)屬性，從而真正理解數(shù)學(xué)概念．對(duì)于從客觀世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式中抽象出來的概念，可以采取如下步驟：創(chuàng)設(shè)情境，觀察實(shí)例；分析歸納，總結(jié)共性；引入符號(hào)，抽象本質(zhì)；規(guī)范書寫，明晰概念；應(yīng)用概念，深化理解．

案例1 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1中第2.2.1節(jié)“函數(shù)的單調(diào)性”

情境：如圖為某市一天24小時(shí)內(nèi)的氣溫變化圖,請(qǐng)說出溫度隨時(shí)間的變化趨勢(shì)．教學(xué)中讓學(xué)生從實(shí)際出發(fā)概括為“上升還是下降”，產(chǎn)生感性認(rèn)識(shí)，并繼續(xù)讓學(xué)生多舉些生活中的實(shí)例，如上山和下山等．

引入：如何量化y隨x增大而增大？以此啟發(fā)學(xué)生引用數(shù)學(xué)符號(hào)，從數(shù)學(xué)語言的精準(zhǔn)出發(fā)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)x1f(x2))．

規(guī)范：你能嘗試給函數(shù)的單調(diào)性下一個(gè)定義嗎？課堂上讓多個(gè)學(xué)生發(fā)表見解，并在交流中逐步完善對(duì)概念的理解，特別是對(duì)“任意性”、“某個(gè)區(qū)間”的理解，正例說明充分性，反例說明必要性．

通過這一系列的認(rèn)知過程鍛煉了學(xué)生的判斷力、概括力及對(duì)概念的運(yùn)用能力，培養(yǎng)了比較與分析、概括與抽象、判斷與推理的思維習(xí)慣，提高了數(shù)學(xué)語言的表達(dá)水平．

類型二

勞動(dòng)創(chuàng)造了世界，促進(jìn)了人類文明的不斷進(jìn)步．?dāng)?shù)學(xué)中很多概念就是對(duì)勞動(dòng)創(chuàng)作的語言刻畫．這些概念往往有很強(qiáng)的操作性，對(duì)于這類概念可以采取“做中學(xué)”的方式來建構(gòu)．可以采取如下操作步驟：創(chuàng)設(shè)情境，提出問題；操作體驗(yàn)，感知概念；分析成因，感悟本質(zhì)；規(guī)范書寫，明析概念；應(yīng)用概念，深化理解．

案例2 蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-1第2.2節(jié)“橢圓”

情境：用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面上，此時(shí)學(xué)生觀察到截面為圓形．水杯傾斜，再讓學(xué)生觀察水平面，此時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)截面是什么圖形？

操作：如何用一根細(xì)繩畫圓？如果將細(xì)繩的兩端固定在這兩點(diǎn)，用鉛筆挑起細(xì)繩并繃緊，移動(dòng)鉛筆，可畫出什么圖形？

感悟：學(xué)生通過動(dòng)手實(shí)踐、觀察后，由點(diǎn)動(dòng)成線，你能分析曲線形成的機(jī)理，明確點(diǎn)動(dòng)的條件嗎？

明析：你能模仿圓的定義，試著給橢圓下定義嗎？由于學(xué)生所具有的數(shù)學(xué)知識(shí)不足和思維的局限性，所下的定義不一定完整，特別是橢圓定義中條件的限制.這時(shí)教師不必急于糾正，可以讓學(xué)生展示自己的思維過程，引導(dǎo)其進(jìn)行討論.在討論中讓學(xué)生相互啟發(fā)，不斷糾正錯(cuò)誤，直至得出完整、準(zhǔn)確的定義.

應(yīng)用：你能通過橢圓定義建立橢圓方程嗎？

通過這種方式，讓學(xué)生經(jīng)歷概念的生成和完善過程，提高了學(xué)生歸納概括能力，加深了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)是現(xiàn)實(shí)反映及對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng).

類型三

數(shù)學(xué)中大量概念都是在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中邏輯“演繹”的產(chǎn)物．是“數(shù)學(xué)自身理論的邏輯建構(gòu)，是抽象邏輯思維的結(jié)果，沒有客觀現(xiàn)實(shí)與之對(duì)應(yīng)，這類概念對(duì)建構(gòu)數(shù)學(xué)理論非常重要，是數(shù)學(xué)深入發(fā)展的邏輯源泉”[3]．對(duì)于在已有數(shù)學(xué)理論上的邏輯建構(gòu)起來的概念，可以采取如下步驟：創(chuàng)設(shè)情境，觀察實(shí)例；分析判斷，認(rèn)識(shí)沖突；歷史演化，類比創(chuàng)新；規(guī)范書寫，明析概念；應(yīng)用概念，深化理解．

案例3 蘇教版高中數(shù)學(xué)必修1中第3.2.1節(jié)“對(duì)數(shù)”

情境：一種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì),每經(jīng)過一年剩留的質(zhì)量約是原來的84%,(若最初質(zhì)量為1)，問(1)經(jīng)過5年，剩留多少？(2)經(jīng)過多少年，剩留量為0.5？

分析：學(xué)生思考后，針對(duì)第(2)問所列的等式，提出這樣的指數(shù)x存在嗎？出現(xiàn)新問題，產(chǎn)生認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生追溯科學(xué)家的想法，先說明存在性，是定義的前提．

規(guī)范：新的符號(hào)應(yīng)與誰有關(guān)？你覺得如何表示好？ 讓學(xué)生發(fā)揮想象，爾后引入數(shù)學(xué)發(fā)展史．16世紀(jì)前半頁，歐洲人熱衷于地理探險(xiǎn)和海洋貿(mào)易，特別是地理探險(xiǎn)需要更為準(zhǔn)確的天文知識(shí)，對(duì)計(jì)算速度和準(zhǔn)確度與日俱增，人們希望將乘除法歸結(jié)為簡(jiǎn)單的加減法．例如：如何計(jì)算36×365=?如果我們能知道2的多少次方等于36和365，就可進(jìn)行運(yùn)算2m·2n=2m+n，如果再知道2m+n=?就可以算出結(jié)果．在17世紀(jì)人們就制作了這樣包含足夠多數(shù)字的表格，通過查表的方式解決了上述問題，這期間有許多人為了制作這樣的一張精確的表格而獻(xiàn)出了自己畢生的精力，從而達(dá)到計(jì)算化繁為簡(jiǎn)的目的．蘇格蘭數(shù)學(xué)納皮爾(1550～1671)發(fā)明了“對(duì)數(shù)”一詞，意指“對(duì)(照)表中的數(shù)”進(jìn)行運(yùn)算，并記作logaN,即對(duì)數(shù)英文logarithm的前三個(gè)字母．

應(yīng)用：真數(shù)N的范圍是什么？如何求對(duì)數(shù)的值，如log24,log22,log21？通過練習(xí)鞏固對(duì)數(shù)的定義，強(qiáng)化對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化．

將數(shù)學(xué)發(fā)展史融入課堂，關(guān)注數(shù)學(xué)的文化傳承，展示數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生背景和發(fā)展過程，還原數(shù)學(xué)概念的“成長(zhǎng)歷程”，能有效將“知識(shí)與技能、過程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀”這三維目標(biāo)融入一體，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)科學(xué)文化素養(yǎng)，發(fā)展學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新精神.

3.2 情境創(chuàng)設(shè)

新課程理念提倡教師在教學(xué)過程中，采取適當(dāng)?shù)乃夭?，?chuàng)設(shè)一個(gè)有利于課堂教學(xué)的情景．不同的數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的背景各有不同，有的來源于實(shí)際生活和生產(chǎn)，有的為了滿足數(shù)學(xué)內(nèi)部的需要而直接規(guī)定．因此教學(xué)中要根據(jù)所學(xué)的概念的種類，尋找適合的引入方式，讓學(xué)生容易接受．?dāng)?shù)學(xué)問題情境化的導(dǎo)入，也有利于調(diào)節(jié)學(xué)生的心理狀態(tài)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，留給學(xué)生廣闊的思維空間．總結(jié)起來主要引入方法有:

①通過實(shí)例引入．概念教學(xué)中，例子是必不可少的，尤其是比較抽象的數(shù)學(xué)概念．在舉例子時(shí)，既要有正例也要有反例．最好先呈現(xiàn)正例，以方便學(xué)生從例子概括出概念的共同特征，再適當(dāng)呈現(xiàn)出反例，以便加深學(xué)生對(duì)概念本質(zhì)的認(rèn)識(shí)．

②復(fù)習(xí)舊知引入新知．?dāng)?shù)學(xué)上許多新知都是在原有知識(shí)上的變形與提升，通過回顧舊知識(shí)和產(chǎn)生的新問題，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生探求新知．如案例3．

③運(yùn)用多媒體直觀展示．通過多媒體技術(shù)展現(xiàn)概念的形成過程，形象直觀，印象深刻，易于發(fā)現(xiàn)共性，便于接受理解．如立體幾何中的諸多概念．

④運(yùn)用直接感知或操作．?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)來源于生活，許多概念都能在現(xiàn)實(shí)生活中找到相對(duì)應(yīng)的原型，選擇學(xué)生身邊的、生動(dòng)有趣的、具有一定數(shù)學(xué)價(jià)值的素材作為數(shù)學(xué)活動(dòng)的內(nèi)容，將會(huì)為學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)發(fā)展成數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)提供更為豐富的內(nèi)涵．如案例2．

⑤以數(shù)學(xué)史引入．?dāng)?shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)家發(fā)明創(chuàng)造的，因此，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，可以引入一些與之有關(guān)的數(shù)學(xué)家或數(shù)學(xué)故事，這樣既可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，又可以鼓勵(lì)學(xué)生勇于探索和創(chuàng)新，同時(shí)還能向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)發(fā)展史，增加學(xué)生的課外閱讀興趣．如案例3中對(duì)數(shù)的發(fā)展史．

3.3 問題引領(lǐng)

基于學(xué)生原有認(rèn)識(shí)提出問題，設(shè)置問題串，引導(dǎo)學(xué)生思考，進(jìn)而解決問題，是當(dāng)今數(shù)學(xué)課堂的一種重要的組織形式．?dāng)?shù)學(xué)課堂教學(xué)設(shè)計(jì)的理念應(yīng)完全由知識(shí)主線到思維活動(dòng)主線再落實(shí)到問題為主線的轉(zhuǎn)變，數(shù)學(xué)概念教學(xué)更是如此．上述三個(gè)案例中概念的引入都是通過一連串具有邏輯聯(lián)系的問題引導(dǎo)學(xué)生逐步理解概念的．因此，問題串可以看成是數(shù)學(xué)思維過程的“路標(biāo)”，是濃縮了的數(shù)學(xué)思維過程在教學(xué)設(shè)計(jì)中的體現(xiàn)．其次，問題串設(shè)計(jì)好后要充分運(yùn)用“元認(rèn)知提示語”發(fā)問，先給學(xué)生以暗示，從隱蔽性強(qiáng)的弱暗示提示語進(jìn)行啟發(fā)，到用隱蔽性逐步減弱的強(qiáng)暗示提示語進(jìn)行啟發(fā)，“元認(rèn)知提示語”所發(fā)出的暗示有一個(gè)“暗”到什么程度的問題，離目標(biāo)遠(yuǎn)，暗示就隱蔽，元認(rèn)知成分就高；離目標(biāo)越近，暗示就越明，元認(rèn)知成分就越少，認(rèn)知成分就越多[4]．針對(duì)數(shù)學(xué)概念理解的難易程度，教師可斟酌這個(gè)從“暗”到“明”的發(fā)問，充分顧及到不同層次學(xué)生，讓他們都能得到發(fā)展．

3.3 應(yīng)用鞏固

數(shù)學(xué)概念具有高度的抽象性，需要一個(gè)漸進(jìn)的學(xué)習(xí)和消化過程．學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念后，如果沒有及時(shí)進(jìn)行鞏固練習(xí)，會(huì)造成一些概念理解不透徹、不全面現(xiàn)象，反映出課堂上好似聽懂了，課后卻無法獨(dú)立做題．因此數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用鞏固是必不可缺少的，可以通過課堂例題與練習(xí)題和課后作業(yè)來達(dá)到對(duì)于數(shù)學(xué)概念的進(jìn)一步理解與鞏固．3個(gè)案例中也都通過習(xí)題的訓(xùn)練，讓學(xué)生在“做中學(xué)”、“做中悟”．

如果把教學(xué)看成藝術(shù)，那么概念課的教學(xué)應(yīng)該是藝術(shù)中的瑰寶，自身魅力無窮、探索永無止境．教學(xué)中，教師只有對(duì)數(shù)學(xué)概念有著深刻的認(rèn)識(shí)和理解，把握概念的歷史、內(nèi)涵、本質(zhì)、用意，并創(chuàng)造性地使用教材，優(yōu)化概念教學(xué)策略，科學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，才能讓學(xué)生從中體驗(yàn)數(shù)學(xué)家概括數(shù)學(xué)概念的心路歷程，真正使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心體驗(yàn)和創(chuàng)造，以達(dá)到認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，領(lǐng)悟用數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)看待和認(rèn)識(shí)世界的思想真諦．

[1]吳先芳,郭熙漢.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].武漢:華中師范大學(xué)出版社,1997:116,117.

[2]李邦河.數(shù)的概念的發(fā)展[J]．?dāng)?shù)學(xué)通報(bào)，2009,08：1.

[3]李善良.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)與教學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2005：4.

[4]李福軍．追求教學(xué)的“貼地而行”[J]．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2015(3)：10.