浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

虞 懿

多視角探求一道最值題

浙江省金華市第六中學(xué) (321000)

虞 懿

本題雖是一道填空小題，但題面精巧、背景清晰、內(nèi)涵豐富，且入口較寬、解法靈活．可以多方面檢測學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本數(shù)學(xué)思想的掌握情況，并能有效地考查學(xué)生思維的靈活性和敏捷性，是一道值得探究的好題．

視角1 不等式法 自然天成

評注：對于選學(xué)過柯西不等式的同學(xué)來說，這種解法較為簡潔自然．體現(xiàn)出“不等”與“等”的辯證思想．

視角2 三角換元 意在簡化

評注： 換元法是數(shù)學(xué)解題中的基本方法，它能化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡單、化無理為有理、化分式為整式.而換元的方法有很多，三角換元因?yàn)槿呛瘮?shù)公式多，思路廣以及三角函數(shù)本身的有界性，為函數(shù)的最值求解帶來便利.

視角3 方程函數(shù) 彰顯通法

評注：解法3是采用消去其中一個(gè)元，同時(shí)引入一個(gè)元，然后用主元法，將其中一個(gè)視為主變量，借助關(guān)于y的一元二次方程有符合條件的根求解．解法4通過代入消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，再運(yùn)用求導(dǎo)等方法求出相應(yīng)最值．盡管此題的導(dǎo)數(shù)解法與上述幾種解法相比不顯得簡便，但作為“通法”，思路清晰，學(xué)生容易接受．

視角4 向量數(shù)列 另辟蹊徑

評注：解法5、6真可謂構(gòu)思巧妙、奇特，視角新穎，悅從心涌．

視角5 以形助數(shù) 直觀明了

圖1

評注:“數(shù)形結(jié)合”的思想是高中階段重要的數(shù)學(xué)思想，不少代數(shù)問題都有其幾何背景.挖掘這些幾何特征，“以形助數(shù)”能讓問題的解決更直觀簡捷，也體現(xiàn)了命題人“多一點(diǎn)想，少一點(diǎn)算”的指導(dǎo)思想.

視角6 高數(shù)觀點(diǎn) 高屋建瓴

解法8：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)L(x,y,λ)=x+

評注：拉格朗日數(shù)乘法實(shí)際上是借助于求多元函數(shù)極值點(diǎn)求函數(shù)的最值，通常用來求約束條件下的最值問題，操作簡單，也是通解通法，在競賽解題中常常用到．

后記 好題總是回味無窮，該題“橫看成嶺側(cè)成峰”，耐人尋味，實(shí)屬難得．本題通過多角度的切入，多方位的探究，溝通了不等式、三角、函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)、向量、數(shù)列、幾何、高數(shù)等知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使它們有機(jī)地密切地配合起來，從而總結(jié)出解題規(guī)律，探求出解題方法．在平時(shí)教學(xué)中，經(jīng)常與學(xué)生共享這類好題的思維探究和解法形成，對訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維的廣闊性、敏捷性、靈活性和深刻性是大有益處的．