廣東省廣州市協(xié)和中學(xué) (510160)

許云勇

一道賽題的再思考

廣東省廣州市協(xié)和中學(xué) (510160)

許云勇

上述不等式也曾經(jīng)作為第三屆國際中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽試題，應(yīng)該說它是數(shù)學(xué)中的一道經(jīng)典不等式，對于該不等式，代數(shù)證明方法有多種，但基本上都是難以入手、計算量大，對學(xué)生的分析能力、計算能力都要求較高，筆者最近對該不等式作了一些探討，得到一種更為簡潔的幾何證法，同時得到與上述不等式相關(guān)的兩個新不等式鏈，現(xiàn)與讀者分享.

一、結(jié)論的幾何證明

證明：在ΔABC中不妨設(shè)a≥b≥c,如圖1，以BC為邊構(gòu)造等邊ΔA′BC，記AA′=d,則∠ABA′=B

圖1

注：抓住不等式中等號成立的“關(guān)鍵”時刻，巧妙地通過分析一般時刻與關(guān)鍵時刻的異同，從而使得待證不等式通過幾何關(guān)系、代數(shù)運算得以體現(xiàn)！

二、相關(guān)的不等式鏈

事實上，對于不等式(1)，我們可以得到一個更為完美的一個如下不等式鏈：

圖2

若AC=AB,不難看出ha=ωa=ma.故ha≤ωa≤ma,同理可得hb≤ωb≤mb,hc≤ωc≤mc.

而由柯西不等式可知(a2+b2+c2)(ma+mb+mc)≥(ama+bmb+cmc)2,