江西師范大學(xué)教育學(xué)院 (330022) 邱 弘江西師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院 (330022)

劉詠梅

復(fù)數(shù)與平面向量的關(guān)系分析及教學(xué)思考*

江西師范大學(xué)教育學(xué)院 (330022) 邱 弘江西師范大學(xué)數(shù)信學(xué)院 (330022)

劉詠梅

在教學(xué)實(shí)踐中，學(xué)生經(jīng)常提出疑惑：為什么復(fù)數(shù)和向量的加(減)法都與平行四邊形有關(guān)？為什么向量的乘法(數(shù)乘)和復(fù)數(shù)乘法幾何解釋不同？向量與復(fù)數(shù)兩者只是形式具有共性還是具有本質(zhì)的相同，原因是什么？……這些問題不僅是高中學(xué)生需要思考的問題，也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)需要解決的問題．

1.復(fù)數(shù)與平面向量的異同

復(fù)數(shù)與向量在教學(xué)中對(duì)學(xué)生的認(rèn)知影響比較大，兩者都具有“起始”的特點(diǎn)，兩者具有一些共同屬性，也存在一些差異.我們從屬性、運(yùn)算法則、問題解決等幾個(gè)方面對(duì)此進(jìn)行分析．

(1)屬性的異同

形式上的異同是兩者內(nèi)在聯(lián)系的外在表現(xiàn)，復(fù)數(shù)和平面向量都具有代數(shù)表示方式和幾何表示方式．當(dāng)向量的起點(diǎn)確定為坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，平面內(nèi)的點(diǎn)既可以表示復(fù)數(shù)，也可以表示向量的終點(diǎn)．向量與復(fù)數(shù)都與平面內(nèi)的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系(如圖1)．

圖1

向量、復(fù)數(shù)借助平面內(nèi)的點(diǎn)建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系，具有一系列共性，在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化，這有利于問題的解決．

平面向量和復(fù)數(shù)屬性之間也存在差異．向量這一概念兼具“數(shù)”與“形”的特點(diǎn)，可以從兩個(gè)方面分別研究[1]．向量本質(zhì)是具有大小和方向的量，大小和方向相互聯(lián)系、相互制約，形成向量的特有性質(zhì)．復(fù)數(shù)本質(zhì)是“數(shù)”，不具方向性，但復(fù)數(shù)又是二維數(shù)，與一維數(shù)在屬性上存在差異，具有多種表示形式，而且能通過運(yùn)算在代數(shù)、三角、指數(shù)等形式中互相轉(zhuǎn)化，這是向量不具備的．

(2)運(yùn)算法則的異同

(3)解決問題的方法異同

向量、復(fù)數(shù)不僅自身是重要的研究對(duì)象，也是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，運(yùn)用向量或復(fù)數(shù)的方式解決問題，具有簡(jiǎn)潔明了的優(yōu)勢(shì)．

案例2 余弦定理的證明方式是多樣的，其中借助向量和復(fù)數(shù)都可以給出，本文給出借助復(fù)數(shù)證明的思路．

證明思路：以ΔABC的頂點(diǎn)A為原點(diǎn)，邊AB為實(shí)軸建立復(fù)平面，則點(diǎn)A,B,C表示的復(fù)數(shù)分別為ZA=0，ZB=c，ZC=b(cosA+isinA)，通過運(yùn)算實(shí)現(xiàn)三角問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題進(jìn)行解決．

上述問題的解決可以看出，通常在運(yùn)用復(fù)數(shù)和向量解決問題時(shí)，在方法和思維上具有一定的共性．兩者在問題解決中也各自具有特點(diǎn)，向量由于具有“(有向)線段”的特點(diǎn)，在解決平行、垂直、重合等問題具有優(yōu)勢(shì)，復(fù)數(shù)在解決代數(shù)問題方面具有優(yōu)勢(shì)．

2.異同原因分析

向量和復(fù)數(shù)的相互聯(lián)系和相互對(duì)立，形成了其研究過程和研究結(jié)論具有差異性也具有一致性的特點(diǎn)．向量和復(fù)數(shù)在表示方法、運(yùn)算法則以及問題解決等方面都具有共性，也具有差異性，這些共性或差異性起源于概念的定義和運(yùn)算法則的確定背景．

(1)概念起源的差異性決定本質(zhì)屬性的差異

數(shù)學(xué)的研究對(duì)象的確定依賴概念的定義，而概念的定義依賴概念的產(chǎn)生背景，產(chǎn)生背景不同，定義也不同，無(wú)論是共性還是差異性都起源于定義的共性和差異性．由于向量與復(fù)數(shù)都與平面內(nèi)的點(diǎn)具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因而具有共性．如都不具有單調(diào)性，都只具有相等或不相等的關(guān)系等．

向量的研究起源于實(shí)際問題，也就是具有起源于“形”的特點(diǎn)，可以認(rèn)為是“幾何→代數(shù)”的發(fā)展過程．復(fù)數(shù)的研究起源于“負(fù)數(shù)開方”問題，可以認(rèn)為是“代數(shù)→幾何”的發(fā)展過程．因而，向量和復(fù)數(shù)都具有幾何形式和代數(shù)形式，但因果關(guān)系不同．

由于概念產(chǎn)生的背景的差異性，在研究性質(zhì)時(shí)的視角存在差異性．雖然在“形式”方面的相互聯(lián)系，形成運(yùn)算在形式上的共性，但本質(zhì)是不同的．向量用有向線段表示，復(fù)數(shù)用平面內(nèi)的點(diǎn)表示．向量與復(fù)數(shù)之間存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，但兩者不能互相代換，只能借助“點(diǎn)”的關(guān)系相互轉(zhuǎn)換．

(2)運(yùn)算法則的共性

加減法是同類對(duì)象之間的運(yùn)算，不改變對(duì)象的屬性，復(fù)數(shù)和向量的加減運(yùn)算結(jié)果分別是復(fù)數(shù)和向量，幾何表示依然是同一平面內(nèi)的同類對(duì)象．兩者都以平行四邊形為依據(jù)進(jìn)行定義或解釋，每一個(gè)加(減)運(yùn)算都對(duì)應(yīng)一個(gè)平行四邊形(或三角形)．

由于向量與復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算的幾何表示都與平行四邊形相聯(lián)系，運(yùn)算法則的合理性的檢驗(yàn)也應(yīng)與平行四邊形的性質(zhì)具有不矛盾性．如平行四邊形的基本特點(diǎn)之一是兩條邊在對(duì)角線的投影的和等于對(duì)角線的長(zhǎng)．說明依據(jù)平行四邊形確定向量或復(fù)數(shù)的運(yùn)算，與用平面幾何方法研究的結(jié)論一致．

(3)運(yùn)算法則的差異性

乘法運(yùn)算對(duì)于以實(shí)際為背景形成的量一般會(huì)改變其屬性，如向量與向量相乘(數(shù)量積)結(jié)果不再是向量．向量的數(shù)量積法則確定來(lái)源于物理中相關(guān)研究，而復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算法則的背景是代數(shù)運(yùn)算．也即向量法則的確定的依據(jù)是現(xiàn)實(shí)，復(fù)數(shù)法則的確定是依據(jù)是數(shù)學(xué)本身．復(fù)數(shù)的運(yùn)算只要在數(shù)學(xué)中不形成矛盾即可，平面向量乘法運(yùn)算需要與實(shí)際背景不矛盾．

由于復(fù)數(shù)運(yùn)算法則的確定是特殊的等式，這種確定方式難以推廣，如從二元數(shù)推廣到更多元數(shù)的過程中，遇到了如何確定運(yùn)算法則的問題．向量對(duì)乘法的規(guī)定具有一般性，具有更好的可推廣性．復(fù)數(shù)的運(yùn)算無(wú)需重新定義，因而運(yùn)算法則的確定類比實(shí)數(shù)運(yùn)算法則即可，平面向量運(yùn)算的定義依賴背景復(fù)雜，找不到原型的難以定義運(yùn)算，如向量的除法運(yùn)算難以定義．

3.教學(xué)思考

教學(xué)不僅要使學(xué)生獲得知識(shí)，還要使學(xué)生體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的過程．關(guān)注思維發(fā)展的基本方法是以數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程為載體，為學(xué)生概括活動(dòng)搭建平臺(tái)[3]．概念的形成教學(xué)中，教師的引導(dǎo)應(yīng)該使學(xué)生感受到研究對(duì)象的產(chǎn)生的自然性．如前所述，向量的形成源于對(duì)具有物理現(xiàn)象中的力、位移、速度等既有方向又有大小的量的抽象，保留“大小”和“方向”作為本質(zhì)屬性，形成向量的概念．因而，從形式上是源于“幾何”的，向量的基本性質(zhì)的研究也借助幾何直觀進(jìn)行分析．復(fù)數(shù)的形成源于代數(shù)運(yùn)算．但是，無(wú)論復(fù)數(shù)還是向量都具有幾何形式和代數(shù)形式，教學(xué)中要使學(xué)生體會(huì)這種形式的相同和本質(zhì)的差異所形成數(shù)學(xué)對(duì)象的特點(diǎn)．

(1)關(guān)注概念的形成教學(xué)

向量與復(fù)數(shù)概念的建立都是數(shù)學(xué)研究中的重大突破，復(fù)數(shù)使數(shù)的范圍擴(kuò)大到二維，向量使數(shù)學(xué)研究對(duì)象擴(kuò)充為既有大小又有方向的量．這無(wú)論對(duì)數(shù)學(xué)自身的發(fā)展還是數(shù)學(xué)的運(yùn)用都具有重要的價(jià)值，教學(xué)中應(yīng)創(chuàng)設(shè)情境，從多角度突出這一價(jià)值，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的發(fā)展和數(shù)學(xué)與實(shí)際的關(guān)系．

教師在這個(gè)環(huán)節(jié)還可以提出一系列問題引導(dǎo)學(xué)生思考，如為什么要從功的運(yùn)算引出向量的數(shù)量積運(yùn)算？物理的功的運(yùn)算對(duì)確定向量的數(shù)量積的意義是什么？為什么稱為數(shù)量積而不是稱為向量的積？這些問題的思考可以使學(xué)生理解，面對(duì)單純從數(shù)學(xué)原有運(yùn)算中難以確定運(yùn)算法則時(shí)，生活實(shí)際或物理世界的已有研究是確定運(yùn)算法則的重要依據(jù)．這不僅是數(shù)學(xué)運(yùn)算法則的制定特點(diǎn)，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)系特點(diǎn)，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)、認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)．

與此同時(shí)，在形成定義過程中充分認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)研究問題的方法特點(diǎn).數(shù)學(xué)研究的起點(diǎn)是定義，如何定義反映了對(duì)研究對(duì)象本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)．向量的屬性是有大小和方向的量，復(fù)數(shù)是二維數(shù)，這是從紛繁復(fù)雜的問題中抽象出的本質(zhì)屬性，由此形成定義．教學(xué)中，對(duì)定義的形成方式充分展示，促進(jìn)學(xué)生理解定義在數(shù)學(xué)研究中的起點(diǎn)作用和數(shù)學(xué)定義的方式，從而體會(huì)數(shù)學(xué)研究問題方法的特點(diǎn)．

(2)突顯數(shù)學(xué)研究中一般化的價(jià)值

華羅庚曾經(jīng)說：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事非．復(fù)數(shù)用“形”描述，使研究感受到了“存在”，向量用形表示，反映方向的特點(diǎn)．“數(shù)”與“形”相比，具有更一般的特點(diǎn)，無(wú)論是“向量”還是“復(fù)數(shù)”，只有借助代數(shù)和空間想象才能得到推廣和發(fā)展．

無(wú)論代數(shù)還是幾何，在數(shù)學(xué)研究中，需要不斷地將問題一般化，才能通過解決新的問題推動(dòng)數(shù)學(xué)的發(fā)展．

數(shù)學(xué)中存在大量相互聯(lián)系的研究對(duì)象，在教學(xué)中教師應(yīng)善于引導(dǎo)學(xué)生分析和類比，深化學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，形成數(shù)學(xué)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)，這對(duì)于提升學(xué)生的思維能力和解決問題的能力具有重要的意義．

[1]劉詠梅．影響數(shù)學(xué)觀的中學(xué)向量概念教學(xué)[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2009,18(4)：9-12．

[2]菲利克斯·克萊因著，舒湘琴，陳義章，楊欽樑譯．高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)[M]．復(fù)旦大學(xué)出版社，2008:56．

[3]章建躍．理解數(shù)學(xué) 理解學(xué)生 理解教學(xué)[J]．中國(guó)數(shù)學(xué)教育(高中版)，2010.96(12)：3-7．

*本文是江西省協(xié)同創(chuàng)新項(xiàng)目《江西省中小學(xué)教師數(shù)學(xué)學(xué)科課堂教學(xué)評(píng)價(jià)量表的制定》的部分成果．