宋日曉++呂增歲++張立豐

摘 要：實際工程結構中有些載荷關鍵部位難以直接測量，針對這一問題，本文提出了用復變函數(shù)法進行結構連接件的載荷反演，并用帶孔板模擬連接件進行了仿真驗證。首先運用復變函數(shù)法推導出復雜邊界條件下帶孔板外載荷與測點解析關系，然后通過測量載荷關鍵點周圍一定距離位置的應變或位移反演未知外載大小和方向，得到的結果與仿真的結果較為一致。

關鍵詞：結構 載荷反演 復變函數(shù) 帶孔板 仿真

中圖分類號：V215.5 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2017）05（c）-0164-04

Load Inversion and Simulation of Orifice Plate Based on Physical Prototype

Song Rixiao Lv Zengsui Zhang Lifeng

（Chinese Flight Test Establishment Shanxi Xian 710089， China）

Abstract：It is difficult to measured directly measured for some of the key parts of the load in aircraft load health monitoring. To solve this problem， A complex variable function method for structural load inversion is proposed in this paper， and the corresponding test is carried out with the orifice plate instead of connector. Firstly， the complex load function is used to derive the analytic relationship between the external load of the orifice plate and the measuring point under the complex boundary condition. Then， the magnitude and direction of the unknown external load are obtained by measuring the strain or displacement of the distance around the critical point of the load. The results obtained are in good agreement with the results of the simulation.

Key Words：Load health monitoring； Load inversion； Complex variable function； Orifice plate； Simulation

由于工程結構空間有限，一些載荷危險部位無法直接測量，因此就不能直接得到危險部位的載荷情況。對結構件進行危險部位的外載荷估算時，需要進行結構的各緊固件以及其旁路載荷[1]的分析。分析的關鍵就在于建立物理原型，并對受載危險部位周圍的應變或位移進行測量，通過測量的應變或位移值反演[2]出受載危險部位的外載荷，然后進行壽命、損傷等的計算。

1 載荷反演的物理原型

結構的物理原型有很多種表示方式。而對于載荷反演問題，物理原型可以認為是外載與測量位置應力應變的映射關系。這種客觀、穩(wěn)定的映射關系可以表達為。即測量相關部位的應力應變，通過建立的映射關系可以反演得到施加在結構件上的外載荷。

2 復變函數(shù)法

目前，應用該方法解決的通常是邊界條件簡單，如對稱、無窮大等問題。本文將復變函數(shù)法應用于復雜邊界條件下進行孔邊集中力外載荷反演，并取得了初步的成功。

孔邊集中力大小及作用位置的復應力函數(shù)解析式在進行坐標變換以及相應的公式推導后，最終以如下形式給出 [3]

（1）

和是關于復數(shù)的兩個解析函數(shù)，可以用來表示常體力的平面問題。，，為m個邊界上沿x和y方向的面力之和。和跟無窮遠處應力條件有關。

3 載荷反演實例

工程結構中連接多類似于帶孔板結構，故本文以帶孔板為例，外載荷作用于孔邊，為非對稱載荷；邊界條件已知且不對稱。本文建立的物理原型是通過復變函數(shù)法推導出的帶孔板孔邊外載荷與測點位置應力對應的解析關系。

3.1 解析關系推導

試驗件尺寸以及受力形式如圖1所示。材料為LY13-CZ，厚度為2mm，寬度為200mm，寬度與厚度比值為100，故試驗件可以近似為無限大，孔邊受未知方向集中力，孔的圓心作為坐標原點。

圓孔無限域上的解析函數(shù)可以表示為

（2）

根據(jù)邊界條件，面力分量的兩個主矢量為

（3）

由于帶孔板的受力不對稱，進行有限元分析時，邊界增加了約束，所以計算時無窮遠處的應力不能為0，應力如公式（4）所示

（4）

（5）

其中

（6）

可以求出

（7）

同理，求我們知道

（8）

（9）

上述兩式中，對于孔邊作用集中力，，即，，，，可以得到和關于x，y的關系式。根據(jù)以上解析式，通過測量點的應力可以反演出孔邊集中力的位置和大小。

3.2 有限元模擬及誤差分析

帶孔板結構網(wǎng)格劃分如圖2所示，并以22.5°和112.5°的孔邊集中力為例進行了分析，板左側進行固支約束。

3.3 無限大帶孔板孔邊受22.5°方向集中力

Mises應力有限元模擬結果如圖3所示。

3.4 反演計算

在進行計算時，由于正演的公式過于復雜且變量之間非線性關系[4-5]，所以采用數(shù)值解法來求解方程組。為提高計算效率，預估實際帶孔板的孔邊集中力大小及方向，取外載荷大小范圍為[0N，2000N]，步長為1N，方向范圍為[0°，360°]，步長為0.1°，求解得到外載大小和方向如表2所示。

3.5 結論

（1）因為孔邊應力梯度較大，在選點測量時距離要掌握好，經過反復取點發(fā)現(xiàn)，選取離孔邊3～15mm之間的點進行反演效果較好。從表中可以看出，采用理論方法計算出的結果與有限元結果誤差在7%以內。

（2）從表2中可以看出，本文運用的復變函數(shù)法反演得到的外載荷大小和方向的誤差在-10.31%～7.44%之間，說明了這種方法可以用在結構件外載荷反演中。

（3）數(shù)據(jù)測量點應選取預估集中力方向附近區(qū)域的點。

4 結語

運用復變函數(shù)法完成了無限大帶孔板在復雜邊界條件，孔邊受集中力情況下載荷的反演與仿真，結果證明了新提出方法的可行性和有效性。

用帶孔板模擬連接件建立了外載荷與測量點應力之間的映射關系，解決了已知測點應力反演外載荷的問題。

該文對簡單的帶孔板做了分析，對于復雜結構的分析還需要更深入的研究。不同結構的邊界條件也不相同，在解析推導過程中代入邊界條件的影響，從而提高反演精度，還需要更進一步的研究。

參考文獻

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[3] M.A.拉夫連季耶夫.復變函數(shù)論方法[M].北京：高等教育出版社，2006.

[4] 李愛芹.線性方程組的迭代解法[J].科學技術與工程，2007，7（14）：3357-3364.

[5] Saad Y， Van Der Vorst H A. Iterative solution of linear systems in the 20th century[J]. Journal of Computational and Applied Mathematics， 2000，123（1）：1-33.