劉久成

【摘要】基于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)和學(xué)科特點(diǎn)，對小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)進(jìn)行合理界定，探討小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成要素和具體表現(xiàn)，并提出小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的三棱錐結(jié)構(gòu)模型。

【關(guān)鍵詞】任務(wù)導(dǎo)向 小學(xué)數(shù)學(xué) 核心素養(yǎng) 要素

近年來，聯(lián)合國教科文組織、歐盟、經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）等以素養(yǎng)為核心，推進(jìn)未來課程建設(shè)，開展素養(yǎng)的界定與選擇等專題研究，引起了世界各國的廣泛關(guān)注。我國學(xué)者也進(jìn)行了相關(guān)研究，并將“學(xué)生應(yīng)具備的，能夠適應(yīng)終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力”作為中國學(xué)生發(fā)展的核心素養(yǎng)。數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)學(xué)科，主要屬于“思維科學(xué)”而非“經(jīng)驗(yàn)科學(xué)”。數(shù)學(xué)教育大師弗賴登塔爾指出：“數(shù)學(xué)是智力的磨刀石，對于所有信奉教育的人而言，都是一種不可缺少的思維訓(xùn)練?！敝麛?shù)學(xué)家柯朗也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，作為人類思維的表達(dá)形式，反映了人們積極進(jìn)取的意志、縝密周詳?shù)耐评恚约皩ν昝谰辰绲淖非??！睌?shù)學(xué)教育應(yīng)始終把發(fā)展學(xué)生的“數(shù)學(xué)思維”，培養(yǎng)學(xué)生的“理性精神”作為主要任務(wù)。數(shù)學(xué)思維是指數(shù)學(xué)地思考問題和解決問題的思維活動(dòng)形式，包括：在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、猜想、分析、綜合、抽象和概括；能用歸納、演繹和類比進(jìn)行推理；能合乎邏輯地、準(zhǔn)確地表達(dá)自己的思想和觀點(diǎn)；能運(yùn)用數(shù)學(xué)概念、思想和方法，辨明數(shù)學(xué)關(guān)系等。理性精神最基本的要求就是“有理有據(jù)”，最重要的成分就是追求真理、實(shí)事求是、獨(dú)立思考、質(zhì)疑反思、不盲從權(quán)威。作為數(shù)學(xué)教育工作者，在研究學(xué)生一般核心素養(yǎng)的同時(shí)，更應(yīng)關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。基于小學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)，以及數(shù)學(xué)學(xué)科的獨(dú)特性，我們對小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵及其要素進(jìn)行了探討。

一、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的內(nèi)涵

關(guān)于“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”，不同階段、不同國家或組織、不同學(xué)者有不同的解釋和理解，目前尚無統(tǒng)一的定義。

有的從素養(yǎng)（或素質(zhì)）概念出發(fā)進(jìn)行演繹。如：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是指以人的先天生理特點(diǎn)為基礎(chǔ)，在后天環(huán)境和數(shù)學(xué)教育影響下形成并發(fā)展的心理方面的穩(wěn)定屬性?！保∕A課題組，1997）這樣界定忽視了數(shù)學(xué)學(xué)科的特殊性，沒有真正揭示出數(shù)學(xué)素養(yǎng)的內(nèi)涵。有的把數(shù)學(xué)素養(yǎng)看作是知識、能力等方面的綜合。比如：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)就是人們通過數(shù)學(xué)教育以及個(gè)體自身的實(shí)踐和認(rèn)識活動(dòng)，所獲得的數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)技能、數(shù)學(xué)能力、數(shù)學(xué)觀念和數(shù)學(xué)思維品質(zhì)等方面的素質(zhì)與修養(yǎng)?！保ㄖ斓陆?，2004）“數(shù)學(xué)素養(yǎng)指的是對數(shù)學(xué)知識的理解，以及進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)過程中所展現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)能力?！保ㄌK洪雨等，2010）這樣把知識、思想方法與能力等簡單相加的做法不利于它們相互之間的融通，也難以進(jìn)行有效測評。

世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）國際學(xué)生評價(jià)項(xiàng)目（PISA，2012）認(rèn)為：“數(shù)學(xué)素養(yǎng)是個(gè)體在各種情況下形成、使用、詮釋數(shù)學(xué)的能力，包括用數(shù)學(xué)推理、數(shù)學(xué)概念、過程、事實(shí)和工具，來描述、解釋、預(yù)測現(xiàn)象；它能幫助作為一個(gè)創(chuàng)新、積極和善于反思的公民認(rèn)識數(shù)學(xué)在世界中所扮演的角色，并做出良好的判斷和決定?！彼鼘?shù)學(xué)素養(yǎng)的理解主要從數(shù)學(xué)學(xué)科的角度出發(fā)，著力點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，注重應(yīng)用數(shù)學(xué)的過程和對數(shù)學(xué)情境的理解，將數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)、靜態(tài)與動(dòng)態(tài)結(jié)合在一起，但忽視了個(gè)體情感態(tài)度的因素。

華南師大何小亞教授在《數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)》上撰文指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是指學(xué)生為了滿足自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展所必備的數(shù)學(xué)方面的品格和能力，是數(shù)學(xué)的知識、能力和情感態(tài)度價(jià)值觀的綜合體。東北師大馬云鵬教授認(rèn)為，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)或?qū)W習(xí)數(shù)學(xué)某個(gè)領(lǐng)域所應(yīng)達(dá)成的綜合性能力。

以上觀點(diǎn)從不同側(cè)面表明，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是知識、能力和態(tài)度等方面的綜合表現(xiàn)。既包括深入思考、探索推理、批判性思維等“認(rèn)知性素養(yǎng)”，又包括自我管理、組織能力、人際交往、積極態(tài)度等“非認(rèn)知性素養(yǎng)”。依據(jù)中國學(xué)生核心素養(yǎng)的基本內(nèi)涵與總體框架，站在數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)和任務(wù)的立場，結(jié)合不同學(xué)者的已有研究，我們認(rèn)為，小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)應(yīng)以學(xué)科任務(wù)為導(dǎo)向，立足于打好基礎(chǔ)，著眼于全面發(fā)展，是小學(xué)生應(yīng)具備的、滿足自身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的數(shù)學(xué)方面的品格和能力，是在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中形成的最基礎(chǔ)、最具生長性的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成要素和具體表現(xiàn)

新課標(biāo)有4處提及“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”一詞?！扒把浴敝兄赋觯骸皵?shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，數(shù)學(xué)素養(yǎng)是現(xiàn)代社會(huì)每一個(gè)公民應(yīng)該具備的基本素養(yǎng)?！睆?qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)素養(yǎng)的基礎(chǔ)性、重要性?！皩?shí)施建議”中有3處提到，主要闡述了在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中如何促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高，包括“善于挖掘教學(xué)內(nèi)容的教育價(jià)值”“為學(xué)生提供探索復(fù)雜問題、多角度理解數(shù)學(xué)的機(jī)會(huì)，豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)視野”“積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”“以健全的人格感染和影響學(xué)生”等。“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”的提出，應(yīng)該說，與20世紀(jì)末“素質(zhì)教育”、21世紀(jì)初世界經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）以及一些國家和地區(qū)進(jìn)行的核心素養(yǎng)研究有關(guān)。心理學(xué)告訴我們，“素質(zhì)”既有先天的條件，又有后天的養(yǎng)成，而“素養(yǎng)”是指后天學(xué)習(xí)獲得的結(jié)果，因而與教育有更為密切的關(guān)系?！八仞B(yǎng)”比“能力”含義更為廣泛，它與“能力”的不同點(diǎn)還表現(xiàn)在：能力既可以是與生俱來的，也可以是后天形成的，而素養(yǎng)則是“可教、可學(xué)”的，是經(jīng)由后天學(xué)習(xí)獲得的。

“核心素養(yǎng)”的研究可以使新時(shí)期素質(zhì)教育的目標(biāo)更加清晰，內(nèi)涵更加豐富，學(xué)生發(fā)展核心素養(yǎng)指標(biāo)體系的建構(gòu)與評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)的制訂，對于基礎(chǔ)教育課程改革和教學(xué)活動(dòng)的開展，更加具有指導(dǎo)性和可操作性?！昂诵乃仞B(yǎng)”是一個(gè)動(dòng)態(tài)發(fā)展的，整合了知識、技能、態(tài)度、情感與價(jià)值觀的集合體概念?！昂诵乃仞B(yǎng)”比起“素質(zhì)教育”更具有教育概念的特征。當(dāng)然，也有人擔(dān)心，“在積極提倡‘核心素養(yǎng)的同時(shí)，如何才能防止純粹的‘口號操作與‘文字游戲。”如何通過發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的整體設(shè)計(jì)推進(jìn)課程改革，將育人目標(biāo)落實(shí)到各個(gè)教育環(huán)節(jié)，真正推動(dòng)學(xué)生全面發(fā)展，還需要對不同學(xué)段、不同學(xué)科進(jìn)行具體的設(shè)計(jì)和規(guī)劃。就數(shù)學(xué)學(xué)科而言，不僅要明確其內(nèi)涵，還要進(jìn)一步分析研究其基本要素和具體表現(xiàn)。

如何確定數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的構(gòu)成要素，何小亞教授提出了以下5個(gè)標(biāo)準(zhǔn)：（1）反映數(shù)學(xué)的學(xué)科特色；（2）在數(shù)學(xué)較多領(lǐng)域中共有；（3）可以培養(yǎng)；（4）容易分學(xué)段闡述；（5）可以測量。我們認(rèn)為，核心素養(yǎng)要素不僅要體現(xiàn)上述要求，還要充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育的根本任務(wù)?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》從數(shù)學(xué)學(xué)科教育任務(wù)和課程內(nèi)容的角度凝練出10個(gè)核心詞（又稱核心概念），即數(shù)感、符號意識、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。它顯示了小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的核心和學(xué)科本質(zhì)，是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵點(diǎn)和生長點(diǎn)，是數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中應(yīng)該加以凸顯的學(xué)習(xí)任務(wù)。馬云鵬教授曾建議把10個(gè)核心詞，稱之為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)?？紤]到10個(gè)核心詞較為零散，缺乏一定的結(jié)構(gòu)和層次。對此，我們做出以下梳理和分析：

可以看出，10個(gè)核心詞中的運(yùn)算能力、數(shù)感、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念，分別隸屬于三個(gè)不同的課程內(nèi)容領(lǐng)域；而符號意識、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識，是三個(gè)課程內(nèi)容領(lǐng)域共同的核心詞。進(jìn)一步分析可以看到，運(yùn)算離不開數(shù)感，同時(shí)運(yùn)算又是數(shù)感生成、發(fā)展的主要途徑，在運(yùn)算能力與數(shù)感中應(yīng)凸顯數(shù)學(xué)運(yùn)算；幾何直觀以空間觀念為基礎(chǔ)，同時(shí)空間觀念的發(fā)展又有助于幾何直觀的培養(yǎng)?？臻g觀念相較于幾何直觀更具綜合性和概括性，進(jìn)入中學(xué)階段還要以培養(yǎng)空間觀念作為重要目標(biāo)，所以在空間觀念、幾何直觀中應(yīng)凸顯空間觀念。這樣，三個(gè)課程內(nèi)容領(lǐng)域應(yīng)分別凸顯三個(gè)核心詞：數(shù)學(xué)運(yùn)算、空間觀念和數(shù)據(jù)分析。

三個(gè)課程內(nèi)容領(lǐng)域的共同核心詞中，數(shù)學(xué)推理體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)，沒有推理數(shù)學(xué)只能停留在事實(shí)和直觀層面，難以上升到對一般規(guī)律的認(rèn)識；模型思想中結(jié)合了抽象思想、符號意識、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識的整體要求，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)與外部事物的聯(lián)系，因此，這五個(gè)核心詞中應(yīng)凸顯數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模。由于抽象思想、推理思想、模型思想是最基本的數(shù)學(xué)思想，并且反映了數(shù)學(xué)的三大特點(diǎn)：高度抽象性、邏輯嚴(yán)密性、應(yīng)用廣泛性。盡管核心詞中沒有提出抽象思想，仍應(yīng)將其作為數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)，列為核心素養(yǎng)的要素。這樣，上述六個(gè)核心要素：數(shù)學(xué)運(yùn)算、空間觀念、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模，不僅反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)特征，涵蓋了小學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的各個(gè)領(lǐng)域，也包括了我們過去一貫倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)“3+1”能力，即運(yùn)算能力、思維能力、空間觀念和解決實(shí)際問題的能力。這些都是當(dāng)前小學(xué)數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)，是促進(jìn)學(xué)生全面發(fā)展必須達(dá)成的目標(biāo)，可以作為小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的要素。數(shù)學(xué)情感態(tài)度是各個(gè)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容領(lǐng)域?qū)W習(xí)中共有的，它屬于內(nèi)隱的心理結(jié)構(gòu)，無法通過傳授而直接獲得，需要通過學(xué)生的過程性學(xué)習(xí)間接獲得。數(shù)學(xué)情感態(tài)度直接關(guān)系到其他數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，并且總是與其他素養(yǎng)交融在一起，處于中心位置，應(yīng)成為核心素養(yǎng)之一。這樣，我們提出小學(xué)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的七個(gè)要素，大致可劃分為三個(gè)類型。數(shù)學(xué)運(yùn)算、空間觀念和數(shù)據(jù)分析不僅是學(xué)生必須掌握的課程內(nèi)容的知識和技能，也是學(xué)生發(fā)展的基本能力；數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模是基本的數(shù)學(xué)思想方法，也是學(xué)生應(yīng)發(fā)展的重要思維品質(zhì)和能力因素，具有跨學(xué)科、綜合性的特點(diǎn)。從各要素的具體任務(wù)出發(fā)，梳理出它們的具體表現(xiàn)如下：

上述核心素養(yǎng)要素可以構(gòu)成一個(gè)三棱錐立體結(jié)構(gòu)模型，即以知識能力要素：數(shù)學(xué)運(yùn)算、空間觀念、數(shù)據(jù)分析作為底面三邊形，它們構(gòu)成數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的基底；三個(gè)基本數(shù)學(xué)思想方法要素：數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)推理和數(shù)學(xué)建模是在知識技能基礎(chǔ)上的進(jìn)一步概括、提升，作為三個(gè)側(cè)面三邊形，與底面架接，構(gòu)成了一個(gè)三棱錐基殼；其內(nèi)部即為情感態(tài)度，作用于知識技能、思想方法諸要素，從而構(gòu)成一個(gè)三維立體結(jié)構(gòu)。這樣，以知識技能為基礎(chǔ)，以思想方法為能力發(fā)展的基本途徑，在情感態(tài)度的作用下，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。