張偉
【摘要】判斷學(xué)習(xí)者是否有效達成學(xué)習(xí)目標(biāo)的重要標(biāo)志之一,就是學(xué)生是否獲得了數(shù)學(xué)理解。本文嘗試闡述對數(shù)學(xué)理解的認(rèn)識,并給出達成數(shù)學(xué)理解的教學(xué)實施建議:重設(shè)計,結(jié)合問題情境促進學(xué)生理解;重引導(dǎo),結(jié)合數(shù)學(xué)活動加深學(xué)生理解;重建構(gòu),結(jié)合知識連接提升學(xué)生理解;重感悟,結(jié)合回顧反思內(nèi)化學(xué)生理解。
【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)理解 有效學(xué)習(xí)
學(xué)生獲得數(shù)學(xué)理解意味著什么?
孔凡哲教授認(rèn)為:“學(xué)生獲得了數(shù)學(xué)理解,就意味著這名學(xué)生能夠用自己的故事表達相應(yīng)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵,對其中本質(zhì)內(nèi)涵的反映準(zhǔn)確無誤?!闭J(rèn)知心理學(xué)的觀點則認(rèn)為:“獲得數(shù)學(xué)理解意味著數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵已經(jīng)融化在學(xué)生原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)之中,并形成相應(yīng)的數(shù)學(xué)觀念?!?/p>
一般來說,理解就是指學(xué)習(xí)者運用已有的知識經(jīng)驗去認(rèn)識未知事物的屬性、聯(lián)系和關(guān)系,逐步認(rèn)識新事物的本質(zhì)和規(guī)律的思維活動。由于數(shù)學(xué)本身具有抽象性與概括性,學(xué)生在學(xué)習(xí)新知時,往往是先認(rèn)識研究對象的外部特征,構(gòu)建相應(yīng)的心理表象,然后結(jié)合新舊知識間的聯(lián)系,經(jīng)過動態(tài)的探究與體驗,逐步認(rèn)識抽象的數(shù)學(xué)概念,理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征及規(guī)律,從而達到掌握并應(yīng)用新知的學(xué)習(xí)目標(biāo)。
所以,筆者認(rèn)為數(shù)學(xué)理解的實質(zhì)是在感知的基礎(chǔ)上,通過思維加工,使新的數(shù)學(xué)知識與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的原有知識發(fā)生相互作用,并將新知識和原有知識融為一體,內(nèi)化為學(xué)習(xí)者的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程。小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)應(yīng)切實關(guān)注學(xué)生的數(shù)學(xué)理解,采取多種措施深化數(shù)學(xué)理解,促進學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升。
一、重設(shè)計,結(jié)合問題情境促進學(xué)生理解
現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)關(guān)于思維的研究成果表明:“思維通常是由問題情境產(chǎn)生的,且以解決問題為目的?!币话銇碚f,創(chuàng)設(shè)問題情境就是根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有知識經(jīng)驗,將學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計成若干與學(xué)生生活接近,且具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性的問題。其實質(zhì)在于揭示事物的矛盾或引起主體內(nèi)心的沖突,從而喚起思維,激發(fā)學(xué)生積極思考,促進學(xué)生獲得深層次理解。
如張齊華老師執(zhí)教《認(rèn)識整萬數(shù)》時,關(guān)于教學(xué)數(shù)位拓展這一環(huán)節(jié)(學(xué)生原來只認(rèn)識到個位、十位、百位、千位,本節(jié)課要認(rèn)識萬級中的四個數(shù)位),就是在老師不斷創(chuàng)設(shè)的問題情境中,學(xué)生接連遭遇認(rèn)知沖突,原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)平衡被不斷打破,最終在合作探究中,學(xué)生重構(gòu)知識系統(tǒng)的過程。
張教師先讓學(xué)生用三顆棋子放在每人一張紙印的計數(shù)器的不同位置,教師問:“都是三顆棋子,表示的數(shù)一樣大嗎?”從而引出數(shù)位、計數(shù)單位,這是學(xué)生的已有經(jīng)驗。緊接著教師讓學(xué)生撥一個3萬,學(xué)生困惑:計數(shù)器的最高位現(xiàn)在只有千位,怎么辦呢?學(xué)生紛紛說不行,這時有一個學(xué)生站起來說:“行?!痹谇簧戏派?0個珠子就是3萬。教師用課件演示:在千位上放30個珠子。在得到老師的肯定后,同學(xué)們紛紛投來贊許的目光。但教師結(jié)合課件又追問:“看看這么多的珠子,你們對他的做法有意見嗎?”一石激起千層浪,剛剛形成的統(tǒng)一意見被打破,學(xué)生再次陷入認(rèn)知沖突。生1:“計數(shù)器每個數(shù)位上只有10個珠子,沒有30個珠子?!鄙?:“計數(shù)器上沒有這么長的針,30個珠子疊加在一起會掉下來?!保ㄆ聊伙@示,確是如此)生3:“前面我們學(xué)過滿十進一,何況現(xiàn)在已經(jīng)滿三十了。”聽他們這么一說,其他人(包括剛才提出在千位上放30個珠子的同學(xué))也覺得有點不對勁。教師順?biāo)浦鄣貑枺骸澳悄懿荒軘[出一個符合規(guī)則的三萬?”學(xué)生提出不能,因為沒有萬位。教師:“如果允許兩個人合作呢?”學(xué)生頓悟:同桌的兩個同學(xué)把兩張紙印的計數(shù)器拼接在一起(此處有效滲透了分級的概念)。學(xué)生紛紛在左邊計數(shù)器上擺上3個珠子。教師又問:“這是個位,并不是……”(學(xué)生第三次陷入沖突),有學(xué)生提出將“個”改成“萬”,其余依次改為“十萬、百萬、千萬”。教師追問怎么改最簡便(只要在原來的個、十、百、千后面分別加一個“萬”字)。此處向?qū)W生滲透了萬級和個級的一一對應(yīng)關(guān)系,同時為后面分級讀數(shù)做了鋪墊,學(xué)生對數(shù)位這一知識的拓展自然也就水到渠成了。
二、重引導(dǎo),結(jié)合數(shù)學(xué)活動加深學(xué)生理解
理解的過程需要學(xué)生經(jīng)歷探究、操作、交流等一系列數(shù)學(xué)活動,對頭腦中的表象能進行初步加工,并形成一定的認(rèn)識,在此基礎(chǔ)上教師恰當(dāng)?shù)狞c撥與引導(dǎo)能促使學(xué)生對所研究的知識做出更全面的理解。
如教學(xué)六年級“圓柱的認(rèn)識及表面積”一課時,學(xué)生已有了生活中關(guān)于柱體的經(jīng)驗,但是他們往往會把生活中的類似圓柱(如柱子、粉筆等實質(zhì)上是圓臺)和數(shù)學(xué)上的圓柱混為一談。這時就需要教師幫助引導(dǎo)學(xué)生對數(shù)學(xué)上的圓柱進行全面而深刻的認(rèn)識,結(jié)合“指一指”“摸一摸”“比一比”“剪一剪”“算一算”等數(shù)學(xué)活動,充分認(rèn)識數(shù)學(xué)上的圓柱上下是兩個完全相同的圓,沿著高剪開后,側(cè)面是一個長方形,從而對圓柱特征形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
當(dāng)學(xué)生認(rèn)識到這些特征并能解決類似已知底面半徑和高求圓柱表面積(如圖1)時,說明學(xué)生對于圓柱表面積的認(rèn)識及計算算理的理解都達到了較好水平。在此基礎(chǔ)上若還能解決“選擇下列(1)~(8)中哪幾號材料可以制成圓柱體,共有多少種不同的選法”(如圖2,單位:厘米)這樣的問題,則說明學(xué)生已能對該部分知識靈活運用,達到了高層次理解。
三、重建構(gòu),結(jié)合知識連接提升學(xué)生理解
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)往往呈螺旋上升式,所學(xué)知識既與原有知識有關(guān),也對后續(xù)學(xué)習(xí)產(chǎn)生影響,其內(nèi)在有著較為緊密的結(jié)構(gòu)性。因此教師在組織教學(xué)時,應(yīng)充分引領(lǐng)學(xué)生認(rèn)識新舊知識間的內(nèi)在聯(lián)系,注重打通知識間的連接,從而幫助學(xué)生重建認(rèn)知結(jié)構(gòu)。
例如,教學(xué)“異分母分?jǐn)?shù)加減法”時,首先需要學(xué)生對以前學(xué)習(xí)過的同分母分?jǐn)?shù)加減法的計算方法熟練掌握。教師可以先復(fù)習(xí)幾組同分母分?jǐn)?shù)加減法的練習(xí),再出示新授例題:,引導(dǎo)學(xué)生探究:“可以通過哪些方法算出結(jié)果?”“為何不能直接相加?”組織學(xué)生討論后匯報:①轉(zhuǎn)化成小數(shù)計算,②畫圖推導(dǎo)后計算,③通分后再計算。讓學(xué)生對這幾種方法進行比較,找出方法間的共同點:都是將新知轉(zhuǎn)化成以前學(xué)過的方法加以解決(這里又蘊含了轉(zhuǎn)化策略的滲透)。在呈現(xiàn)多種方法之后,師生可以通過比較討論得出最優(yōu)方法,即通分后再計算。從而使學(xué)生認(rèn)識到異分母分?jǐn)?shù)加減法與同分母分?jǐn)?shù)加減法間的本質(zhì)聯(lián)系——只有分?jǐn)?shù)單位相同時才能直接相加減。
教學(xué)到此時,學(xué)生對于“為什么只有分?jǐn)?shù)單位相同時才能直接相加減”這一結(jié)論可能還不能完全理解。教師可以將之前學(xué)過的“整數(shù)”“小數(shù)”“分?jǐn)?shù)”加減法計算法則集中呈現(xiàn),讓學(xué)生理解“整數(shù)相加減需要相同數(shù)位對齊”“小數(shù)相加減需小數(shù)點對齊”“分?jǐn)?shù)加減法需要同分母后才能相加減”,這三者都體現(xiàn)了加減法運算法則的本質(zhì)特征:“只有當(dāng)計數(shù)單位相同時才能相加減。”此時新舊知識間的連接打通了,學(xué)生也就真正理解了。
四、重感悟,結(jié)合回顧反思內(nèi)化學(xué)生理解
經(jīng)驗告訴我們,學(xué)生出現(xiàn)理解上的困難,有時僅僅是因為“思維上邁不過一道坎兒”。教學(xué)過程中結(jié)合回顧與反思,如果學(xué)生突然頓悟了,自然也就理解了,教師需要做的就是增加讓學(xué)生體驗感悟的機會。
在教學(xué)“長方體和正方體體積的統(tǒng)一公式”時,教師適時引導(dǎo)學(xué)生觀察長方體和正方體的示意圖(如圖3),認(rèn)識了“底面積”概念及計算方法,再聯(lián)系前一節(jié)課所學(xué)的長方體和正方體體積公式(V長=abc,V正=a×a×a),探究“長
方體和正方體的體積還可以怎么算”。最終,學(xué)生交流匯報得出長方體、正方體體積=底面積×高(即V=Sh)。在學(xué)生探討“你能說說這個公式是怎么得到的嗎”時,多數(shù)學(xué)生能結(jié)合原有體積公式,理解這兒的S=ab,S=a×a,只不過原來的棱長c和棱長a統(tǒng)一稱之為“h”了。所以說,多數(shù)學(xué)生的理解是基于對原有體積公式的推理上。
此時若適當(dāng)回顧反思,不難發(fā)現(xiàn)長方體體積還可以是“側(cè)面積×長”或“正面積×寬”。這兩種計算方法與“底面積×高”的區(qū)別僅在于長方體不同的擺放位置,其共同實質(zhì)是:某一面面積與其相垂直棱長的乘積,都可以計算出長方體體積。學(xué)生在這一點上有頓悟,數(shù)學(xué)理解就到位了。