張偉

【摘要】判斷學習者是否有效達成學習目標的重要標志之一，就是學生是否獲得了數(shù)學理解。本文嘗試闡述對數(shù)學理解的認識，并給出達成數(shù)學理解的教學實施建議：重設計，結合問題情境促進學生理解；重引導，結合數(shù)學活動加深學生理解；重建構，結合知識連接提升學生理解；重感悟，結合回顧反思內化學生理解。

【關鍵詞】數(shù)學理解 有效學習

學生獲得數(shù)學理解意味著什么？

孔凡哲教授認為：“學生獲得了數(shù)學理解，就意味著這名學生能夠用自己的故事表達相應的數(shù)學內涵，對其中本質內涵的反映準確無誤?！闭J知心理學的觀點則認為：“獲得數(shù)學理解意味著數(shù)學的本質內涵已經融化在學生原有的數(shù)學認知結構之中，并形成相應的數(shù)學觀念?！?/p>

一般來說，理解就是指學習者運用已有的知識經驗去認識未知事物的屬性、聯(lián)系和關系，逐步認識新事物的本質和規(guī)律的思維活動。由于數(shù)學本身具有抽象性與概括性，學生在學習新知時，往往是先認識研究對象的外部特征，構建相應的心理表象，然后結合新舊知識間的聯(lián)系，經過動態(tài)的探究與體驗，逐步認識抽象的數(shù)學概念，理解數(shù)學知識的本質特征及規(guī)律，從而達到掌握并應用新知的學習目標。

所以，筆者認為數(shù)學理解的實質是在感知的基礎上，通過思維加工，使新的數(shù)學知識與學習者認知結構中的原有知識發(fā)生相互作用，并將新知識和原有知識融為一體，內化為學習者的認知結構的過程。小學數(shù)學課堂教學應切實關注學生的數(shù)學理解，采取多種措施深化數(shù)學理解，促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升。

一、重設計，結合問題情境促進學生理解

現(xiàn)代認知心理學關于思維的研究成果表明：“思維通常是由問題情境產生的，且以解決問題為目的?！币话銇碚f，創(chuàng)設問題情境就是根據(jù)教學內容，結合學生的認知發(fā)展水平和已有知識經驗，將學習內容設計成若干與學生生活接近，且具有一定的趣味性和挑戰(zhàn)性的問題。其實質在于揭示事物的矛盾或引起主體內心的沖突，從而喚起思維，激發(fā)學生積極思考，促進學生獲得深層次理解。

如張齊華老師執(zhí)教《認識整萬數(shù)》時，關于教學數(shù)位拓展這一環(huán)節(jié)（學生原來只認識到個位、十位、百位、千位，本節(jié)課要認識萬級中的四個數(shù)位），就是在老師不斷創(chuàng)設的問題情境中，學生接連遭遇認知沖突，原有認知結構平衡被不斷打破，最終在合作探究中，學生重構知識系統(tǒng)的過程。

張教師先讓學生用三顆棋子放在每人一張紙印的計數(shù)器的不同位置，教師問：“都是三顆棋子，表示的數(shù)一樣大嗎？”從而引出數(shù)位、計數(shù)單位，這是學生的已有經驗。緊接著教師讓學生撥一個3萬，學生困惑：計數(shù)器的最高位現(xiàn)在只有千位，怎么辦呢？學生紛紛說不行，這時有一個學生站起來說：“行?！痹谇簧戏派?0個珠子就是3萬。教師用課件演示：在千位上放30個珠子。在得到老師的肯定后，同學們紛紛投來贊許的目光。但教師結合課件又追問：“看看這么多的珠子，你們對他的做法有意見嗎？”一石激起千層浪，剛剛形成的統(tǒng)一意見被打破，學生再次陷入認知沖突。生1：“計數(shù)器每個數(shù)位上只有10個珠子，沒有30個珠子?！鄙?：“計數(shù)器上沒有這么長的針，30個珠子疊加在一起會掉下來?！保ㄆ聊伙@示，確是如此）生3：“前面我們學過滿十進一，何況現(xiàn)在已經滿三十了?！甭犓麄冞@么一說，其他人（包括剛才提出在千位上放30個珠子的同學）也覺得有點不對勁。教師順水推舟地問：“那能不能擺出一個符合規(guī)則的三萬？”學生提出不能，因為沒有萬位。教師：“如果允許兩個人合作呢？”學生頓悟：同桌的兩個同學把兩張紙印的計數(shù)器拼接在一起（此處有效滲透了分級的概念）。學生紛紛在左邊計數(shù)器上擺上3個珠子。教師又問：“這是個位，并不是……”（學生第三次陷入沖突），有學生提出將“個”改成“萬”，其余依次改為“十萬、百萬、千萬”。教師追問怎么改最簡便（只要在原來的個、十、百、千后面分別加一個“萬”字）。此處向學生滲透了萬級和個級的一一對應關系，同時為后面分級讀數(shù)做了鋪墊，學生對數(shù)位這一知識的拓展自然也就水到渠成了。

二、重引導，結合數(shù)學活動加深學生理解

理解的過程需要學生經歷探究、操作、交流等一系列數(shù)學活動，對頭腦中的表象能進行初步加工，并形成一定的認識，在此基礎上教師恰當?shù)狞c撥與引導能促使學生對所研究的知識做出更全面的理解。

如教學六年級“圓柱的認識及表面積”一課時，學生已有了生活中關于柱體的經驗，但是他們往往會把生活中的類似圓柱（如柱子、粉筆等實質上是圓臺）和數(shù)學上的圓柱混為一談。這時就需要教師幫助引導學生對數(shù)學上的圓柱進行全面而深刻的認識，結合“指一指”“摸一摸”“比一比”“剪一剪”“算一算”等數(shù)學活動，充分認識數(shù)學上的圓柱上下是兩個完全相同的圓，沿著高剪開后，側面是一個長方形，從而對圓柱特征形成良好的認知結構。

當學生認識到這些特征并能解決類似已知底面半徑和高求圓柱表面積（如圖1）時，說明學生對于圓柱表面積的認識及計算算理的理解都達到了較好水平。在此基礎上若還能解決“選擇下列（1）～（8）中哪幾號材料可以制成圓柱體，共有多少種不同的選法”（如圖2，單位：厘米）這樣的問題，則說明學生已能對該部分知識靈活運用，達到了高層次理解。

三、重建構，結合知識連接提升學生理解

數(shù)學學習往往呈螺旋上升式，所學知識既與原有知識有關，也對后續(xù)學習產生影響，其內在有著較為緊密的結構性。因此教師在組織教學時，應充分引領學生認識新舊知識間的內在聯(lián)系，注重打通知識間的連接，從而幫助學生重建認知結構。

例如，教學“異分母分數(shù)加減法”時，首先需要學生對以前學習過的同分母分數(shù)加減法的計算方法熟練掌握。教師可以先復習幾組同分母分數(shù)加減法的練習，再出示新授例題：，引導學生探究：“可以通過哪些方法算出結果？”“為何不能直接相加？”組織學生討論后匯報：①轉化成小數(shù)計算，②畫圖推導后計算，③通分后再計算。讓學生對這幾種方法進行比較，找出方法間的共同點：都是將新知轉化成以前學過的方法加以解決（這里又蘊含了轉化策略的滲透）。在呈現(xiàn)多種方法之后，師生可以通過比較討論得出最優(yōu)方法，即通分后再計算。從而使學生認識到異分母分數(shù)加減法與同分母分數(shù)加減法間的本質聯(lián)系——只有分數(shù)單位相同時才能直接相加減。

教學到此時，學生對于“為什么只有分數(shù)單位相同時才能直接相加減”這一結論可能還不能完全理解。教師可以將之前學過的“整數(shù)”“小數(shù)”“分數(shù)”加減法計算法則集中呈現(xiàn)，讓學生理解“整數(shù)相加減需要相同數(shù)位對齊”“小數(shù)相加減需小數(shù)點對齊”“分數(shù)加減法需要同分母后才能相加減”，這三者都體現(xiàn)了加減法運算法則的本質特征：“只有當計數(shù)單位相同時才能相加減。”此時新舊知識間的連接打通了，學生也就真正理解了。

四、重感悟，結合回顧反思內化學生理解

經驗告訴我們，學生出現(xiàn)理解上的困難，有時僅僅是因為“思維上邁不過一道坎兒”。教學過程中結合回顧與反思，如果學生突然頓悟了，自然也就理解了，教師需要做的就是增加讓學生體驗感悟的機會。

在教學“長方體和正方體體積的統(tǒng)一公式”時，教師適時引導學生觀察長方體和正方體的示意圖（如圖3），認識了“底面積”概念及計算方法，再聯(lián)系前一節(jié)課所學的長方體和正方體體積公式（V長=abc，V正=a×a×a），探究“長

方體和正方體的體積還可以怎么算”。最終，學生交流匯報得出長方體、正方體體積=底面積×高（即V=Sh）。在學生探討“你能說說這個公式是怎么得到的嗎”時，多數(shù)學生能結合原有體積公式，理解這兒的S=ab，S=a×a，只不過原來的棱長c和棱長a統(tǒng)一稱之為“h”了。所以說，多數(shù)學生的理解是基于對原有體積公式的推理上。

此時若適當回顧反思，不難發(fā)現(xiàn)長方體體積還可以是“側面積×長”或“正面積×寬”。這兩種計算方法與“底面積×高”的區(qū)別僅在于長方體不同的擺放位置，其共同實質是：某一面面積與其相垂直棱長的乘積，都可以計算出長方體體積。學生在這一點上有頓悟，數(shù)學理解就到位了。