李兆豐　張淵淵

【摘 要】微分學(xué)是高等數(shù)學(xué)中的一個重要的組成部分，通過對其中兩個主要概念導(dǎo)數(shù)和微分的教學(xué)方法的闡述，使學(xué)生更深入地體會到數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵，從而更好地用于解決實(shí)際問題，達(dá)到創(chuàng)新能力培養(yǎng)的目的。

【關(guān)鍵詞】創(chuàng)新能力；微分學(xué)概念；數(shù)學(xué)思維的遷徙

0 引言

高等數(shù)學(xué)是人類思維的偉大成果之一，它處于自然科學(xué)和人文科學(xué)之間的地位，是它成為高等教育的一種特別有效的工具。遺憾的是，微積分的教學(xué)方法有時流于機(jī)械，不能體現(xiàn)出這門學(xué)科乃是一種撼人心靈的智力奮斗的結(jié)晶[1]。這種教學(xué)模式導(dǎo)致的直接后果是使得學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高，或者是學(xué)生只是記住了微積分中的一些概念及運(yùn)算法則，對微積分的應(yīng)用及內(nèi)涵理解不夠。很多同學(xué)感覺上課聽懂了，但就是不會做題，或者不會把所學(xué)的微積分知識與專業(yè)知識相結(jié)合，這都是沒深入理解概念的原因，這樣不利于學(xué)生形成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣和創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。本文從微積分中兩個重要的概念：可導(dǎo)與可微之間的關(guān)系為例來闡述在教學(xué)過程中如何從提出問題引導(dǎo)學(xué)生自主探索到解決問題，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想及方法從而有助于創(chuàng)新能力的提高。

1 一元函數(shù)的微分學(xué)概念

1.1 導(dǎo)數(shù)的概念的教學(xué)

導(dǎo)數(shù)是一元函數(shù)微分學(xué)中的一個重要的概念，它的定義又是一種比較抽象的方式，學(xué)生理解得不夠深入，也就導(dǎo)致不能很好地應(yīng)用這一概念去解決其他相關(guān)的問題。這里的教學(xué)難點(diǎn)在于學(xué)生剛剛進(jìn)入高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，而初等數(shù)學(xué)中往往是“靜態(tài)”的，沒有極限中“無限趨近”的直觀理解，例如在講解導(dǎo)數(shù)這節(jié)中，大部分教材都是以物理學(xué)中的“瞬時速度”為例，學(xué)生能很快算出一段時間內(nèi)的“平均速度”，而不能接受某點(diǎn)的“瞬時速度”這一概念，這時教師要循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生自主探索，體驗(yàn)從提出問題到分析解決問題的全過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想及方法。首先讓學(xué)生算出某段時間Δt內(nèi)的平均速度Δv=■，當(dāng)Δt非常小時，Δv≈■，但無論Δt如何小，Δv都只能是某一時刻的瞬時速度的近似值，只有在Δt→0時，的極限值存在時，我們才認(rèn)為極限值是這一時刻的瞬時速度。在學(xué)生理解了瞬時速度的算法后抽象出來數(shù)學(xué)中的導(dǎo)數(shù)這一概念，即讓學(xué)生理解導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時變化率，學(xué)生弄清楚導(dǎo)數(shù)這一概念的來歷之后教師可以適當(dāng)?shù)丶尤肫渌睦觼砑由钸@一概念的理解，更深入地感受導(dǎo)數(shù)這一概念的實(shí)質(zhì)，例如直線運(yùn)動中物理的加速度是速度的變化量與時間變化量之比的極限，經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際成本、邊際收入及邊際利潤等是經(jīng)濟(jì)變量對自變量變化量之比的極限，利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的變化是經(jīng)濟(jì)理論中重要的分析方法[2]。通過多不同學(xué)科的例子，使學(xué)生體會到凡是涉及到函數(shù)變化率的問題都可以用導(dǎo)數(shù)的思想來解決，加深對導(dǎo)數(shù)這一概念的理解，讓學(xué)生意識到其來自于具體的實(shí)際問題，反過來也用來解決實(shí)際問題。這樣學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)中就會融會貫通，達(dá)到創(chuàng)造型思維的培養(yǎng)。

1.2 導(dǎo)數(shù)與微分之間的聯(lián)系

微分是高等數(shù)學(xué)中的另一個重要的概念之一，它與導(dǎo)數(shù)有著緊密的聯(lián)系，但又是與導(dǎo)數(shù)有著不同的涵義?，F(xiàn)在的教材[4]絕大多數(shù)都是從一個正方形金屬薄片在受熱其邊長變化Δx時計(jì)算其表面積的變化量，然后推廣到一般的函數(shù)，即函數(shù)的增量Δy=f（x+Δx）-f（x）如果能表示為Δy=AΔx+o（Δx），其中A為不依賴與Δx的常數(shù)，o（Δx）是高階無窮小。這樣的過度顯得有些突兀，不夠順暢，學(xué)生往往此時感到很疑惑。這其中的一個原因是例證不足，分析不夠充分，教師此時應(yīng)多聯(lián)系實(shí)際，舉日常生活中常見實(shí)例，使學(xué)生有感性的認(rèn)識，這樣學(xué)生就容易把所學(xué)知識運(yùn)用于實(shí)際，達(dá)到數(shù)學(xué)思維的遷徙，也有助于創(chuàng)新能力的培養(yǎng)。例如可以把正方形薄片換成扇形和球形等，讓學(xué)生自己去計(jì)算系數(shù)A，從而去體會的確切涵義，恰恰是函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)。再例如在汽車行駛中的速碼表，汽車在一分鐘內(nèi)向前行駛的距離，就是微分在現(xiàn)實(shí)生活中的一個例子，而速度正好是汽車在這一時刻的導(dǎo)數(shù)。學(xué)生在自己計(jì)算出A即是導(dǎo)數(shù)后，就會自然想到這是否是個巧合？這時再從數(shù)學(xué)角度給出導(dǎo)數(shù)和微分的定義，學(xué)生就往往比較容易接受，實(shí)現(xiàn)了概念的同化，同化一詞的基本含義是接納、吸收和融化為自身的一部分，實(shí)現(xiàn)概念同化依賴于兩個條件：一是學(xué)習(xí)者原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中必須具有相關(guān)的概念和規(guī)則，即同化點(diǎn)；二是給學(xué)習(xí)者呈現(xiàn)的新概念的表述必須是清楚的。教師在教學(xué)過程中應(yīng)注意多啟發(fā)學(xué)生自主思考，以達(dá)到用創(chuàng)新思維解決不同問題的目的。

2 結(jié)束語

現(xiàn)代教學(xué)越來越重視大學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，如前文所述，高等數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，應(yīng)適當(dāng)?shù)剞饤壏彪s的數(shù)學(xué)定理的推導(dǎo)與證明，多注重理論聯(lián)系實(shí)際，使學(xué)生自主學(xué)習(xí)、自主思考，促使數(shù)學(xué)思維向不同學(xué)術(shù)領(lǐng)域的遷徙，有助于創(chuàng)新能力的提高。

【參考文獻(xiàn)】

[1]卡爾·B·波耶.微積分概念發(fā)展史，復(fù)旦大學(xué)出版社，2007年.

[2]顧靜相.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)[M].北京：北京高等教育出版社，2009.

[3]曾玖紅.從認(rèn)知心理學(xué)角度論微分概念的教學(xué)，數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，第21卷第四期，2012.8.

[4]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)[M].北京：北京高等教育出版社.

[5]梁寧建.當(dāng)代認(rèn)知心理學(xué)[M].上海：上海教育出版社，2003.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]