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        三角經(jīng)典問題研究兩例

        2017-08-17 09:10:31胡詩潔
        文理導航 2017年23期
        關鍵詞:三角函數(shù)值域思想

        胡詩潔

        【摘 要】三角是中學數(shù)學的重要章節(jié),其是一種特殊的函數(shù),正是因為其以角度作為特殊的自變量,使得不少問題的解決獲得了簡化。本文研究三角學習中的兩個經(jīng)典問題,與大家一起探討其中的一些思考。

        【關鍵詞】三角;求值;三角函數(shù);值域;思想

        三角是一個非常獨特的章節(jié),三角函數(shù)是以角度作為自變量的函數(shù).在三角問題的研究中,需要研究一些經(jīng)典的例題,從經(jīng)典例題中獲取知識整合的運用,掌握三角相關知識的熟練性,進一步體會三角知識運用中涉及的數(shù)學思想方法。

        問題1:已知 ,且 ,則 的值為 。

        分析:本題是經(jīng)典的三角求值問題,需要從多個知識點思考。在學習中比較容易錯誤的地方是對角度范圍的精確化判斷,這是作為初學者往往不太注意的,因為在平方關系后產(chǎn)生了增根,往往導致不合范圍的角度也進入了所求,因此這是第一個需要注意的;第二個值得關注的是問題求解的方式,初學學生往往都是利用單量的方式進行求解,這與思維尚處在初級階段有關,隨著學習的深入和三角公式理解的更進一步,如何避免去求解單量才是學習的關鍵所在。

        錯解:由 ,兩邊平方得

        ,所以 ,所以

        。這是一種典型的錯解,原因在于并沒有認識到

        對問題的影響,而且平方方式產(chǎn)生了增根。這樣的問題要正確求解,需要對角度范圍進一步合理分析,并且盡量避免同角關系式的使用。

        法1:由 ,得 ,化簡

        得 ,解得 或 因為

        ,所以 ,即

        所以 , 。

        說明:如果實在對同角關系式情有獨鐘,那就必須認真

        分析角度自身范圍對值的影響,關鍵是 可以

        知道 是鈍角,因此可以分析得出負值。這里是學習

        需要注意的,因為對值的取舍成為解決很多三角問題的關鍵。因此這樣的法1隨著學習的深入漸漸的被淘汰。

        法2:因為 ,兩邊平方得

        ,所以 ,所以

        。因 ,所以 ,又因 ,

        所以 ,得 ,即 ,

        ,所以 。

        說明:若對錯解進一步分析,不難思考角度對值的影響.這樣的問題以后會多次遇到,這也是三角求值問題的典型想法,即盡可能不要利用平方關系,因為這往往導致增根的產(chǎn)生.因此最好的解法是:

        法3:因為 ,兩邊平方得

        ,所以 ,即 ,得

        , 。

        說明:本法是最好的解決求值問題的方式,因為本法不同于上述兩個方法,上述兩法都是對于單量的求解,本法是避開了單量,從整體的角度進行了求解,這種利用整體性的想法是后續(xù)更多三角求值問題的主要思路,值得積累。

        問題2:求函數(shù)y=cos2x+2sinx的值域(x∈[- , ])。

        分析:問題是比較典型的三角函數(shù)值域問題。從二倍角公式簡單思考,我們就發(fā)現(xiàn)應該是換元思想介入,問題的本質(zhì)是二次函數(shù)求值域問題.y=1-2sin x+2sinx=-2(sinx- ) + ,由x∈[- , ],可知- ≤sinx≤1,可以求得函數(shù)值域y∈[- , ]。對于大多數(shù)學習者來說,我們都可以比較輕松的解決本題,因為僅僅一步的技巧讓問題的本質(zhì)凸顯的比較明顯,但是更深層次的東西需要進一步思考:即換元思想(整體性的思考)才是與三角有關值域問題的核心。

        變式1:求函數(shù) 的值域

        ( )。

        分析:本題首先需要借助三角公式的變形。從代數(shù)式上思考,不難發(fā)現(xiàn)本題全部是齊次式,既然是齊次式就可以從統(tǒng)一降次的角度思考,原式可以簡化為

        ,

        由, 可知 ,所以原函數(shù)的值域

        。齊次式的簡化是三角值域問題的經(jīng)典問題,如何將降次和整合聯(lián)系在一起,是問題解決的關鍵,這種代數(shù)變形的能力是必須掌握的、必須具備的。

        本文分析了兩個三角經(jīng)典問題,第一個問題是從求值的角度入手,指出了學習需要注重角度范圍思考,更重要的是如何學習避免單量的求解;第二個問題是注重對于代數(shù)式次數(shù)的研究,從而獲得函數(shù)的本質(zhì),換元思想成為重要的問題解決思想,后續(xù)更多的問題懇請讀者指正。

        【參考文獻】

        [1]鄭毓信,梁貫成.認知問題建構與數(shù)學思想[M].上海:上海教育出版社,2002

        [2]方小芹,林德寬.數(shù)學問題解決過程中的知識類型分析[J].數(shù)學通訊,2013.4

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