三角經(jīng)典問(wèn)題研究?jī)衫?/h1>
2017-08-17 09:10:31胡詩(shī)潔
文理導(dǎo)航 2017年23期
胡詩(shī)潔
【摘 要】三角是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，其是一種特殊的函數(shù)，正是因?yàn)槠湟越嵌茸鳛樘厥獾淖宰兞?，使得不少?wèn)題的解決獲得了簡(jiǎn)化。本文研究三角學(xué)習(xí)中的兩個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，與大家一起探討其中的一些思考。
【關(guān)鍵詞】三角；求值；三角函數(shù)；值域；思想
三角是一個(gè)非常獨(dú)特的章節(jié)，三角函數(shù)是以角度作為自變量的函數(shù).在三角問(wèn)題的研究中，需要研究一些經(jīng)典的例題，從經(jīng)典例題中獲取知識(shí)整合的運(yùn)用，掌握三角相關(guān)知識(shí)的熟練性，進(jìn)一步體會(huì)三角知識(shí)運(yùn)用中涉及的數(shù)學(xué)思想方法。
問(wèn)題1：已知 ，且 ，則 的值為 。
分析：本題是經(jīng)典的三角求值問(wèn)題，需要從多個(gè)知識(shí)點(diǎn)思考。在學(xué)習(xí)中比較容易錯(cuò)誤的地方是對(duì)角度范圍的精確化判斷，這是作為初學(xué)者往往不太注意的，因?yàn)樵谄椒疥P(guān)系后產(chǎn)生了增根，往往導(dǎo)致不合范圍的角度也進(jìn)入了所求，因此這是第一個(gè)需要注意的；第二個(gè)值得關(guān)注的是問(wèn)題求解的方式，初學(xué)學(xué)生往往都是利用單量的方式進(jìn)行求解，這與思維尚處在初級(jí)階段有關(guān)，隨著學(xué)習(xí)的深入和三角公式理解的更進(jìn)一步，如何避免去求解單量才是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。
錯(cuò)解：由 ，兩邊平方得
，所以 ，所以
。這是一種典型的錯(cuò)解，原因在于并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到
對(duì)問(wèn)題的影響，而且平方方式產(chǎn)生了增根。這樣的問(wèn)題要正確求解，需要對(duì)角度范圍進(jìn)一步合理分析，并且盡量避免同角關(guān)系式的使用。
法1：由 ，得 ，化簡(jiǎn)
得 ，解得 或 因?yàn)?/p>
，所以 ，即
所以 ， 。
說(shuō)明：如果實(shí)在對(duì)同角關(guān)系式情有獨(dú)鐘，那就必須認(rèn)真
分析角度自身范圍對(duì)值的影響，關(guān)鍵是 可以
知道 是鈍角，因此可以分析得出負(fù)值。這里是學(xué)習(xí)
需要注意的，因?yàn)閷?duì)值的取舍成為解決很多三角問(wèn)題的關(guān)鍵。因此這樣的法1隨著學(xué)習(xí)的深入漸漸的被淘汰。
法2：因?yàn)?，兩邊平方得
，所以 ，所以
。因 ，所以 ，又因 ，
所以 ，得 ，即 ，
，所以 。
說(shuō)明：若對(duì)錯(cuò)解進(jìn)一步分析，不難思考角度對(duì)值的影響.這樣的問(wèn)題以后會(huì)多次遇到，這也是三角求值問(wèn)題的典型想法，即盡可能不要利用平方關(guān)系，因?yàn)檫@往往導(dǎo)致增根的產(chǎn)生.因此最好的解法是：
法3：因?yàn)?，兩邊平方得
，所以 ，即 ，得
， 。
說(shuō)明：本法是最好的解決求值問(wèn)題的方式，因?yàn)楸痉ú煌谏鲜鰞蓚€(gè)方法，上述兩法都是對(duì)于單量的求解，本法是避開了單量，從整體的角度進(jìn)行了求解，這種利用整體性的想法是后續(xù)更多三角求值問(wèn)題的主要思路，值得積累。
問(wèn)題2：求函數(shù)y=cos2x+2sinx的值域（x∈[- ， ]）。
分析：?jiǎn)栴}是比較典型的三角函數(shù)值域問(wèn)題。從二倍角公式簡(jiǎn)單思考，我們就發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是換元思想介入，問(wèn)題的本質(zhì)是二次函數(shù)求值域問(wèn)題.y=1-2sin x+2sinx=-2（sinx- ） + ，由x∈[- ， ]，可知- ≤sinx≤1，可以求得函數(shù)值域y∈[- ， ]。對(duì)于大多數(shù)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，我們都可以比較輕松的解決本題，因?yàn)閮H僅一步的技巧讓問(wèn)題的本質(zhì)凸顯的比較明顯，但是更深層次的東西需要進(jìn)一步思考：即換元思想（整體性的思考）才是與三角有關(guān)值域問(wèn)題的核心。
變式1：求函數(shù) 的值域
（ ）。
分析：本題首先需要借助三角公式的變形。從代數(shù)式上思考，不難發(fā)現(xiàn)本題全部是齊次式，既然是齊次式就可以從統(tǒng)一降次的角度思考，原式可以簡(jiǎn)化為
，
由， 可知 ，所以原函數(shù)的值域
。齊次式的簡(jiǎn)化是三角值域問(wèn)題的經(jīng)典問(wèn)題，如何將降次和整合聯(lián)系在一起，是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，這種代數(shù)變形的能力是必須掌握的、必須具備的。
本文分析了兩個(gè)三角經(jīng)典問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是從求值的角度入手，指出了學(xué)習(xí)需要注重角度范圍思考，更重要的是如何學(xué)習(xí)避免單量的求解；第二個(gè)問(wèn)題是注重對(duì)于代數(shù)式次數(shù)的研究，從而獲得函數(shù)的本質(zhì)，換元思想成為重要的問(wèn)題解決思想，后續(xù)更多的問(wèn)題懇請(qǐng)讀者指正。
【參考文獻(xiàn)】
[1]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知問(wèn)題建構(gòu)與數(shù)學(xué)思想[M].上海：上海教育出版社，2002
[2]方小芹，林德寬.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的知識(shí)類型分析[J].數(shù)學(xué)通訊，2013.4
猜你喜歡
思想之光照耀奮進(jìn)之路華人時(shí)刊(2022年7期)2022-06-05 07:33:26 函數(shù)的值域與最值新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2021年9期)2021-11-24 01:14:32 思想與“劍”當(dāng)代陜西(2021年13期)2021-08-06 09:24:34 艱苦奮斗、勤儉節(jié)約的思想永遠(yuǎn)不能丟人大建設(shè)(2019年4期)2019-07-13 05:43:08 “思想是什么”當(dāng)代陜西(2019年12期)2019-07-12 09:11:50 多角度求解函數(shù)值域新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2018年9期)2018-11-08 11:07:34 值域求解——一個(gè)“少”字了得中學(xué)生數(shù)理化·高一版(2018年10期)2018-11-08 11:06:56 破解函數(shù)值域的十招理科考試研究·高中(2017年10期)2018-03-07 17:40:07 高中數(shù)學(xué)教學(xué)方法略談考試周刊(2016年93期)2016-12-12 10:07:12 略談高中數(shù)學(xué)三角函數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)課程輔導(dǎo)·教師教育(上、下)(2016年20期)2016-12-01 02:22:16
胡詩(shī)潔
【摘 要】三角是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要章節(jié)，其是一種特殊的函數(shù)，正是因?yàn)槠湟越嵌茸鳛樘厥獾淖宰兞?，使得不少?wèn)題的解決獲得了簡(jiǎn)化。本文研究三角學(xué)習(xí)中的兩個(gè)經(jīng)典問(wèn)題，與大家一起探討其中的一些思考。
【關(guān)鍵詞】三角；求值；三角函數(shù)；值域；思想
三角是一個(gè)非常獨(dú)特的章節(jié)，三角函數(shù)是以角度作為自變量的函數(shù).在三角問(wèn)題的研究中，需要研究一些經(jīng)典的例題，從經(jīng)典例題中獲取知識(shí)整合的運(yùn)用，掌握三角相關(guān)知識(shí)的熟練性，進(jìn)一步體會(huì)三角知識(shí)運(yùn)用中涉及的數(shù)學(xué)思想方法。
問(wèn)題1：已知 ，且 ，則 的值為 。
分析：本題是經(jīng)典的三角求值問(wèn)題，需要從多個(gè)知識(shí)點(diǎn)思考。在學(xué)習(xí)中比較容易錯(cuò)誤的地方是對(duì)角度范圍的精確化判斷，這是作為初學(xué)者往往不太注意的，因?yàn)樵谄椒疥P(guān)系后產(chǎn)生了增根，往往導(dǎo)致不合范圍的角度也進(jìn)入了所求，因此這是第一個(gè)需要注意的；第二個(gè)值得關(guān)注的是問(wèn)題求解的方式，初學(xué)學(xué)生往往都是利用單量的方式進(jìn)行求解，這與思維尚處在初級(jí)階段有關(guān)，隨著學(xué)習(xí)的深入和三角公式理解的更進(jìn)一步，如何避免去求解單量才是學(xué)習(xí)的關(guān)鍵所在。
錯(cuò)解：由 ，兩邊平方得
，所以 ，所以
。這是一種典型的錯(cuò)解，原因在于并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到
對(duì)問(wèn)題的影響，而且平方方式產(chǎn)生了增根。這樣的問(wèn)題要正確求解，需要對(duì)角度范圍進(jìn)一步合理分析，并且盡量避免同角關(guān)系式的使用。
法1：由 ，得 ，化簡(jiǎn)
得 ，解得 或 因?yàn)?/p>
，所以 ，即
所以 ， 。
說(shuō)明：如果實(shí)在對(duì)同角關(guān)系式情有獨(dú)鐘，那就必須認(rèn)真
分析角度自身范圍對(duì)值的影響，關(guān)鍵是 可以
知道 是鈍角，因此可以分析得出負(fù)值。這里是學(xué)習(xí)
需要注意的，因?yàn)閷?duì)值的取舍成為解決很多三角問(wèn)題的關(guān)鍵。因此這樣的法1隨著學(xué)習(xí)的深入漸漸的被淘汰。
法2：因?yàn)?，兩邊平方得
，所以 ，所以
。因 ，所以 ，又因 ，
所以 ，得 ，即 ，
，所以 。
說(shuō)明：若對(duì)錯(cuò)解進(jìn)一步分析，不難思考角度對(duì)值的影響.這樣的問(wèn)題以后會(huì)多次遇到，這也是三角求值問(wèn)題的典型想法，即盡可能不要利用平方關(guān)系，因?yàn)檫@往往導(dǎo)致增根的產(chǎn)生.因此最好的解法是：
法3：因?yàn)?，兩邊平方得
，所以 ，即 ，得
， 。
說(shuō)明：本法是最好的解決求值問(wèn)題的方式，因?yàn)楸痉ú煌谏鲜鰞蓚€(gè)方法，上述兩法都是對(duì)于單量的求解，本法是避開了單量，從整體的角度進(jìn)行了求解，這種利用整體性的想法是后續(xù)更多三角求值問(wèn)題的主要思路，值得積累。
問(wèn)題2：求函數(shù)y=cos2x+2sinx的值域（x∈[- ， ]）。
分析：?jiǎn)栴}是比較典型的三角函數(shù)值域問(wèn)題。從二倍角公式簡(jiǎn)單思考，我們就發(fā)現(xiàn)應(yīng)該是換元思想介入，問(wèn)題的本質(zhì)是二次函數(shù)求值域問(wèn)題.y=1-2sin x+2sinx=-2（sinx- ） + ，由x∈[- ， ]，可知- ≤sinx≤1，可以求得函數(shù)值域y∈[- ， ]。對(duì)于大多數(shù)學(xué)習(xí)者來(lái)說(shuō)，我們都可以比較輕松的解決本題，因?yàn)閮H僅一步的技巧讓問(wèn)題的本質(zhì)凸顯的比較明顯，但是更深層次的東西需要進(jìn)一步思考：即換元思想（整體性的思考）才是與三角有關(guān)值域問(wèn)題的核心。
變式1：求函數(shù) 的值域
（ ）。
分析：本題首先需要借助三角公式的變形。從代數(shù)式上思考，不難發(fā)現(xiàn)本題全部是齊次式，既然是齊次式就可以從統(tǒng)一降次的角度思考，原式可以簡(jiǎn)化為
，
由， 可知 ，所以原函數(shù)的值域
。齊次式的簡(jiǎn)化是三角值域問(wèn)題的經(jīng)典問(wèn)題，如何將降次和整合聯(lián)系在一起，是問(wèn)題解決的關(guān)鍵，這種代數(shù)變形的能力是必須掌握的、必須具備的。
本文分析了兩個(gè)三角經(jīng)典問(wèn)題，第一個(gè)問(wèn)題是從求值的角度入手，指出了學(xué)習(xí)需要注重角度范圍思考，更重要的是如何學(xué)習(xí)避免單量的求解；第二個(gè)問(wèn)題是注重對(duì)于代數(shù)式次數(shù)的研究，從而獲得函數(shù)的本質(zhì)，換元思想成為重要的問(wèn)題解決思想，后續(xù)更多的問(wèn)題懇請(qǐng)讀者指正。
【參考文獻(xiàn)】
[1]鄭毓信，梁貫成.認(rèn)知問(wèn)題建構(gòu)與數(shù)學(xué)思想[M].上海：上海教育出版社，2002
[2]方小芹，林德寬.數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的知識(shí)類型分析[J].數(shù)學(xué)通訊，2013.4
猜你喜歡
華人時(shí)刊(2022年7期)2022-06-05 07:33:26
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2021年9期)2021-11-24 01:14:32
當(dāng)代陜西(2021年13期)2021-08-06 09:24:34
人大建設(shè)(2019年4期)2019-07-13 05:43:08
當(dāng)代陜西(2019年12期)2019-07-12 09:11:50
新世紀(jì)智能(數(shù)學(xué)備考)(2018年9期)2018-11-08 11:07:34
中學(xué)生數(shù)理化·高一版(2018年10期)2018-11-08 11:06:56
理科考試研究·高中(2017年10期)2018-03-07 17:40:07
考試周刊(2016年93期)2016-12-12 10:07:12
中學(xué)課程輔導(dǎo)·教師教育(上、下)(2016年20期)2016-12-01 02:22:16
