吳飛

摘 要：量子霍爾效應(yīng)是高中物理選修課程中的一個(gè)研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，雖然屬于選修性內(nèi)容，但它在解決帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問題時(shí)應(yīng)用十分廣泛。通過對(duì)量子霍爾效應(yīng)的內(nèi)涵進(jìn)行分析，指出了量子霍爾效應(yīng)在高中物理解題中應(yīng)用的條件，最后通過實(shí)例對(duì)量子霍爾效應(yīng)的具體應(yīng)用進(jìn)行分析，為高中物理的學(xué)習(xí)提供借鑒與參考。

關(guān)鍵詞：高中物理；量子霍爾效應(yīng)；解題運(yùn)用

霍爾效應(yīng)是新課標(biāo)人教版高中物理教材選修的一個(gè)研究性教學(xué)內(nèi)容，在教材中出現(xiàn)過兩次，要求學(xué)生在實(shí)驗(yàn)中，通過研究性學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)電子運(yùn)動(dòng)的規(guī)律。這體現(xiàn)了新課標(biāo)的教學(xué)理念，也增強(qiáng)了學(xué)生對(duì)現(xiàn)代科技與生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系的理解，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)物理的興趣與愛好?；魻栃?yīng)在生活與物理解題中具有十分廣泛的應(yīng)用，通過量子霍爾效應(yīng)與物理解題相結(jié)合，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還能加深學(xué)生對(duì)量子霍爾效應(yīng)實(shí)驗(yàn)的理解。

一、量子霍爾效應(yīng)分析

量子霍爾效應(yīng)屬于高中物理知識(shí)中的選學(xué)內(nèi)容，但是在物理解題中應(yīng)用比較廣泛，學(xué)生通過對(duì)量子霍爾效應(yīng)進(jìn)行分析，有利于培養(yǎng)物理學(xué)習(xí)的興趣，提高分析復(fù)雜帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)問題的能力，進(jìn)而加強(qiáng)對(duì)量子霍爾效應(yīng)的理解。根據(jù)經(jīng)典霍爾效應(yīng)理論的內(nèi)涵，可以知道霍爾電阻RH的變化應(yīng)隨磁場(chǎng)B呈現(xiàn)出連

續(xù)變化的狀態(tài)，并且隨著電路中的載流子濃度n的變化而變化，并且隨著n的增大而減小。但是，在1980年，克利青在實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)，在1.5 K極低溫度和18.9 T強(qiáng)磁場(chǎng)的實(shí)驗(yàn)環(huán)境下進(jìn)行霍爾實(shí)驗(yàn)，通過實(shí)驗(yàn)測(cè)量分析，發(fā)現(xiàn)金屬-氧化物-半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)晶體管中進(jìn)行霍爾實(shí)驗(yàn)，霍爾電阻呈現(xiàn)出新的規(guī)律，他發(fā)現(xiàn)當(dāng)霍爾電阻RH隨磁場(chǎng)的變化而變化時(shí)，反應(yīng)的結(jié)果出現(xiàn)了h一系列量子化的變化平臺(tái)，即RH=Ne2的計(jì)算方法，其中h為普朗克常量，e為反應(yīng)中的電子電量，N為正整數(shù)，并將反應(yīng)中的這種現(xiàn)象稱為整數(shù)量子霍爾效應(yīng)（IQHE），也是量子霍爾效應(yīng)。在該反應(yīng)式中，QHE的概念可以簡(jiǎn)單理解為在磁場(chǎng)的環(huán)境中，帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，在一定的條件下，處在強(qiáng)磁場(chǎng)中的二維帶電運(yùn)動(dòng)粒子，其霍爾電阻的電導(dǎo)率張量利用公式表示如下：

？滓=0■■0 （1）

在上面的公式（1）中，其中i是自然整數(shù)，也就是說在量子霍爾反應(yīng)中，電磁場(chǎng)中的電流密度i嚴(yán)格地與電場(chǎng)E垂直，且電路中的電流值是量子化處理后的。

從上面的計(jì)算公式中可以看出，當(dāng)電場(chǎng)Ex=0時(shí)，可以得到：

jx=？滓xyEy，jy=0 （2）

通過對(duì)上面的公式（2）進(jìn)行分析計(jì)算，可以得到以下公式：

j=？滓HE=■E （3）

從上面的分析可以看出，量子霍爾效應(yīng)主要應(yīng)用于帶電粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的相關(guān)問題解決中，當(dāng)電磁場(chǎng)中的電流密度i嚴(yán)格地與電場(chǎng)E垂直，且RH=Ne2中N為正整數(shù)時(shí)，可以采用量子霍爾效應(yīng)解決此類問題。

二、量子霍爾效應(yīng)在高中物理解題中的應(yīng)用分析

量子霍爾效應(yīng)涉及的知識(shí)面比較廣泛，對(duì)粒子在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析具有重要意義，但由于高中生的知識(shí)有限，對(duì)量子霍爾效應(yīng)的講解不能太深入。但是，課本及輔導(dǎo)書的習(xí)題也涉及了量子霍爾效應(yīng)的問題，主要是圍繞經(jīng)典霍爾效應(yīng)的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行設(shè)計(jì)和解答的。因此，為了培養(yǎng)學(xué)生物理知識(shí)的學(xué)習(xí)興趣，老師需要給學(xué)生滲透一些量子霍爾理論知識(shí)，拓展學(xué)生的知識(shí)面，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，這對(duì)學(xué)生高中物理知識(shí)的學(xué)習(xí)具有十分重要的作用，可以通過一些問題實(shí)例提高學(xué)生對(duì)量子霍爾理論的理解。

例1.運(yùn)用電磁流量計(jì)對(duì)導(dǎo)電液體的電量進(jìn)行測(cè)量，電磁流量計(jì)的截面為正方形的非磁性管，具體如圖1所示，它的每邊邊長(zhǎng)為d，導(dǎo)電液體在電磁流量計(jì)內(nèi)流動(dòng)，在垂直液體流動(dòng)方向上施加了一個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁場(chǎng)的方向指向紙內(nèi)，電磁感應(yīng)的強(qiáng)度為B，電磁流量計(jì)測(cè)得導(dǎo)電液體a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差為U，試對(duì)管內(nèi)導(dǎo)電液體的流量Q進(jìn)行分析。

■

解析：導(dǎo)電液體經(jīng)磁場(chǎng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生電磁感應(yīng)，在洛侖茲力的作用下，通過電磁流量計(jì)的正離子向下偏轉(zhuǎn)，負(fù)離子向上偏轉(zhuǎn)，使得電磁流量計(jì)的管內(nèi)電壓發(fā)生變化，在管內(nèi)液體的上表面積累負(fù)電荷，下表面積累正電荷，這樣在電磁流量計(jì)的管內(nèi)產(chǎn)生一個(gè)方向豎直向上的電場(chǎng)，進(jìn)而形成一個(gè)相互垂直的電場(chǎng)和磁場(chǎng)的復(fù)合場(chǎng)（滿足量子霍爾效應(yīng)的基本條件），共同作用于進(jìn)入電磁流量計(jì)管內(nèi)的電子，使得進(jìn)入這個(gè)復(fù)合場(chǎng)的正、負(fù)離子不僅受洛侖茲力，同時(shí)還受與洛侖茲力相反方向的電場(chǎng)力作用。在正、負(fù)電子不斷向電磁流量計(jì)表面累積的過程中，電場(chǎng)力不斷發(fā)生變化，當(dāng)電場(chǎng)力與洛侖茲力達(dá)到平衡時(shí)，進(jìn)入電磁流量計(jì)管內(nèi)的離子勻速通過管子，不再發(fā)生偏轉(zhuǎn)而做直線運(yùn)動(dòng)，此時(shí)a、b兩點(diǎn)間的電勢(shì)差U保持恒定。

解：通過上面對(duì)電子整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程的分析可以得出，當(dāng)a、b間保持恒定電勢(shì)差U時(shí)應(yīng)滿足電場(chǎng)力與洛侖茲力相等。因此，可以得到：q·■=qvB，

這樣就可以求出電磁流量計(jì)內(nèi)導(dǎo)電液體的流速：

v=■

因此，我們可以求出導(dǎo)電液體的流量：

Q=v·d2=■

從上面的分析可以看出，電磁流量計(jì)中的電流密度Q嚴(yán)格地與電場(chǎng)E垂直時(shí)，說明滿足量子霍爾效應(yīng)，這樣我們?cè)诮忸}中就可以運(yùn)用量子霍爾效應(yīng)的相關(guān)理論進(jìn)行解題，不僅有利于學(xué)生對(duì)量子霍爾效應(yīng)的理解，還能提高學(xué)生解決問題的能力。

例2.在原子反應(yīng)堆的實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)抽動(dòng)液態(tài)金屬等導(dǎo)電液時(shí)，為了保證反應(yīng)的嚴(yán)密性，不允許傳動(dòng)機(jī)械部分與這些反應(yīng)堆中的流體相接觸，常使用一種電磁泵與傳動(dòng)機(jī)械部分相連，如圖2所示的這種電磁泵的結(jié)構(gòu)。將導(dǎo)管置于磁場(chǎng)S中，當(dāng)電流I穿過電磁泵的導(dǎo)電液體時(shí)，這種導(dǎo)電液體即被驅(qū)動(dòng)，就會(huì)產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，如果導(dǎo)管的內(nèi)截面積為a×h，電磁泵磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為L(zhǎng)，電磁泵的磁感強(qiáng)度為B，如果液態(tài)金屬穿過磁場(chǎng)區(qū)域的電流為I，試分析驅(qū)動(dòng)電流所產(chǎn)生的壓強(qiáng)差應(yīng)該是多少。

■

圖2 原子反應(yīng)堆的電磁泵

解析：本題設(shè)置的物理情景如下：當(dāng)電流通過金屬液體，并沿著圖3所示的豎直方向向上流動(dòng)時(shí)，電流將會(huì)受到磁場(chǎng)力的作用，而且電流方向與磁場(chǎng)力的方向垂直（符合量子霍爾效應(yīng)的要求），電流將受到磁場(chǎng)的作用力，而磁場(chǎng)力的方向可以采用左手定則的方法進(jìn)行判斷。這個(gè)磁場(chǎng)力即為驅(qū)動(dòng)液態(tài)金屬流動(dòng)的動(dòng)力，我們就可以根據(jù)量子霍爾效應(yīng)對(duì)其產(chǎn)生的壓強(qiáng)差進(jìn)行求解。

■

圖3 例2的等價(jià)示意圖

解：根據(jù)上面的分析可以得出，由于驅(qū)動(dòng)力而使金屬液體沿電流流動(dòng)方向運(yùn)動(dòng)，并在管壁的兩側(cè)產(chǎn)生壓強(qiáng)差？駐P，根據(jù)量子霍爾效應(yīng)，可以得出電場(chǎng)力為：F=BIh，而？駐P=■，這樣通過聯(lián)立這兩個(gè)公式求解，就可以得出電流流過時(shí)所產(chǎn)生的壓強(qiáng)差的計(jì)算方法為：？駐P=■。

從上面的例題分析可以看出，在應(yīng)用量子霍爾效應(yīng)時(shí)需要滿足它的基本條件：首先，電流運(yùn)動(dòng)的方向與電磁場(chǎng)的方向垂直；其次，從經(jīng)典霍爾效應(yīng)到量子霍爾效應(yīng)之間應(yīng)該是整數(shù)倍的關(guān)系。在解題的過程中，只要滿足這兩個(gè)條件，我們就可以考慮使用量子霍爾效應(yīng)分析問題中的信息。

例3.有一個(gè)厚度為h、寬度為d的均勻厚度的導(dǎo)體板，將其放在與它垂直的、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，如圖4所示，當(dāng)電流通過導(dǎo)體板時(shí)，試分析導(dǎo)體板的上側(cè)面A和下側(cè)面A'之間

電勢(shì)差的情況。

■

圖4

解析：由題意可知，導(dǎo)體板在一個(gè)均勻的磁場(chǎng)中通過導(dǎo)電電流，在外部磁場(chǎng)的洛侖茲力的作用下，運(yùn)動(dòng)的電子聚集在導(dǎo)體板的一側(cè)，在導(dǎo)體板的另一側(cè)就會(huì)聚集正電荷，這樣在導(dǎo)體板之間就會(huì)形成一個(gè)橫向的電場(chǎng)，電場(chǎng)對(duì)電子施以靜電力，靜電力的方向與洛倫茲力的方向相反，當(dāng)靜電力與洛侖茲力達(dá)到平衡時(shí)，電子在磁場(chǎng)內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，在導(dǎo)體板的上下就會(huì)形成一個(gè)穩(wěn)定的電勢(shì)差。

解：電子在運(yùn)動(dòng)的過程中受到的電場(chǎng)力與洛倫茲力相等，使

得電子達(dá)到平衡，做勻速運(yùn)動(dòng)，可以得出：■=evB，而導(dǎo)體板中的電流I的大小為：I=nev（dh），這樣聯(lián)立這兩個(gè)公式，就可以求出導(dǎo)體板上側(cè)面A和下側(cè)面A'的電勢(shì)差為：U=■=■=KnevdB，其中K為霍爾系數(shù)，K=■，進(jìn)而求得導(dǎo)體板的電勢(shì)

為：U=dvB。

從上面的分析可以看出，量子霍爾效應(yīng)是一種發(fā)現(xiàn)、研究和應(yīng)用都很廣泛的磁電效應(yīng)，能有效解決高中物理中的一些問題，

特別是帶電粒子與磁場(chǎng)力的方向垂直運(yùn)動(dòng)的情況。從經(jīng)典霍爾效應(yīng)到整數(shù)量子霍爾效應(yīng)再到分?jǐn)?shù)量子霍爾效應(yīng)，都在科技中得到了廣泛的應(yīng)用，而量子霍爾效應(yīng)在物理探究性教學(xué)與學(xué)習(xí)中也具有十分廣泛的用途。隨著新的研究方法的應(yīng)用，量子霍爾實(shí)驗(yàn)的元器件也比較容易獲得，使得量子霍爾效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)也變得比較容易，這樣學(xué)生可以通過量子霍爾實(shí)驗(yàn)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，從而能方便地理解量子霍爾實(shí)驗(yàn)，也能更好地將量子霍爾效應(yīng)應(yīng)用于解決物理問題中。

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