摘 要：透視在不同知識背景下高中數(shù)學(xué)形形色色的兩點間距離公式，并通過一個實例說明公式的具體應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：透視；形形色色；距離公式；例析

中圖分類號：G632 文獻標識符：A

高中數(shù)學(xué)“兩點間的距離公式P1P2=■”是在人教版必修2的第三章《直線與方程》中的《3.3.2兩點間的距離》里學(xué)習(xí)的。在高三的綜合復(fù)習(xí)中，解析幾何大題和選考的“極坐標與參數(shù)方程”大題中常常出現(xiàn)“求線段長或弦長”的問題，大部分學(xué)生只想到求線段或弦長的兩個端點的坐標，再代入距離公式得到

結(jié)果，這是最直接的方法，無可厚非。但結(jié)果往往事與愿違，大部分學(xué)生并沒有快速正確地得出答案。究其原因，不是計算過程中出錯，就是求出的交點坐標比較復(fù)雜。學(xué)生只好前功盡棄，半途而廢。在講究“時間就是效率，時間就是分數(shù)”的高考考場，如果在復(fù)習(xí)中不深入研究形形色色的距離公式，不熟知在不同的知識背景下可以引申出不同的距離公式，那么學(xué)生就不會有高超的競技水平，就不能在高要求的高考考場中取得最后的勝利。在此，我旨在為高三學(xué)生總結(jié)一些來自課本的有形的“求線段長或弦長”的距離公式，幫助高三學(xué)生能在不同的知識背景下選用最好的距離公式求線段長或弦長，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)解題中自覺遵循“熟悉化原則、模式化原則”，最終達到“簡單化原則”，從而少走彎路，快速有效地解題。

公式一：已知兩點P1（x1，y1），P2（x2，y2），則P1P2=

■

這是求線段長或弦長的通法，但在特殊的幾何圖形里，結(jié)合所給幾何圖形的幾何特征及其數(shù)量關(guān)系，距離公式又可以進一步變

形，只要充分利用所給幾何體本身具有的性質(zhì)，就可以有效避免計算上的繁瑣，從而實現(xiàn)高效快速地解題。

公式二：直線與二次曲線相交所得的弦長公式

設(shè)直線y=kx+m（k不存在時單獨討論）與二次曲線交于A、B

兩點，則它的弦長

AB=■·■

（其中x1、x2為直線方程與曲線方程聯(lián)立消掉y后，整理所得的方程ax2+bx+c=0的兩個根）

或AB=■·■

（其中y1、y2為直線方程與曲線方程聯(lián)立消掉x后，整理所得的方程ay2+by+c=0的兩個根）

這是直線與二次曲線（包括圓、橢圓、雙曲線、拋物線）相交求弦長的普適方法。這實質(zhì)是由兩點間距離公式推導(dǎo)出來的，只是用了交點坐標“設(shè)而不求，整體代入”的技巧，就可以有效避免求交點坐標的繁瑣。

公式三：直線和圓相交所得的弦長公式：AB=2■

如圖1，當直線與圓相交時，得到一個弦長AB，根據(jù)圓中圖形幾何性質(zhì)：

半弦長、半徑r、弦心距d構(gòu)成直角三角形，即有

AB=2■。

■

這個公式源自人教版必修2的第四章《圓與方程》中的《4.2.1直線與圓的位置關(guān)系》，教參還突出強調(diào)了“適當?shù)乩脠D形的幾何性質(zhì)，有助于簡化計算，達到事半功倍的作用”。

公式四：過拋物線y2=2px的焦點F的弦長公式AB=x1+x2+p

如圖2，過拋物線的焦點F的直線與拋物線交于A、B兩點，由拋物線的定義可知，AF等于點A到準線的距離AM，

∴AF=x1+■，同理BF=x2+■

于是得到AB=AF+BF=x1+■+x2+■，

即AB=x1+x2+p

■

由此可見，只要求出點A、B的橫坐標之和，就可以求出|AB|。這是人教版選修2-1介紹的方法——數(shù)形結(jié)合。

公式五：如圖3，在極坐標系中P1（？籽1，θ1）和P2（？籽2，θ2）兩點間的距離公式：P1P2=■

特別地，當直線P1P2過原點時，P1P2=？籽1-？籽2

■

公式六：在參數(shù)方程中直線與二次曲線相交所得的弦長公式：

AB=t1-t2

經(jīng)過定點M0（x0，y0）、傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程x=x0+tcosαy=y0+tsinα（t為參數(shù)）（此式稱為直線方程的標準形式），其中t表示直線l上以定點M0為起點，任意一點M（x，y）為終點的有向線段■的數(shù)量，所以t的幾何意義是直線上點M到M0的距離。根據(jù)直線參數(shù)方程標準形式中t的幾何意義，過定點M0的直線與二次曲線相交，交點A、B所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則弦長AB=t1-t2。

北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院李尚志教授在《我看核心素養(yǎng)》中說：“明察秋毫、辨認區(qū)別就是一種重要的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而抽象就是最高的核心素養(yǎng)?！崩罱淌谶€說：“無招勝有招，通過有招學(xué)無招。”解題中具體例子就是有招，得出公式就是學(xué)到了無招，當然無招勝過有招。下面通過一道高考模擬題舉例說明。

在直角坐標系xoy中，圓C的方程為（x-■）2+（y+1）2=9，以O(shè)為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系。

（1）求圓C的極坐標方程。

（2）直線OP：θ=■（？籽∈R）與圓C分別交于點M、N，求線段MN的長。

解析：（1）由極直互化公式x=？籽cosθy=？籽sinθ易得結(jié)果。

（2）如圖4，此問是求線段的長，涉及的知識有圓和過原點的直線等，因此有很多解法，學(xué)生可以選擇自己的方法或較為簡單的方法來做。

■

解：（1）由極直互化公式易得圓C的極坐標方程為：

（？籽cosα-■）2+（？籽sinα+1）2=9

（2）解法一思路：求出M、N兩點坐標，代入兩點間的距離公式求解。

解：由已知得直線OP方程為y=■x

由（x-■）2+（y+1）2=9y=■x整理得4x2-4■x-15=0

解得x1=■y1=■或x2=■y2=■

所以MN=■=■=2■

解法二思路：巧用“設(shè)而不求，結(jié)合韋達定理”的方法求解。

解：由已知得直線OP的方程為y=■x

設(shè)M、N的坐標分別為M（x1，y1），N（x2，y2）

由（x-■）2+（y+1）2=9y=■x整理得4x2-4■x-15=0

由韋達定理得x1+x2=■，x1.x2=-■

所以MN=■·■

=■·■

=■×3■=2■

解法三思路：此題背景是圓，所以可以用弦長的一半、半徑、弦心距的關(guān)系求解。

解：如圖5，作CA⊥MN，連接CM

由已知得直線OP的方程為y=■x？圯■x-3y=0

由點線距得CA=■=■

則有AM=■=■

所以MN=2AM=2■

■

解法四思路：此題直線給的是極坐標方程，所以可以想到用極坐標兩點間距離公式求解。

解：由（1）得圓C的極坐標方程為？籽2+2？籽（sinθ-■cosθ）-5=0

設(shè)M（？籽1，■），N（？籽2，■），把θ=■代入圓C的極坐標方程，得 ？籽2-2？籽-5=0解得？籽1=■+1，？籽2=-■+1

所以MN=？籽1-？籽2=■+1-（-■+1）=2■

解法五思路：應(yīng)用直線參數(shù)方程中t的幾何意義求解。

解：由已知得直線OP的參數(shù)方程為x=■ty=■t（t為參數(shù)）

把直線參數(shù)方程代入圓的普通方程得

（■t-■）2+（■t+1）2=9，化簡得t2-2t-5=0

設(shè)直線OP與圓相交所得的交點M、N所對應(yīng)的參數(shù)分別為t1、t2，則有t1+t2=2，t1·t2=-5，所以

MN=t1-t2=■=■=■=2■

兩點間距離公式現(xiàn)身于必修2，隱身于選修2-1，變身于極坐標和直線的參數(shù)方程中，不同的知識載體，兩點間的距離公式有所不同，這就需要同學(xué)們在解題過程中注意審題，認清知識背景，仔細分析運算條件，積極探究運算方向，選擇有效的運算公式，從而快速有效地解題，并在“發(fā)現(xiàn)問題、總結(jié)歸納、辨別使用”的思維活動中不斷提升自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

作者簡介：王雅貞（1974—），女，廣西宜州市高級中學(xué)高級教師，理學(xué)學(xué)士，主要從事高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作。