江蘇省睢寧縣李集中學(xué) 呂永勝

高中數(shù)學(xué)習(xí)題基本都圍繞著數(shù)與形這兩個概念，因此在解題過程中，數(shù)與形大多可以相互滲透、相互轉(zhuǎn)化。換言之，就是通過數(shù)來闡述圖形的某樣性質(zhì)，通過圖形來描述數(shù)和數(shù)的關(guān)系。關(guān)于數(shù)形結(jié)合當(dāng)中的數(shù)，在高中數(shù)學(xué)階段代指函數(shù)、解析式等，而其中的形代指韋恩圖、空間圖形等。教會高中生掌握數(shù)形結(jié)合思想，可以幫助學(xué)生實現(xiàn)形象數(shù)學(xué)思維與抽象數(shù)學(xué)思維之間的轉(zhuǎn)化，從而解決絕大部分?jǐn)?shù)學(xué)問題。在此過程中，高中數(shù)學(xué)教師需要糾正學(xué)生的各項學(xué)習(xí)誤區(qū)，比如作圖不仔細(xì)，遺漏了重要的信息條件，或是題目研究比較淺顯，數(shù)形結(jié)合思想沒有得到充分體現(xiàn)，由此讓高中生的解題過程能更為順利地開展，促進數(shù)形結(jié)合思想與學(xué)生思維的有效融合。

一、數(shù)形結(jié)合思想在集合問題中的應(yīng)用研究

集合不僅是高中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的開端，也是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。而集合教學(xué)引入了韋恩圖的概念，也是對數(shù)形結(jié)合思想的初步應(yīng)用。對于集合中“元素與子集”“屬于與包含”“并集與交集”等概念的講解，如果僅憑文字進行描述，學(xué)生很容易將這些概念知識弄混淆。而結(jié)合圖形，概念的講解將更為形象，可以讓學(xué)生直觀體會到圖示法在解題過程中的重要性。

比如例題：某個班級有25 名學(xué)生，會下象棋的有7 人，會下五子棋的有15 人，兩種棋都會下的有5 人，試問兩種棋都不會下的有（ ）人？乍一看，想要解決這道題，需要將整個班級的下棋情況分成四組：兩種棋全會、兩種棋全不會、只會象棋、只會下五子棋。而題干中只知道其中一組的信息，如果通過計算來求得其他條件，計算過程將較為復(fù)雜。若假設(shè)會下五子棋的為集合A，會下象棋的為集合B，結(jié)合圖1 的韋恩圖進行分析，將不難得出答案為8。

圖1

除了韋恩圖以外，數(shù)軸圖示也能在集合問題中良好地體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想。比如例題：有集合M=｛a|-10 ≤a ≤-1，且a ∈Z｝，集合N=｛b|b ∈Z，且|b|≤5｝，M ∪N 中的元素個數(shù)為（ ）。通過圖2 的數(shù)軸圖示進行分析，不難得知元素為-10 到5 之間的整數(shù)，所以答案為16。

圖2

二、數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題中的應(yīng)用研究

通過圖像來分析函數(shù)問題是高中數(shù)學(xué)中屢試不爽的解題方法，尤其是針對方程習(xí)題和不等式習(xí)題，由“數(shù)”來定“形”，可以充分剖析題干，幫助學(xué)生簡潔明了地理解解題思路。從而深入體會解題過程，將抽象的函數(shù)通過圖像表達出來，有助于強化高中生對函數(shù)概念的認(rèn)知水平，深度挖掘函數(shù)的內(nèi)在性質(zhì)，實現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)問題當(dāng)中的靈活應(yīng)用。

比如例題：已知函數(shù)y=x 和x2+y2=1，試問兩個函數(shù)的圖像交點有（ ）個？分析本道例題，很容易發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=x 的圖像是一條經(jīng)過直角坐標(biāo)系原點的直線，函數(shù)x2+y2=1 的圖像是以直角坐標(biāo)系原點為圓心，半徑為1 的圓，作出兩個函數(shù)的圖像如圖3 所示，可以清晰明確地得出答案為2。

又以不等式的教學(xué)為例，數(shù)形結(jié)合思想一樣能起到良好的解析作用。比如例題：假如log2（-x）＜x+1，求x 的取值范圍。如果單純從代數(shù)角度進行計算，需要經(jīng)過論證，解題思路將十分復(fù)雜。若令函數(shù)y1=log2（-x），函數(shù)y2=x+1，并在同一個直角坐標(biāo)系中分別作出兩個函數(shù)的圖像，如圖4 所示，可以直觀簡潔地發(fā)現(xiàn)當(dāng)x ∈（-1，0）時，滿足log2（-x）＜x+1。

圖4

三、數(shù)形結(jié)合思想在三角問題中的應(yīng)用研究

針對高中數(shù)學(xué)的三角問題，利用數(shù)形結(jié)合思想，不僅便于解答，也能讓學(xué)生更好地理解題干。數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)在于將題干信息與圖像進行統(tǒng)籌分析，轉(zhuǎn)化為一目了然的解析思路，相較于思路僵硬的代數(shù)計算法，數(shù)形結(jié)合能充分挖掘三角問題中的幾何內(nèi)涵，直觀展示核心問題。比如在解析三角函數(shù)問題時，通過“單位圓”的引入，就能靈活運用解題思路，節(jié)省高中生的做題時間。

圖5

對于三角函數(shù)的解析，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想也能收獲解題奇效。比如求取兩種不同三角函數(shù)共同解的個數(shù)，就可以從圖像入手分析，相對于代數(shù)計算，圖像能將題干分析得更為透徹。譬如例題：方程sin2x=sinx 在區(qū)間（0，2π）有幾個解？通過分析，令f（x）=sin2x，x ∈（0，2π）；g（x）=sinx，x ∈（0，2π）。分別在同一個直角坐標(biāo)系中作出相應(yīng)的圖像，如圖6 所示，可以直觀地發(fā)現(xiàn)兩個圖像有三個交點，因此可以得出結(jié)論：方程sin2x=sinx 在（0，2π）區(qū)間內(nèi)有三個解。

圖6

為了有效提升高中生對數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用能力，優(yōu)化課堂教學(xué)質(zhì)量，高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)從實際教學(xué)出發(fā)，幫助學(xué)生從習(xí)題案例中總結(jié)規(guī)律。當(dāng)學(xué)生能結(jié)合題干條件精準(zhǔn)繪圖，并且將題干信息準(zhǔn)確地通過圖形表達出來時，就能大量減少解題過程中出現(xiàn)的錯誤。對此，數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)過程中做到深入淺出，將數(shù)學(xué)知識與圖像統(tǒng)籌到一起，引導(dǎo)學(xué)生進行聯(lián)想思考。同時，教師也要細(xì)心考慮學(xué)生的學(xué)情，了解每個人的思維理解能力。在課堂上，數(shù)學(xué)教師可以應(yīng)用小組合作教學(xué)法討論例題、用多媒體教學(xué)法展示例題圖像，保障數(shù)形結(jié)合教學(xué)能深入人心，在課后也要針對高中生的學(xué)習(xí)能力布置適中難度的習(xí)題，讓每一名學(xué)生都能循序漸進地接受數(shù)形結(jié)合思想，幫助學(xué)生打好數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，從而養(yǎng)成良好的解題思路與解題習(xí)慣。