逄玲玲

【摘要】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題的考查要求緊緊扣住數(shù)學知識與數(shù)學學習的本質(zhì)，對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的教學應(yīng)回歸本源，注重對基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)的研究，即對函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性、函數(shù)的極值、函數(shù)的零點的研究，包括對基本技能、基本思想方法、基本活動經(jīng)驗的研究，提高發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的能力.通過對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)綜合題解法進行分析研究，可以看出，題目的命制都有其高等數(shù)學的背景，更有教材的痕跡在里面.所以，教師要充分發(fā)揮自己的主觀能動性，全過程地、詳細地、全方位地展示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題求解的過程，不可以去頭去尾，燒中段.要回歸基礎(chǔ)，回歸教材.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)與導(dǎo)數(shù)；命題背景；命題建構(gòu)；命題解法

下面我以2014年全國課標卷Ⅰ理科21題函數(shù)導(dǎo)數(shù)試題為例，通過分析試題的解析過程.研究導(dǎo)數(shù)試題的命題背景、命題建構(gòu)和命題解法.

設(shè)函數(shù)f（x）=aexlnx+bex-1x，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=e（x-1）+2.（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）證明：f（x）>1.

點評本題以曲線的切線為背景，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值以及證明函數(shù)不等式.本題目設(shè)置兩問，第一問是基礎(chǔ)題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，多數(shù)學生可以求出f（1）=2，f′（1）=e從而求出a=1，b=2.第二問看起來似乎不難，實際操作出來比較困難.其實本問是考查用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)不等式，背景豐富，有難度和區(qū)分度，研究的空間很大，下面我們探討第二問.

解析（Ⅱ）由（Ⅰ）問知a=1，b=2，f（x）=exlnx+2ex-1x，從而要證明不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等價于證明不等式lnx+2ex>1ex（x>0）.

方法一令g（x）=lnx+2ex-1ex，（x>0），下面證明g（x）>0，求導(dǎo)得g′（x）=ex（ex-2）+ex2ex2ex，令h（x）=ex（ex-2）+ex2（x>0），則

h′（x）=ex（ex+e-2）+2ex>0，故h（x）在（0，+∞）上遞增.

又h32e=94e-12e32e<0，∴h（1）=e2-e>0，根據(jù)函數(shù)零點定理知，h（x）在（0，+∞）上有唯一零點x0=32e，1，即h（x0）=0，即ex0（ex0-2）+ex20=0，

當0

當x≥x0時，g′（x）≥0，故g（x）在[x0，+∞）上遞增，

所以（g（x））min=g（x0）=lnx0+2ex0-1ex0=lnx0+2ex0+ex0-2ex20

=lnx0+1x0+2ex0-2ex20.

令φ（x）=lnx+1x+2ex-2ex2，x∈32e，1，下面證明φ（x）>0，

φ′（x）=ex2-（e+2）x+4ex3>0，x∈32e，1，故φ（x）在32e，1上遞增，∴φ（x）>φ32e，∴l(xiāng)n32+13-2e9>0，故得證.

評析方法一是處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的常見方法，即將所證明不等式證明問題轉(zhuǎn)化為另一個函數(shù)不等式成立問題，利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點定理（必修1）得到構(gòu)造的新函數(shù)在定義域上的最大值小于或等于零，或最小值大于等于零，即得原函數(shù)不等式恒成立.這里有時構(gòu)造一個函數(shù)可能得不到所需要的不等式成立，還需構(gòu)造兩個或三個函數(shù)方可得到結(jié)論，有時可能對原函數(shù)求二次或三次導(dǎo)數(shù)，判斷所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值的符號、函數(shù)的零點，才能得到要證明的不等式.

方法二利用不等式的基本性質(zhì)先進一步適當放縮后再構(gòu)造函數(shù)不等式.

不等式exlnx+2ex-1x>1，（x>0）等價于elnx+2x>1ex-1（x>0），我們利用教材選修2-2第32頁復(fù)習參考題B組第1題和第（3）和（4）題的結(jié)論：即對x∈R，ex≥x+1和對x∈R+，lnx

因為不等式exlnx+2ex-1x>1（x>0），等價于elnx+2x>1ex-1（x>0）.又因為ex≥x+1，∴ex-1≥x，當x>0時，1ex-1≤1x，故只需要證明：elnx+2x>1x（x>0），

令g（x）=exlnx+1，（x>0），∴g′（x）=e（1+lnx），令g′（x）>0得x=1e，

當00，∴g′（x）>0.

∴函數(shù)g（x）=exlnx+1，（x>0）的減區(qū)間為0，1e，增區(qū)間為1e，+∞.

∴（g（x））min=g1e=0，∴x>0，elnx+1x≥0（當且僅當x=1e時，不等式取等號）.

而對x>0，ex-1≥x（當且僅當x=1時，不等式取等號），又1e≠1，當x>0時，

elnx+1x>0，即elnx+2x>1x，∴elnx+2x>1x≥1ex-1，∴exlnx+2ex-1x>1成立

點評方法二根據(jù)教材習題上的恒成立的函數(shù)不等式ex≥x+1，利用證明不等式的基本方法——放縮法，先將原不等式進行等價轉(zhuǎn)換，再進行放縮，可以看出要證明原函數(shù)不等式，只要證明不等式elnx+1x>0（x>0），這里我們要注意放縮時要整體放縮、局部放縮相結(jié)合，不可放“過”，即放“大”了或放“小”，而得不到不等式的證明.

分析問題的能力是學習數(shù)學的一個最核心的能力，表面上看好像很具體，其實很抽象，伴隨學生完成他們的學習全過程.所以教師要充分發(fā)揮自己的主觀能動性，全過程詳細、全方位地展示函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題求解的過程，不可以去頭去尾，燒中段.要回歸基礎(chǔ)，回歸教材，避免讓學生和自己跳入“題?！?要精講精練，經(jīng)歷數(shù)學的基本過程，讓學生體會數(shù)學是靈動的，問題是鮮活的，體會學習的過程是求學問的過程，非復(fù)制、粘貼、拷貝的過程，非刷題的過程，是一個追求數(shù)學文化，提高自身數(shù)學素質(zhì)的過程.