王娟芳

【摘要】三角函數(shù)是中職數(shù)學(xué)中比較重要的一部分，而三角函數(shù)教學(xué)最重要的就是求最值.本文重點(diǎn)探討中職數(shù)學(xué)教學(xué)中三角函數(shù)最值的幾種求法.

【關(guān)鍵詞】中職數(shù)學(xué)；三角函數(shù)；求最值

三角函數(shù)是近幾年中職數(shù)學(xué)考試中的重點(diǎn)之一.而求最值問(wèn)題是整個(gè)三角函數(shù)知識(shí)體系中最重要的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).中職數(shù)學(xué)的三角函數(shù)的知識(shí)點(diǎn)比較基礎(chǔ)和初級(jí)，但是對(duì)于中職學(xué)生來(lái)說(shuō)，還是比較難的一個(gè)知識(shí)點(diǎn).通過(guò)三角函數(shù)求最值問(wèn)題分析，能夠更好地加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng).

一、中職數(shù)學(xué)中三角函數(shù)教學(xué)存在的問(wèn)題

目前，學(xué)生普遍反映三角函數(shù)是中職數(shù)學(xué)中難度較大的知識(shí)點(diǎn)，不少學(xué)生學(xué)起來(lái)感覺(jué)非常吃力.導(dǎo)致其教學(xué)效果不夠理想的原因主要有：一是中職院校的學(xué)生自身的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)比較差，部分學(xué)生沒(méi)有養(yǎng)成積極正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣，缺乏自主性，這使得學(xué)生碰到稍有難度的知識(shí)點(diǎn)時(shí)就會(huì)出現(xiàn)為難情緒，尤其是三角函數(shù)涉及的內(nèi)容比較多，學(xué)生如果不能充分理解，就會(huì)出現(xiàn)對(duì)正切、余切、正弦、余弦等概念混淆的情況；二是大部分中職院校教師的教學(xué)方式仍然采用過(guò)去那種單一的“灌輸式”的課堂講授模式，常常會(huì)出現(xiàn)學(xué)生無(wú)法理解相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)的狀況.

二、中職數(shù)學(xué)中三角函數(shù)求最值的幾種解法

（一）三角函數(shù)的有界性求解

所謂三角函數(shù)的有界性求解是從三角函數(shù)最值求解的本質(zhì)上來(lái)說(shuō)的，即在對(duì)三角函數(shù)的定義域不做一定限制的情況下，利用三角函數(shù)自身存在的有界性來(lái)求其最大值或最小值的解法.

求解這類(lèi)問(wèn)題，首先利用有關(guān)三角函數(shù)公式化為y=Asin（ωx+φ）+k的形式.在化簡(jiǎn)過(guò)程中常常用到公式

asinx+bcosx=a2+b2sin（x+φ），其中φ由tanφ=ba及點(diǎn)（a，b）的位置確定.

例1求函數(shù)y=1-cosx3+cosx的值域.

解y=1-cosx3+cosx（1+y）cosx=-2cosx=-21+y，由|cosx|≤1得-21+y≤1，即|1+y|≥2，解得y≤-3或y≥1，所以函數(shù)y=1-cosx3+cosx的值域是（-∞，-3]∪[1，+∞）.

（二）三角函數(shù)數(shù)形結(jié)合法

三角函數(shù)是從三角形的邊長(zhǎng)中發(fā)展而來(lái)的，它的正弦、余弦、正切、余切都與三角形的邊長(zhǎng)求解相關(guān).因此，通過(guò)數(shù)形結(jié)合的方式能夠解出三角函數(shù)的最值.

例2求函數(shù)f（θ）=sinθ-1cosθ-2的最大值與最小值.

分析法一：設(shè)y=f（θ）=sinθ-1cosθ-2，去分母整理化為sinθ-ycosθ=1-2yy2+1sin（θ-φ）=1-2y（tanφ=y）

|sin（θ-φ）|=1-2yy2+1≤10≤y≤43.

法二：f（θ）=sinθ-1cosθ-2可看作經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)A（2，1），B（cosθ，sinθ）的直線的斜率，點(diǎn)B（cosθ，sinθ）在單位圓x2+y2=1上運(yùn)動(dòng)，

由圖可知當(dāng)直線AB處于L1的位置時(shí)，斜率取最小值0，當(dāng)直線處于L2的位置時(shí)，斜率取最大值43.所以0≤f（θ）≤43.

（三）利用均值不等式

利用均值不等式求三角函數(shù)時(shí)，一定要注意均值不等式的使用條件：一正、二定、三相等.

例3當(dāng)0

解設(shè)t=tanx2>0（0

4.利用判別式

例4求函數(shù)y=3sinx2+cosx，x∈R的值域.

解① 當(dāng)x=2kπ+π（k∈Z）時(shí)，y=0；

② 當(dāng)x≠2kπ+π（k∈Z）時(shí)，y≠0，設(shè)t=tanx2∈R，則y=3·2t1+t22+1-t21+t2=23·tt2+3，即yt2-23·t+3y=0，由y≠0，Δ=（23）2-4·y·3y≥0， 得-1≤y≤1，且y≠0.

總而言之，加強(qiáng)對(duì)中職數(shù)學(xué)中三角函數(shù)的最值求解方法的研究，不應(yīng)該僅僅將其局限在三角函數(shù)教學(xué)這一塊，而是應(yīng)該加強(qiáng)數(shù)學(xué)系統(tǒng)內(nèi)各類(lèi)別知識(shí)的結(jié)合，以此來(lái)提高學(xué)生的綜合運(yùn)用能力，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.

【參考文獻(xiàn)】

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