王昫

【摘要】分析了復合函數(shù)求導公式中隱含的變量標志，給出了快速準確計算復合函數(shù)的公式，通過實例展示了給出的公式在復雜復合函數(shù)求導運算中的運用.

【關鍵詞】隱含符號；中間變量；復合函數(shù)求導

一、引言

復合函數(shù)求導運算是微積分學的重要的內(nèi)容.因構(gòu)成復合函數(shù)的形式多樣，且鏈式求導公式中隱含了對中間變量的標志，看似簡單的鏈式求導法則，即使是在滿足理論要求的條件下，對公式中隱藏的中間變量理解有偏差也會導致計算錯誤.常見的文獻過多地集中在討論復合函數(shù)求導公式數(shù)學理論本質(zhì)[1]、常犯的錯誤歸類和容易混淆的求導記號等[2].本文給出了標記隱含變量、快速求取復合函數(shù)導數(shù)的公式，并通過實例展示了該公式的應用效果.

二、標定隱含變量的求導公式

定理1[3]如果函數(shù)u=g（x）在x點可導，y=f（u）在點u=g（x）可導，那么復合函數(shù)y=f[g（x）]在點x可導，且其導數(shù)為

y′=f′（u）g′（x），（1）

或者dydx=dydududx.（2）

上述鏈式法則公式（1）的記號在求導運算中比較常用，但是隨著復合函數(shù)的形式多樣變化，公式（1）省略了對求導中自變量和中間變量下標標示，容易導致誤解.實際上，兩個公式左側(cè)永遠表示函數(shù)對自變量（x）的導數(shù).公式（2）表示的代數(shù)含義更明確，即函數(shù)對自變量的導數(shù)等于函數(shù)對中間變量求導乘中間變量對自變量求導.是兩個函數(shù)對兩種不同變量的求導乘積，如果加以標示將有助于計算.

定理2如果函數(shù)y=f（u）在點u可導，那么，不管u是中間變量或者自變量，總有y對變量u的導數(shù)等于f（u）對u的導數(shù)，即

y′=f′（u），且始終可以記作y′u=f′u（u）.（3）

公式（3）中，無論變量u的形式多么復雜，下標字母在求導中始終可以被視作自變量.比如，y′u表示函數(shù)始終把整體u視作自變量求導.我們把公式（3）叫復合函數(shù)求導形式不變性.

證明如果u是自變量，令u=x代入公式（1），由定理顯然得到公式（2）.

如果u是中間變量，因為y=f（u）在點u可導，在等式兩邊對u求導，當然有y′u=f′u（u）成立.但是此結(jié)果不是最終要求的求導結(jié)果（公式（1）的左側(cè)，即函數(shù)對自變量的導數(shù)），而是公式（1）中右側(cè)部分中的第一項因子，根據(jù)鏈式法則（1）需進一步求得最終結(jié)果.

從計算公式（7）和（8）可以看出，計算（9）到（10）時，忽略了求導運算中的中間變量（求導中的相對變量）和自變量的區(qū)別，把中間變量當作自變量，導致錯誤結(jié)果.應用帶變量下標的公式后，快速寫出結(jié)果，最后寫為常用格式，得到正確答案.

四、結(jié)論

以極限為基礎的導數(shù)（或微分）運算和積分運算是高等數(shù)學重要的組成部分.撇開導函數(shù)中理論分析，快速準確地求取滿足理論要求的復合函數(shù)導數(shù)是非常重要的.文中給出了一種標記變量符號的求導方法，對復合函數(shù)求導有一定的參考意義.并通過實例展示了方法的有效性.

【參考文獻】

[1]趙瑛.淺談復合函數(shù)的求導法則[J].電大理工，2008（4）：73-74.

[2]張菊.淺談復合函數(shù)的求導運算[J]求知導刊，2016（10）：112.

[3]同濟大學數(shù)學系.高等數(shù)學[M].第6版.北京：高等教育出版社，2007.