李豪

【摘要】本文致力于設(shè)計(jì)高效的MATLAB程序來計(jì)算具有任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的復(fù)合抽象函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)，其中中間變量僅限于是自變量的線性函數(shù).

【關(guān)鍵詞】復(fù)合抽象函數(shù)；任意階導(dǎo)數(shù)；MATLAB程序；中間變量；自變量

【基金項(xiàng)目】貴州省科學(xué)技術(shù)基金項(xiàng)目《板振動(dòng)問題的非協(xié)調(diào)有限元自適應(yīng)算法》（項(xiàng)目合同編號：黔科合LH字[2014]7061號）.

一、前言

在一些理論研究、工程計(jì)算以及一些程序設(shè)計(jì)中，我們往往不可避免地要計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù).對具體的函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，是現(xiàn)在大多數(shù)數(shù)學(xué)軟件都可以解決的問題.但是由于理論分析的需要，或者提高程序設(shè)計(jì)的效率，很多時(shí)候我們需要寫出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)表達(dá)式.對于具有任意多個(gè)中間變量的復(fù)合抽象函數(shù)求任意階導(dǎo)數(shù)，理論上，我們可以按照鏈?zhǔn)角髮?dǎo)法則寫出導(dǎo)數(shù)表達(dá)式，但是這往往是一個(gè)復(fù)雜的計(jì)算過程，尤其對于多個(gè)中間變量的高階導(dǎo)數(shù).例如，對具有4個(gè)中間變量，而每個(gè)中間變量又是3個(gè)自變量的線性函數(shù)的復(fù)合抽象函數(shù)求三階導(dǎo)數(shù)，按照鏈?zhǔn)椒▌t展開有64項(xiàng)；若對其求四階導(dǎo)數(shù)，展開則有256項(xiàng).

本文將鏈?zhǔn)椒▌t程序化，給出了計(jì)算任意多個(gè)中間變量和任意多個(gè)自變量的復(fù)合抽象函數(shù)的任意階導(dǎo)數(shù)的MATLAB程序，其中的中間變量都是關(guān)于自變量的線性函數(shù).

二、符號說明

本文中，我們約定以下符號：

f：一個(gè)抽象復(fù)合函數(shù)；

pi：中間變量，i∈Z+；

xi：自變量，i∈Z+.

三、鏈?zhǔn)椒▌t及程序設(shè)計(jì)思想

為確定起見，我們假設(shè)y=f（p1，p2，p3），pi=（x1，x2），i=1，2，3.其中，pi是關(guān)于x1，x2的線性函數(shù)，則y=f[p1（x1，x2），p2（x1，x2），p3（x1，x2）]，求混合偏導(dǎo)數(shù)3yx1x2x1.

在混合偏導(dǎo)數(shù)不連續(xù)的情況下，一定要注意求導(dǎo)順序.而我們只要觀察一下右側(cè)中相應(yīng)的行即可發(fā)現(xiàn)求導(dǎo)順序的規(guī)律.例如，本例左側(cè)中的第二、三、四行雖然相同，但是求導(dǎo)順序卻不一樣.觀察右側(cè)中第二、三、四行就可發(fā)現(xiàn)，左側(cè)中第二、三、四行分別表示3fp1p2p1，2fp21p2和

綜上以及連續(xù)參數(shù)鞅的定義可知{M（t）；t≥0}關(guān)于F為鞅.

證畢.

定理2建立的復(fù)合Poisson分布下m重風(fēng)險(xiǎn)模型{U（t）=u+S（t）；t≥0}的最終破產(chǎn)概率為φ（u）=e-RuE[e-RU（T）|T<∞]，其中T=inft>0{t；U（t）<0}是破產(chǎn)時(shí)刻.

推論1最終破產(chǎn)概率φ（u）滿足Lundberg不等式φ（u）≤exp（-Ru）.

【參考文獻(xiàn)】

[1]Hans U Gerber.數(shù)學(xué)風(fēng)險(xiǎn)論導(dǎo)引[M].成世學(xué)，嚴(yán)穎，譯.北京：世界圖書出版公司，1997：32-40.

[2]Hans U Gerber.Ruin Theory in the Linear Model[J].Insurance：Mathematics and Economics，1982，1（3）：213-217.

[3]Hilary L Seal，Hans U Gerber.Mixed Poisson Processes and the Probability of Ruin[J].Insurance：Mathematics and Economics，1984，3（3）：189-190.

[4]Dufresne，Hans U Gerber.The Surpluses Immediately before and at Ruin，and the Amount of the Claim Causing Ruin[J].Insurance：Mathematics and Economics1988，7（3）：193-199.

[5]Hans U Gerber.Mathematical Fun with Ruin Theory[J].Insurance：Mathematics and Economics，1988，7（1）：15-23.

[6]蔣志明，王漢興.一類多險(xiǎn)種風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，14（1）：23-27.

[7]于文廣.復(fù)合廣義齊次Poisson過程的多險(xiǎn)種破產(chǎn)概率[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)與計(jì)算數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2003，17（2）：63-69.

[8]Xu Lin.Asymptotically Optimal Investment for Risk Model with Random Income and Diffusions[J].Chinese Journal of Applied Probability and Statistics，2011，27（2）：151-162.