梁素梅

【摘要】本文通過(guò)引入最簡(jiǎn)單的回歸分析問(wèn)題，把數(shù)學(xué)知識(shí)和實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，把線性回歸應(yīng)用到郵資與時(shí)間的預(yù)測(cè)模型中，創(chuàng)造實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，并實(shí)施數(shù)學(xué)建模的具體步驟，加強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模思想.

【關(guān)鍵詞】預(yù)測(cè)模型；線性回歸

一、案例引入

為研究某國(guó)標(biāo)準(zhǔn)普通信件（質(zhì)量不超過(guò)50克）的郵資與時(shí)間的關(guān)系，得到如下數(shù)據(jù)：

年份（年）19781981198419851987199119951997200120052008

郵資（分）68101315202225293233

試構(gòu)建一個(gè)郵資作為時(shí)間函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，在檢驗(yàn)了這個(gè)模型是“合理”的之后，用這個(gè)模型來(lái)預(yù)測(cè)一下2016年的郵資.

二、數(shù)學(xué)建模步驟

1.調(diào)查研究，弄清問(wèn)題.在接到問(wèn)題以后，首先要進(jìn)行調(diào)查研究，弄清問(wèn)題.這包括了解問(wèn)題的來(lái)源和它的實(shí)際背景，認(rèn)清問(wèn)題的類型和相關(guān)知識(shí)，明確問(wèn)題的要求，分析其中參變因素.如果其中某些重要因素只是定性的而非定量的，還要設(shè)法對(duì)其做定量化處理，將其數(shù)量化.

2.建立數(shù)學(xué)模型（Ⅰ）合理假設(shè)，簡(jiǎn)化問(wèn)題.

分析問(wèn)題中有關(guān)參變因素，分清主要因素與次要因素，抓住主要因素，略去次要因素，做出合理假設(shè)，將問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化，或逐次簡(jiǎn)化，使之變?yōu)橐粋€(gè)比較容易解決的問(wèn)題.

3.建立數(shù)學(xué)模型（Ⅱ）數(shù)學(xué)描述.

運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言和數(shù)學(xué)方法——數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)式子、數(shù)學(xué)圖表，來(lái)描述參變因素之間的數(shù)量關(guān)系，使之成為一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題——“數(shù)學(xué)模型”，并不限于方程、不等式、函數(shù)關(guān)系、圖或表，只要它是可以用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行研究和解決的問(wèn)題形式，都在考慮的范圍內(nèi).

4.求解數(shù)學(xué)模型.

用常規(guī)的、非常規(guī)的數(shù)學(xué)方法（包括計(jì)算機(jī)處理），對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，得出問(wèn)題的解答和解決方案.解答或解決方案，可以用數(shù)學(xué)式子、數(shù)據(jù)、數(shù)學(xué)圖表或文字?jǐn)⑹龅榷喾N方式、方法來(lái)表示.

5.檢驗(yàn)數(shù)學(xué)模型.

求得的數(shù)學(xué)模型的解答或解決方案，是對(duì)簡(jiǎn)化后的問(wèn)題的一個(gè)理論上的答案.它是否與實(shí)際情況相符合，還需要進(jìn)行實(shí)際檢驗(yàn).經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)，如果與實(shí)際情況不相符合，就要對(duì)建模過(guò)程重新進(jìn)行分析和修正——修改和補(bǔ)充假設(shè)，核對(duì)和修正數(shù)據(jù)，甚至變換思路，尋求另外的數(shù)學(xué)方法和途徑等，以求建立更加切合實(shí)際的數(shù)學(xué)模型.

6.模型應(yīng)用.

經(jīng)過(guò)檢驗(yàn)的數(shù)學(xué)模型，就可以在實(shí)際中應(yīng)用了，在應(yīng)用中如果又發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，還要對(duì)模型進(jìn)行再修正，使之不斷完善.

三、案例解答

1.先將實(shí)際問(wèn)題量化，確定自變量x和因變量y.為方便計(jì)算，設(shè)起始年1978年為0，并用x表示，用y（單位：分）表示相應(yīng)年份的信件的郵資，得到下表：

2.作散點(diǎn)圖，確定變量之間近似函數(shù)關(guān)系，得到下圖，觀察得到的散點(diǎn)圖可知，郵資與時(shí)間大致呈線性關(guān)系.設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系為y=ax+b，其中a，b為待定常數(shù).

郵資與時(shí)間散點(diǎn)圖

3.求待定常數(shù)項(xiàng)a，b.通過(guò)Excel相關(guān)功能的計(jì)算分別得到的值為a=0.961 8，b=5.898.

從而得到回歸直線為y=0.961 8x+5.898.

4.在散點(diǎn)圖中添加上述回歸直線，見(jiàn)下圖，經(jīng)觀察發(fā)現(xiàn)直線模型與散點(diǎn)圖擬合得非常好，說(shuō)明線性模型是合理的.

郵資與時(shí)間散點(diǎn)圖與直線的擬合圖

5.預(yù)測(cè)2016年的郵資，即x=38時(shí)y的取值.由擬合圖可以得到x=38時(shí)，即預(yù)測(cè)2016年的郵資約為42分.

實(shí)際上，將x=34代入直線方程可得y≈42.

四、模型分析

經(jīng)分析，問(wèn)題所給郵資與時(shí)間的數(shù)據(jù)對(duì)之間大致呈線性關(guān)系，并且經(jīng)回歸分析所得到的回歸曲線為一條直線，此類回歸問(wèn)題又稱為線性回歸問(wèn)題，它是最簡(jiǎn)單的回歸分析問(wèn)題，但卻具有廣泛的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，此外，許多更加復(fù)雜的非線性的回歸問(wèn)題，如，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)回歸等都可以通過(guò)適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q化為線性回歸問(wèn)題來(lái)研究.

一般地，我們可按以下四個(gè)步驟進(jìn)行回歸分析：

1.將實(shí)際問(wèn)題量化，確定自變量和因變量；

2.根據(jù)已知數(shù)據(jù)作散點(diǎn)圖，大致確定擬合數(shù)據(jù)的函數(shù)類型；

3.通過(guò)軟件（如，Excel等）計(jì)算，得到函數(shù)關(guān)系模型（在Matlab中直接調(diào)用函數(shù)polyfit（）和多項(xiàng)式函數(shù)y=p（1）.*x+p（2））；

4.利用回歸分析建立的近似函數(shù)關(guān)系來(lái)預(yù)測(cè)指定點(diǎn)x處的y值.

【參考文獻(xiàn)】

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版）上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2007：1-88.

[2]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析（第三版）上冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2001：98-100.

[3]劉廣軍，楊春華，耿玉霞.高等數(shù)學(xué)教程[M].長(zhǎng)春：吉林大學(xué)出版社，2010：42-43.