江蘇省溧陽市竹簀中學 李華軍

一道?？碱}的解法分析及教學啟示

江蘇省溧陽市竹簀中學 李華軍

高考題、模考題是命題專家經(jīng)過精心思考、認真打磨才命制出來的，很多試題具有很大的研究空間和教學價值。一道好的試題能充分考查學科的主要知識、常見的解題方法及蘊涵的重要數(shù)學思想，本文從一道?？碱}出發(fā)，通過試題各種解法的研究，談?wù)剬Ω呷龜?shù)學教學的啟示。

一、試題呈現(xiàn)

小值為7。

多元變量求最值問題一直是高考的熱點題型，試題形式豐富多變，難度較大，是學生的難點，考試中對此類問題的求解經(jīng)常出現(xiàn)問題。

二、解法分析

本題解法很多，每一種解法以一個視角為抓手，這種思維的角度能讓學生易于上手、順利解決問題。

視角一：消元視角

“消元”法是處理多元最值問題的最基本方法，通過“消元”將“多元”轉(zhuǎn)化為“一元”函數(shù)最值問題是常規(guī)的解題策略。需要特別提醒的是：要重視消元后保留元的范圍，保留元的取值范圍往往不是任意的，有時需要從已知中挖掘隱含條件。

視角三：換元視角

三角代換是常用的一種換元方法，選用適當?shù)娜呛瘮?shù)進行換元，將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為三角問題，利用三角函數(shù)的性質(zhì)使問題易于解決。

視角二：基本不等式視角

利用基本不等式解決二元最值問題是基本方法，而且作為填空題的壓軸題，學生也有意識利用基本不等式來求解，那么構(gòu)造出符合基本不等式求最值問題的結(jié)構(gòu)是關(guān)鍵。由題目所給條件可得

三、教學啟示

1.解題教學要注重方法的提煉

高三數(shù)學教學，特別是后期的解題教學，應(yīng)該注重方法的提煉與熟練。如本題的求解，看到二元變量求最值問題就要想到一般有三個視角可以考慮：一是消元視角，即利用已知方程消去一個未知量，得到單變量的函數(shù)形式；二是基本不等式視角，即通過對條件與結(jié)論的變形，構(gòu)造出能運用基本不等式求最值的結(jié)構(gòu)；三是換元視角，通過換元化生題為熟題。

2.解題教學要在思維障礙處引導學生思考

一道試題，學生解的不正確，往往不是對問題全部不理解，而是在某一點出現(xiàn)了思維障礙，如果能跳過這個障礙，很多學生還是能正確解決問題的。本題中很多學生都能想到解法4，但是他們熟悉的是“已知的最小值”題型，現(xiàn)在求的是的最小值，

解題是高中數(shù)學學習中的一項重要內(nèi)容，是高三數(shù)學教學的主旋律，高考也是通過解題來考查學生的綜合能力和核心素養(yǎng)的。解題教學是否到位，直接影響到學生知識與經(jīng)驗的積累、思維能力的提升、解題能力的培養(yǎng)。實現(xiàn)解題教學效果最大化，提升學生的核心素養(yǎng)是高三數(shù)學教學的重要課題。

[1]臧華.一道調(diào)研題的多解對二輪復習的啟示[J].中學數(shù)學研究，2016（6）.

[2]蔡祖才.一道平面向量試題的解法探究與拓展[J].中學數(shù)學月刊，2017（5）.