趙自強(qiáng), 李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

柯西中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性

趙自強(qiáng), 李冬輝

(河南教育學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，河南 鄭州 450046)

在較弱條件下討論了柯西中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，得出了具有一般形式的結(jié)果.同時(shí)作為推論，得出拉格朗日中值定理“中值點(diǎn)”漸近性具有一般形式的結(jié)果.

柯西中值定理；拉格朗日中值定理；中值點(diǎn)；漸近性

0 引言

對(duì)于柯西中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，文獻(xiàn)[1-5]進(jìn)行了研究.本文將文獻(xiàn)[1]中對(duì)具有高階導(dǎo)數(shù)的要求放寬，在較弱條件下研究柯西中值定理“中值點(diǎn)”的漸近性，得出了具有一般形式的結(jié)果.作為此結(jié)果的一個(gè)特例，得出拉格朗日中值定理“中值點(diǎn)”漸近性具有一般形式的結(jié)果.首先，引述拉格朗日中值定理和柯西中值定理.

拉格朗日中值定理設(shè)函數(shù)F(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得等式

F(b)-F(a)=F′(ξ)·(b-a)

成立,其中ξ稱為拉格朗日中值定理的中值點(diǎn).

柯西中值定理設(shè)函數(shù)F(x)和G(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且在(a,b)內(nèi)G′(x)≠0，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得等式

(1)

成立，其中ξ稱柯西中值定理的中值點(diǎn).

1 主要定理

證明構(gòu)造輔助函數(shù)

由洛必達(dá)法則和定理?xiàng)l件，得

(2)

又由(1)式及拉格朗日中值定理，得

其中ξ和ζ分別為介于a與x之間的柯西和拉格朗日中值定理的中值點(diǎn).

由于G′(x)在點(diǎn)a連續(xù)且G′(x)≠0，得

所以

再由定理的條件，得

(3)

所以，由(2)，(3)式，得

2 一些推論

推論1設(shè)函數(shù)F(x)在a的某鄰域U(a,δ)內(nèi)具有直到n階導(dǎo)數(shù)，

F(i)(a)=0(i=1,2,…,n;n≥1)，

F(n+1)(a)存在，在U(a,δ)內(nèi)G(x)可導(dǎo)且G′(x)≠0，G′(x)在a處連續(xù)，則當(dāng)F(n+1)(a)≠0時(shí)，對(duì)于柯西中值定理確定的中值點(diǎn)ξ有

證明由推論的條件，連續(xù)應(yīng)用洛必達(dá)法則，得

由定理，得

在定理中，取G(x)=x,則有

[1] 高國(guó)成.微分中值定理“中間點(diǎn)”的漸近性[J].工科數(shù)學(xué)，2001,17(5):102-104.

[2] 劉文武,嚴(yán)忠權(quán).積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010,40(11):228-231.

[3] 王金花,孫蘭香,朱江紅.泰勞公式的拉格朗日型余項(xiàng)中值點(diǎn)的研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2010,40(7):221-224.

[4] 戴立輝.劉龍章.積分型Cauchy中值定理中間點(diǎn)的漸近性[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2009,25(3):168-172.

[5] 李冬輝.具有Lagrange型余項(xiàng)的Taylor定理中值點(diǎn)的漸近性[J].河南教育學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016,25(3):1-3.

AsymptoticPropertyofIntermediatePointonCauchyMeanValueTheoremforDifferentials

ZHAO Ziqiang， LI Donghui
(SchoolofMathematicsandStatistics,HenanInstituteofEducation,Zhengzhou450046,China)

Studied the asymptotic properties of intermediate point on the mean value theorem for differentials, and the results are obtained.

Cauchy mean-value theorem; Lagrange mean-value theorem; intermediate point; asymptotic property

2017-03-20

河南省教育廳科技項(xiàng)目(16B110056)

趙自強(qiáng)(1981—)，男，河南沈丘人，河南教育學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.02.002

O172.2

：A

：1007-0834(2017)02-0005-03