王 靜， 方曉峰， 劉素兵

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710025)

典型定積分的計(jì)算方法

王 靜， 方曉峰， 劉素兵

(火箭軍工程大學(xué) 理學(xué)院,陜西 西安 710025)

牛頓-萊布尼茲公式提供了計(jì)算定積分的簡便方法，但很多時(shí)候原函數(shù)不易求出，需要結(jié)合其他知識和多種方法求解.介紹了計(jì)算定積分的一些方法和技巧，通過舉一反三，可增強(qiáng)解決問題的能力.

定積分；變量代換；分部積分；級數(shù)

0 引言

定積分是微積分學(xué)中的一個(gè)重要組成部分，其計(jì)算方法除了牛頓-萊布尼茲公式、換元法和分部積分法[1]，還可以充分利用被積函數(shù)的奇偶性、周期性、積分區(qū)間的對稱性等計(jì)算定積分[2].但盡管如此，大部分定積分還是很難計(jì)算，這里介紹一些典型的計(jì)算方法和技巧，以加強(qiáng)計(jì)算能力.

1 利用幾何圖形計(jì)算[3]

解f(x)=e-x2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周的體積為

此外，可以視該立體為y=e-(x2+z2)與ZOX平面所圍成，如圖1所示.于是，體積的另一種表達(dá)式為

圖1 例1圖Fig.1 Figure of sample 1

2 巧用分部積分

下面的例子如果用變量代換會很困難.

解由分部積分公式可得

故有

3 根據(jù)函數(shù)的符號分區(qū)間計(jì)算

證明對積分作變量代換t=x2，得到

4 利用函數(shù)的特性作變量代換

解作變量代換x+3=9-t，那么

從而

一般地，對于正連續(xù)函數(shù)f(x)，有

于是

5 幾種方法綜合使用

6 經(jīng)典的方法

對于經(jīng)典的定積分只有記住其做法.解這類題大多數(shù)是絕活，沒有別的路好走.

于是

7 利用冪級數(shù)的和

解積分號下第一個(gè)級數(shù)的和xe-x2/2，由

得第二個(gè)級數(shù)為

(1)

(2)

由于定積分與積分變量無關(guān)，故可將式(2)中極坐標(biāo)形式返回到直角坐標(biāo)系，仍用x,y表示，得到

8 利用三角級數(shù)的和

解首先證明

(3)

由

所以(3)式成立.由函數(shù)項(xiàng)級數(shù)(3)對a2<1時(shí)的一致收斂性，故可對級數(shù)逐項(xiàng)積分.于是對式(3)兩邊關(guān)于a從0到a逐項(xiàng)積分得到

所以

注：該例中m=0時(shí)，可以用遞推的方法求解.

9 化為已知的積分結(jié)果

如圖2所示.

圖2 例11圖Fig.2 Figure of sample 11

(4)

綜上所述，本文介紹的計(jì)算定積分的方法雖不全面，但是掌握了這些方法，通過舉一反三，無疑會大大增強(qiáng)解決問題的能力.

另外，分段函數(shù)的定積分需要分段計(jì)算，被積函數(shù)中帶有絕對值或需要開根號時(shí)，也要分段處理[5].有些定積分其被積函數(shù)的原函數(shù)可能求不出來或很復(fù)雜，但利用變量代換可化為所求定積分的一個(gè)代數(shù)方程，便可求得該定積分.如果被積函數(shù)本身就是一個(gè)變上、下限的定積分，則可通過分部積分的方法化簡該定積分，也可利用二重積分交換積分次序的方法計(jì)算.

[1] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].7版.北京：高等教育出版社，2015.

[2] 劉富.定積分的計(jì)算方法[J].山西師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2014(28)：11-14.

[3] 舒陽春.高等數(shù)學(xué)中若干問題解析[M].北京：科學(xué)出版社，2015.

[4] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等數(shù)學(xué)典型題精解——解題思路·方法·技巧[M].北京：學(xué)苑出版社，2001.

[5] 屈俊.關(guān)于分段函數(shù)定積分的計(jì)算[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011(14)：63-65.

CalculationMethodofTypicalDefiniteIntegral

WANG Jing， FANG Xiaofeng, LIU Subing
(CollegeofScience,RocketsArmyEngineeringCollege,Xi’an710025,China)

Newton-Leibniz formula provides a simple method to calculate the definite integral, but usually the function is not easy to calculate, it needs to be combined with other knowledge and a variety of methods. Introduces the calculation of the definite integral and some methods and skills, and by inferring the whole from a single instance, the students can strengthen their ability to solve the problem.

definite integral; variable substitution; branch points; series

2017-05-10

高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心教學(xué)改革項(xiàng)目(CMC20160405)

王 靜(1981—), 女, 甘肅武威人，火箭軍工程大學(xué)理學(xué)院副教授, 主要研究方向：代數(shù)學(xué)環(huán)模論和數(shù)學(xué)教育.

10.3969/j.issn.1007-0834.2017.02.010

O172.2

：A

：1007-0834(2017)02-0040-04