山東省濱州市博興縣博興二中 李瑞芳

數(shù)列求和的基本方法和技巧

山東省濱州市博興縣博興二中 李瑞芳

數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，也是高考中的必考內(nèi)容。除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。

等差數(shù)列；等比數(shù)列；求和；倒序相加；錯(cuò)位相減；分組；裂項(xiàng)

數(shù)列是高中代數(shù)的重要內(nèi)容，又是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，在高考中也占有重要的地位。數(shù)列求和是數(shù)列的重要內(nèi)容之一，除了等差數(shù)列和等比數(shù)列有求和公式外，大部分?jǐn)?shù)列的求和都需要一定的技巧。下面，我對(duì)數(shù)列求和的基本方法和技巧進(jìn)行總結(jié)。

一、利用等差、等比數(shù)列求和公式求和

利用等差、等比數(shù)列求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法。利用等差數(shù)列求和公式求數(shù)列的前n項(xiàng)和時(shí)，要注意對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的靈活運(yùn)用；在等比數(shù)列中，當(dāng)公比是未知量時(shí)，求和時(shí)要注意對(duì)公比的范圍進(jìn)行討論。

分析：先分析數(shù)列的形式，如果數(shù)列是等差數(shù)列，則利用等差數(shù)列的求和公式研究，如果數(shù)列是等比數(shù)列，則利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行研究，在利用等比數(shù)列求和公式時(shí)，要注意分公比q能否為1進(jìn)行討論。

二、倒序相加法求和

在推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的就是這種方法，該方法就是將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列，再把它與原數(shù)列相加，結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)，就可以得到從而求出數(shù)列的前n項(xiàng)和。

三、分組法求和

還有一類(lèi)數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是若將這類(lèi)數(shù)列中的每一項(xiàng)適當(dāng)拆開(kāi)，便可分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列的和或差，然后把它們分別求和，再將其合，并即可得到原數(shù)列的前n項(xiàng)和。

分析：從形式上看，該數(shù)列既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，但是將此數(shù)列中的每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)以后，就分成了一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和，然后再根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式分別求和就可以了。

四、裂項(xiàng)法求和

例4：（2014山東，19）已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

分析：在求和的過(guò)程中，需要先將通項(xiàng)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，能消去的消去，最后達(dá)到求和的目的。

解：（1）略。

五、錯(cuò)位相減法求和

在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)，我們用的就是錯(cuò)位相減法求和，該方法主要用于求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和，其中{ an}、{ bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。2013年山東文理科高考題第20題，考查的就是錯(cuò)位相減法求和的知識(shí)。

例5：（2016山 東， 理18） 已 知 數(shù) 列{an}的 前n項(xiàng) 和是等差數(shù)列，且an=bn+bn+1。

（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；

解：（1）略。

在求和的過(guò)程中，通常需要先求出其通項(xiàng)公式，再根據(jù)通項(xiàng)公式的形式進(jìn)行適當(dāng)?shù)幕?jiǎn)與求和，因此數(shù)列部分在求和過(guò)程中往往穿插著數(shù)列通項(xiàng)公式的求解，這也是數(shù)列部分的兩大重點(diǎn)內(nèi)容之一，后面我們繼續(xù)研究。對(duì)于以上的各種方法，大家應(yīng)注意體會(huì)其中所蘊(yùn)含的分類(lèi)討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法。當(dāng)然，數(shù)列求和的方法還有很多，我們平時(shí)在教學(xué)中還應(yīng)多注意總結(jié)。