福建省寧化縣第一中學(xué) 曹光榮

淺談圓錐曲線解題教學(xué)的優(yōu)化

福建省寧化縣第一中學(xué) 曹光榮

圓錐曲線是高考的重要內(nèi)容。圓錐曲線小題以其構(gòu)思精巧，重在思維靈活性上取勝。圓錐曲線大題則以其復(fù)雜的計(jì)算，思維的難度讓不少學(xué)子望而生畏。如何讓圓錐曲線題變得更加“平易近人”，讓學(xué)生學(xué)習(xí)起來更有效，做起來能夠從容應(yīng)對(duì)呢？除了熟能生巧，多做真題訓(xùn)練以外，更重要的是我們?cè)诮虒W(xué)中要幫助學(xué)生優(yōu)化解題步驟與過程，使圓錐曲線小題、大題都能夠有地方想，有地方展開思路，從而順利解決圓錐曲線問題。

一、整體思維，簡(jiǎn)化解題步驟

整體思維也是一種態(tài)度，如學(xué)習(xí)圓錐曲線時(shí)，我對(duì)學(xué)生說：“圓錐曲線的題目表面上看是計(jì)算量很恐怖的難題，但總體上看，卻是直線與圓錐曲線的浪漫相遇。它們相遇，相戀，相知，纏纏綿綿的過程在解題過程中淋漓盡致地演繹出來了?！边@樣就給很難纏的圓錐曲線問題涂上了一些浪漫色彩，使處于青春期的他們愛學(xué)樂學(xué)。當(dāng)然，在解題過程中，也常常應(yīng)用“設(shè)而不求”整體代入的技巧，也應(yīng)用到整體思考判斷解題過程。特別是在化簡(jiǎn)過程中，需要把一些代數(shù)式看成一個(gè)整體，這樣使解題過程特別簡(jiǎn)潔。下面的例子中我們也會(huì)看到這一點(diǎn)。

二、抓住主元化簡(jiǎn)，可以迅速寫出方程

在圓錐曲線與直線聯(lián)立時(shí)，抓住主元化簡(jiǎn)，能夠迅速寫出二次方程，使整個(gè)化簡(jiǎn)步驟快捷而且準(zhǔn)確。我們來看一個(gè)例子。

例1 已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（-1,0）。求這類橢圓中與直線l：2x-y+3有公共點(diǎn)且離心率最大的橢圓方程。

如果能夠在計(jì)算過程中注意觀察，就容易發(fā)現(xiàn)消去的項(xiàng)，剩下的項(xiàng)，從而幫助學(xué)生消除畏懼心理，即：

三、靈活設(shè)直線，可以優(yōu)化解題過程

我們知道，在圓錐曲線大題中，一般第一小題比較簡(jiǎn)單，主要是求出圓錐曲線的一些待定系數(shù)，可以看成是解題熱身。第二小題才是真正開始進(jìn)入狀態(tài)，這時(shí)圓錐曲線可以說是已經(jīng)固定了，或者說是“死”的，而直線則是“活”的。我們的解題，就是這條“活”的直線圍繞“死”的圓錐曲線發(fā)生的一系列的“悲歡離合”的故事。對(duì)于直線，我們一般情況下是設(shè)y=kx+b，這時(shí)我們要討論斜率k不存在的情況。但如果直線過x軸上定點(diǎn)（一般就是橢圓、雙曲線、拋物線焦點(diǎn)），那么我們就設(shè)直線方程為x=mx+a,這樣不僅可以避免討論斜率不存在的情況，還可以簡(jiǎn)化計(jì)算并化簡(jiǎn)。同時(shí)，也體現(xiàn)了x與y的對(duì)等地位，即y=kx+b與x=mx+a體現(xiàn)的是x與y的地位對(duì)等。

四、系統(tǒng)化整理下的學(xué)習(xí)，可以深化理解

我們還要通過知識(shí)整理，加強(qiáng)整體思維的訓(xùn)練。如，對(duì)于拋物線，我們來研究過焦點(diǎn)的直線,它與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，與x軸的夾角為θ，則則這八個(gè)量之間可以“知二求六”。這里我總結(jié)了以下八個(gè)公式：③⑥

這樣系統(tǒng)化的總結(jié)可以加強(qiáng)學(xué)習(xí)之間的聯(lián)系，增強(qiáng)對(duì)比與區(qū)分。當(dāng)然，知識(shí)的系統(tǒng)化是一個(gè)需要長(zhǎng)期堅(jiān)持、總結(jié)的過程。如，從以上拋物線的公式如何推廣到橢圓、雙曲線，則在更大層面上建構(gòu)起系統(tǒng)化的整體思維。

五、善于總結(jié)，繼續(xù)把優(yōu)化的路走下去

其實(shí)，例1也可以轉(zhuǎn)化為平面幾何中的求距離最小問題。如我們已知橢圓的左焦點(diǎn)為F（-1,0），則右焦點(diǎn)為F1（1,0）。又問題轉(zhuǎn)化為在直線2x-y+3=0上找一點(diǎn)P，使最小。方法很經(jīng)典，也很簡(jiǎn)單：找出F的對(duì)稱點(diǎn)，連接， 交直線于P，則P為所求點(diǎn)，而

圓錐曲線是一座等待我們開采的金礦，表面上看是不可捉摸的靈活的小題，或者繁雜計(jì)算的大題，但其中卻蘊(yùn)含著可以不斷優(yōu)化的思考過程。讓我們一起努力，把這座美麗的金山呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，讓他們更加樂學(xué)，愛學(xué)！