安徽滁州中學(xué)(239000) 王圣 李偉健

抓住概念核心 直擊問題本質(zhì)

安徽滁州中學(xué)(239000) 王圣 李偉健

從歷年的廣東高考試題以及全國新課標(biāo)卷,我們可以發(fā)現(xiàn),二面角問題是命題者青睞的一個命制點,能較好的考察線線,線面,面面之間平行垂直的相互轉(zhuǎn)化,通過嚴(yán)密推理,能較好地考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力、基本運算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想等.本文以2014年的廣東高考試題第18題為例,從二面角定義的本質(zhì)入手,運用不同的運算方式和工具,對二面角進(jìn)行深入的研究.

試題再現(xiàn)如圖1,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,∠DPC=30°,AF⊥PC于點F,FE//CD,交PD于點E.

(1)證明:CF⊥平面ADF;

(2)求二面角D?AF?E的余弦值.

方法一利用二面角定義作出二面角平面角.

圖1

圖2

圖3

事實上,本方法主要從二面角的定義入手,思維入手相對較易,筆者為了節(jié)省篇幅,對于△HGD中的幾條邊長的計算步驟省略,但計算量相對較大,在短時間內(nèi)完成不是一件很容易的事情.

方法二利用三垂線定理作出二面角平面角.

如圖4過點E作EM垂直于DF交DF于點M,過點M作MN垂直于AF交AF于點N,連接EN,在Rt△DEF中,

圖4

圖5

圖6

方法三:依據(jù)面積投影求二面角平面角

命題已知平面β內(nèi)一個多邊形的面積為S,它在平面α內(nèi)的射影圖形的面積為S′,平面α和平面β所成的二面角的大小為θ,則

圖7

本方法的本質(zhì)事實上仍然是二面角定義的本身,只是形式上作了變形,有興趣的讀者可以對上述命題加以證明.

方法四:依據(jù)等體積轉(zhuǎn)化思想求出“虛擬垂線段”長度,進(jìn)而求出二面角

如圖8過點D作DG垂直AF交AF于點G.假設(shè)點D在平面AEF上的投影為H,則DH為“虛擬高”,由等體積可得:

圖8

方法五:利用三面角公式求解二面角平面角的大小

圖9

圖10

先介紹一下三面角公式.如圖9,P?ABC為一個三面角,∠APB=α1,∠APC=α2,∠BPC=α3,二面角B?AP?C的大小為α,即可得在圖10中

三面角的相關(guān)問題簡單,容易理解,有興趣的同學(xué)可以加以證明.

方法六:建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)向量解決二面角問題

設(shè)n=(x1,y1,z1)是平面DAF中的一個方向量,則有:

圖11

圖12

這是現(xiàn)行課程標(biāo)準(zhǔn)向量體系下,各級各類考試在考察二面角知識點時采用的通解,求解簡潔大方,學(xué)生可以模仿,對思維層面的要求降低了很多,對于知識點本身考察還是有所欠缺的.事實上,高中向量的知識結(jié)構(gòu)我們完全可以考慮從其他角度切入.

方法七:結(jié)合定義,利用垂直,共線的定義求解向量坐標(biāo).

向量工具可以從很多的角度切入,在方法七中,主要使用了向量垂直,共面等相關(guān)工具,有別于教材上提供的通法.

方法八:利用復(fù)合向量的運算來計算二面角的大小

如圖12,無需建立空間直角坐標(biāo)系即可,

方法九:利用基向量法二面角D?AF?E的余弦值

當(dāng)空間直角坐標(biāo)系建立比較困難的時候,可以考慮選取空間的一組基向量,從基底的角度去分析法向量相關(guān)問題.

圖13

令x=1得y=?1即可得:n1=a?b,設(shè)n2是平面EAF的一個法向量,同理可得:n2=4a+3c.

當(dāng)空間直角坐標(biāo)系不方便建立的時候,可以考慮方法七及方法八,需要充分需找條件中的長度,以及構(gòu)造向量的夾角.