廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 吳堅(jiān)

雙變量不等式求參數(shù)問題的解題策略

廣州大學(xué)附屬中學(xué)(510006) 吳堅(jiān)

不等式求參數(shù)問題是函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)在高考中考查的常見命題形式,基本模型為F(x,a)≥G(x,a)(或變形為ψ(x,a)≥0),不少文章都對(duì)該類問題的解題方法進(jìn)行過梳理與總結(jié),本文不再贅述.事實(shí)上,在不等式求參數(shù)問題中還有一類關(guān)于雙變量不等式求參數(shù)問題,在高考中也不時(shí)出現(xiàn),比如2015年全國(guó)II卷第(21)題,該類問題在高三復(fù)習(xí)備考中并沒有引起足夠的重視,關(guān)于此類的文章亦不多.

作者梳理了2004年到2016年全國(guó)各地的高考試卷,將雙變量不等式求參數(shù)問題的解題策略整理歸納為“一個(gè)模型”,“兩類關(guān)系和狀態(tài)”,“四種轉(zhuǎn)化”和“兩大思想”.

一、一個(gè)模型即基本模型為ψ(x1,x2,a)≥ 0或F(x1,x2,a)≥G(x1,x2,a).

二、兩類關(guān)系指雙變量x1,x2是否具有等量關(guān)系.如果存在等量關(guān)系,則通過消元代換將二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式;如果不存在等量關(guān)系,則觀察雙變量不等式的特征,判斷是否可以通過作商或作和x1+x2、整體代換的方法將二元不等式轉(zhuǎn)化為一元不等式.

例1.(2004年重慶)設(shè)函數(shù)f(x)=x(x?1)(x?a),a＞1.

(1)求導(dǎo)數(shù)f′(x);并證明f(x)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1,x2;

(2)若不等式f(x1)+f(x2)≤0成立,求a的取值范圍.

分析(1)略;(2)根據(jù)條件,對(duì)方程f′(x)=0應(yīng)用韋達(dá)定理得出進(jìn)而通過對(duì)恒等變形,代換整理化簡(jiǎn)得到2a2?5a+2≥0,最終求得a的取值范圍.這一處理技巧還應(yīng)用在2014年湖南卷第22題中.

如果雙變量x1,x2的取值不存在等量關(guān)系,請(qǐng)看下例.

例2. (2010湖南理數(shù))已知函數(shù)f(x)=x2+bx+c(b,c∈R)對(duì)任意的x∈R,恒有f′(x)≤f(x).

(I)證明:當(dāng)x≥0時(shí),f(x)6(x+c)2;

(II)若對(duì)滿足題設(shè)條件的任意b,c,不等式f(c)?f(b)≤M(c2?b2)恒成立,求M的最小值.

分析(I)證明略;其中由條件f′(x)≤f(x)恒成立轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)恒成立問題,進(jìn)而由?≤0得出這個(gè)說明b,c的選取具有任意性,不具有等量關(guān)系,而(II)中的不等式化簡(jiǎn)整理后即c2+bc?2b2≤M(c2?b2),所以本例可以看成關(guān)于雙變量b,c的不等式求參數(shù)問題,上例的解題方法并不適用;認(rèn)真觀察該不等式,可以發(fā)現(xiàn)一個(gè)重要特征:不等式兩邊都是關(guān)于雙變量的二次齊次式.

不失嚴(yán)謹(jǐn)性,先考慮b=0,求得M≥1;當(dāng)b≠0時(shí),兩邊同除以b2,即視作的一元二次不等式恒成立問題,需要指出的是的范圍,由c≥|b|得出后可分離參數(shù)求M范圍,或利用二次函數(shù)零點(diǎn)分布求M范圍,略.

此外上例還可以通過主元思想求解,通過因式分解可將例2(II)中不等式轉(zhuǎn)化為(c?b)(c+2b)≤M(c+b)(c?b),當(dāng)c=|b|時(shí),恒成立;當(dāng)c＞|b|時(shí),降次為(c+2b)≤M(c+b),視b為待定參數(shù),c為變量,整理為φ(c)=(M?1)c+Mb?2b≥0對(duì)任意的總成立,故M?1＞0且由此解得后略.

三、兩類狀態(tài)指雙變量x1,x2是否是分離狀態(tài).如果雙變量x1,x2可以分離,則將基本模型轉(zhuǎn)化為F(x1,a)≥G(x2,a)問題.

例3.(2010遼寧理數(shù))已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1.

(I)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;

(II)設(shè)a＜?1.如果對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|,求a的取值范圍.

分析(I)略;(II)本例中雙變量x1,x2不存在等量關(guān)系,不等式亦非關(guān)于的x1,x2齊次式,不能通過整體代換轉(zhuǎn)化為一元不等式.

四、雙變量分離狀態(tài)下的四種轉(zhuǎn)化.

對(duì)于雙變量分離狀態(tài)下的不等式問題,更一般的情形可以概括為以下四小類:

例4. (2010山東理數(shù))已知函數(shù)f(x)=lnx?ax+

(II)設(shè)g(x)=x2?2bx+4.當(dāng)a=時(shí),若對(duì)任意x1∈(0,2),存在x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),求實(shí)數(shù)b取值范圍.

分析(I)略;(II)問題轉(zhuǎn)化為f(x1)min≥g(x2,b)max,其中由(I)的單調(diào)性分析可知?jiǎng)t需對(duì)b分類討論求解,進(jìn)而求得b的范圍.

事實(shí)上第(1)類問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x1,a)min≥g(x2,a)max;第(2)類問題等價(jià)轉(zhuǎn)化為f(x1,a)min≥g(x2,a)min;第(3)類問題轉(zhuǎn)化為f(x1,a)max≥g(x2,a)min;第(4)類問題轉(zhuǎn)化為{y|y=f(x1,a),x1∈D1}?{y|y=g(x2,a),x2∈D2}.

這四小類問題的轉(zhuǎn)化還可以用主元思想來理解,以(1)為例,固定x2,不等式理解成?x1∈D1,f(x1,a)≥g(x2,a)(視作固定值),即轉(zhuǎn)化為f(x1,a)min≥g(x2,a),再將不等式理解為?x2∈D2,f(x1,a)min≥g(x2,a),進(jìn)而轉(zhuǎn)化為f(x1,a)min≥g(x2,a)max.

當(dāng)雙變量分離狀態(tài)下的不等式中出現(xiàn)絕對(duì)值時(shí),還須通過化歸轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化為上述四小類問題.

例5. (2006年湖北卷)設(shè)x=3是函數(shù)f(x)=(x2+ax+b)e3?x(x∈R)的一個(gè)極值點(diǎn).

(I)求a與b的關(guān)系式(用a表示b),并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(II)設(shè)a＞0,g(x)=若存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)?g(ξ2)|＜1成立,求a的取值范圍.

分析不等式“存在ξ1,ξ2∈[0,4],使得|f(ξ1)?g(ξ2)|＜1”轉(zhuǎn)化為“存在ξ1,ξ2∈[0,4],使?1+g(ξ2)＜f(ξ1)＜1+g(ξ2)”, 進(jìn) 而 轉(zhuǎn) 化 為?1+g(ξ2)min＜f(ξ1)max且f(ξ1)min＜1+g(ξ2)max,從而求得a的范圍.

如果分析f(x)和g(x)在 [0,4]上值域,可以得出g(x)≥f(x),對(duì)?x∈[0,4]恒成立,因此“存在ξ1,ξ2∈[0,4]使得|f(ξ1)?g(ξ2)|＜1”只須使g(x)min?f(x)max≤1,從而求得a的范圍.這也體現(xiàn)出教有法而無定法,須適時(shí)變通.

五、兩大思想——主元思想和化歸轉(zhuǎn)化思想

通過上述分析可看出:主元思想和化歸轉(zhuǎn)化思想是解決雙變量不等式求參數(shù)問題的兩大思想.“主元思想”,固定其中一個(gè)變量(不妨設(shè)),把雙變量不等式問題構(gòu)造成另一個(gè)變量x2的函數(shù),再?gòu)暮瘮?shù)角度分析;化歸轉(zhuǎn)化思想體現(xiàn)在將復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化、分解為簡(jiǎn)單的、熟悉的問題.

綜上所述,對(duì)于雙變量不等式問題,須識(shí)別基本模型,根據(jù)兩類關(guān)系和狀態(tài)確定范式,選用對(duì)應(yīng)的解題策略,靈活運(yùn)用主元思想和化歸轉(zhuǎn)化思想.從宏觀解題策略上來說,將二元不等式轉(zhuǎn)化為單元不等式是其核心,從微觀解題策略上來說,包括使用消元代換,整體代換,分離轉(zhuǎn)化、分步轉(zhuǎn)化,逐步調(diào)整等技巧,最終通過函數(shù)方法解決,以下三個(gè)練習(xí)供讀者參考.

1.(2014湖南)已知常數(shù)a＞0,函數(shù)f(x)=ln(1+ax)?

(1)討論f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的單調(diào)性;

(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,且f(x1)+f(x2)＞0,求a的取值范圍.

(I)討論f(x)的單調(diào)性;

(II)若f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,記過點(diǎn)A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直線的斜率為k,問:是否存在a,使得k=2?a?若存在,求出a的值,若不存在,請(qǐng)說明理由.

3.(2004全國(guó)卷節(jié)選)已知函數(shù)g(x)=xlnx,設(shè)0＜a＜b,證明