江蘇省南通市田家炳中學(xué)(226001) 呂雯雯

構(gòu)建坐標(biāo)系 巧解壓軸題

江蘇省南通市田家炳中學(xué)(226001) 呂雯雯

17世紀(jì),法國數(shù)學(xué)家笛卡爾創(chuàng)建坐標(biāo)系,架起溝通代數(shù)與幾何的橋梁,解決了傳統(tǒng)幾何過分依賴圖形和形式演繹的缺陷和代數(shù)過分受法則和公式的限制而缺乏活力的不足,沿著這條思路前進(jìn),在眾多數(shù)學(xué)家的努力下數(shù)學(xué)的歷史發(fā)生了重要的轉(zhuǎn)折,建立了解析幾何學(xué)．

雖然,初中階段不學(xué)習(xí)解析幾何,但初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了將代數(shù)和幾何溝通起來的橋梁——平面直角坐標(biāo),因此我們可以嘗試構(gòu)建平面直角坐標(biāo)來解決一些幾何問題．

試題一2014年江蘇省連云港市中考壓軸題最后一問．

圖1

某數(shù)學(xué)興趣小組對線段上的動點(diǎn)進(jìn)行探究,已知 AB=8．如圖,點(diǎn) P為線段AB上的一個動點(diǎn),分別以AP,BP為邊在同側(cè)作正方形APDC,BPEF,若點(diǎn)M,N是線段AB上的兩點(diǎn),且AM=BN=1,點(diǎn)G,H分別是邊CD,EF的中點(diǎn)．請直接寫出點(diǎn)P從M到N的運(yùn)動過程中,GH的中點(diǎn)O所經(jīng)過的路徑長及OM+OB的最小值．

筆者從網(wǎng)上找到的參考答案如下：

分別過G,O,H點(diǎn)作AB的垂線,垂足為R,S,T,則四邊形GRTH是梯形．∵O是GH的中點(diǎn),∴OS=運(yùn)動路徑在AB的上方且與AB的距離為4的平行線上．∵M(jìn)N=6,點(diǎn)P在MN 上運(yùn)動,且O是GH的中點(diǎn),∴點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為線段XY,且

(在求得點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為線段XY的情況下,求OM+OB的最小值就是典型的“將軍飲馬”問題,筆者在此不再贅述解答過程)

看完此問的解答過程,筆者深深嘆服解答者輔助線構(gòu)造之精妙．同時又感覺到解題過程中的一段推理(∵M(jìn)N=6,點(diǎn)P在MN上運(yùn)動,且O是GH的中點(diǎn),∴點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為線段XY,且挺難理解．

這么精妙的輔助線如何才能想到呢?難道只能靠天外飛仙的靈光一閃?

透過現(xiàn)象看本質(zhì),筆者認(rèn)為這輔助線構(gòu)造之靈感就是來源于構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系來解決幾何問題：如果以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸,那么要想表示出G,O,H三個點(diǎn)的坐標(biāo),就自然需要添加這樣的輔助線．

另外,在構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系后,也很容易說清楚“點(diǎn)O的運(yùn)動路徑為線段XY,且的緣由．

因此,本題通過構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系,會使得解題思路更明晰,解題方法更簡潔．具體解答過程如下．

圖2

解：以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB所在直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (m,0),則 C(0,m),點(diǎn)O的坐標(biāo)是點(diǎn)O在直線y=4上運(yùn)動．∵點(diǎn)P在MN上運(yùn)動,∴1≤m≤7．∴點(diǎn)O運(yùn)動的起始點(diǎn)是終止點(diǎn)是其運(yùn)動的路徑長為3．

試題二2014年江蘇徐州壓軸題最后一問．

如圖,矩形ABCD的邊AB=3cm,AD=4cm,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿射線AD移動．以CE為直徑作⊙O,點(diǎn)F為⊙O與射線BD的公共點(diǎn),連接EF,CF,過點(diǎn)E作EG⊥EF,EG與⊙O相交于點(diǎn)G,連接CG．當(dāng)⊙O與射線BD相切時,點(diǎn)E停止移動．在點(diǎn)E移動的過程中,求點(diǎn)G移動路線長．

分析：先找出點(diǎn)G的起始點(diǎn)和終止點(diǎn)：當(dāng)點(diǎn)E在點(diǎn)A時,點(diǎn)G恰好在點(diǎn)D,所以起始點(diǎn)就是點(diǎn)D;當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)D重合時,點(diǎn)G的位置就是終止點(diǎn)(如圖3所示)．但此時還是不清楚點(diǎn)G移動路線是一個什么樣的圖形,可以構(gòu)造平面直角坐標(biāo)系,設(shè)法表示出點(diǎn)G的坐標(biāo),根據(jù)點(diǎn)G的坐標(biāo)來判斷點(diǎn)G的運(yùn)動路線是怎樣的圖形．

圖3

圖4

簡解：連接DG,作GM⊥AD,垂足為M．建立以點(diǎn)D為原點(diǎn),AD所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系(如圖4所示)．∵ ∠FDG= ∠FEG=90°,∴ ∠BDA+ ∠GDM=90°．∵ ∠BDA+ ∠DBA=90°,∴ ∠DBA= ∠GDM．則點(diǎn)G的坐標(biāo)為所以點(diǎn)G在直線上運(yùn)動．

根據(jù)題意可知點(diǎn)G的運(yùn)動路線就是圖1中線段DG,容易求出其長度為

做完這兩題,可以發(fā)現(xiàn)：兩道難度較大的中考壓軸題的最后一問,在構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系、采用代數(shù)的方法來求解后,變得思路明晰,解法簡潔．因此,構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系是解決幾何問題是一個好的方法．那么什么樣類型的幾何題適合采用此種方法呢?透過這兩個例題可以看出一些端倪．筆者在此拋磚引玉,希望引起行家的進(jìn)一步探討．