安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué)(2467001) 江保兵

一類函數(shù)最值問題解法探究

安徽省樅陽(yáng)縣宏實(shí)中學(xué)(2467001) 江保兵

一道撲朔迷離的高考試題

例1. 已知函數(shù)f(x)=x2?2(a+2)x+a2,g(x)=?x2+2(a?2)x?a2+8.設(shè)H1(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)},(max{p,q}表示p,q中的較大值,min{p,q}表示p,q中的較小值).記H1(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A?B=( )

A.16 B.?16

C.a2?2a?16 D.a2+2a?16

這是2013遼寧高考理數(shù)試題第11題,此類問題涉及函數(shù)最小值的最大值或者最大值的最小值,繞來繞去,往往使學(xué)生不知所云.如何深入淺出地使學(xué)生理解這類問題的解法,進(jìn)而掌握其背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法和數(shù)學(xué)思想?如何通過此類試題的解決培養(yǎng)學(xué)生舉一反三、深入思考的習(xí)慣,進(jìn)而提升學(xué)生的解題能力助其形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)?本文通過此類問題的幾個(gè)典例,系統(tǒng)探討了這類問題的解題方法,供大家參考.

破解方法之一:數(shù)形結(jié)合

解首先在畫出f(x),g(x)的圖像,如圖1所示.再令f(x)=g(x),得到:x2?2ax+a2?4=0,x1=a?2,x2=a+2結(jié)合圖像,由題意H1(x)≥f(a+2),H2(x)≤f(a?2).故A?B=f(a+2)?f(a?2)=?16,選(B).

圖2

圖3

例2. (2011年清華大學(xué)保送生考試)求

解首先要搞清楚題意.表示函數(shù)|x?6|這二個(gè)函數(shù)中函數(shù)值較大的函數(shù)所構(gòu)成的新的函數(shù).問的是這個(gè)新函數(shù)最小值是多少?

讀懂題意后,畫出圖像,如圖2所示.M的最小值顯然為2,此時(shí)對(duì)應(yīng)的x=4.

破解方法之二:同向相乘

分析我們面臨是兩個(gè)變量,一元函數(shù)結(jié)合圖像解決問題已經(jīng)失效.這時(shí)必須改變解題方法,嘗試用不等式的知識(shí)來解決問題.

總結(jié)例3和例4的方法:求min{max{f(x),g(x)}},當(dāng)f(x)＞0,g(x)＞時(shí),設(shè)M=max{f(x),g(x)},再利用M2≥f(x)×g(x)求解.

破解方法之三:同向相加

總結(jié)例5和例6的方法:求min{max{f(x),g(x)}},首先設(shè)M=max{f(x),g(x)},再利用2M≥f(x)+g(x)求解.事實(shí)上,方法二和方法三都是解決多元函數(shù)最小值的最大值問題的有力的武器,在許多場(chǎng)合中這二種方法是通用的,讀者不妨試試.