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        計量經(jīng)濟(jì)學(xué)ARMA模型詳細(xì)介紹

        2017-08-07 09:22:52王琛文
        經(jīng)濟(jì)研究導(dǎo)刊 2017年21期
        關(guān)鍵詞:計量經(jīng)濟(jì)學(xué)階數(shù)殘差

        王琛文

        (中山大學(xué)嶺南學(xué)院,廣州 510275)

        計量經(jīng)濟(jì)學(xué)ARMA模型詳細(xì)介紹

        王琛文

        (中山大學(xué)嶺南學(xué)院,廣州 510275)

        ARMA模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究時間序列的重要方法,對于很多經(jīng)濟(jì)時間序列都可建立與其吻合度很高的ARMA模型。同時由于ARMA模型建模思路并不復(fù)雜,對于預(yù)測分析的初學(xué)者來說上手較快,所以在經(jīng)濟(jì)量化分析中被廣泛使用。

        ARMA模型;AR模型;MA模型

        一、ARMA模型類型

        (一)自回歸(AR)模型

        如果時間序列yt是它的前期值和隨機(jī)項的線性函數(shù),即可表示為:yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+ut,記為AR(p)。實參數(shù)φ1,φ2,…,φp稱為自回歸系數(shù),是模型的待估參數(shù)。隨機(jī)項ut是相互獨立的白噪聲序列,且服從均值為0、方差為的正態(tài)分布,隨機(jī)項ut與滯后變量yt-1,yt-2,…,yt-p不相關(guān)。

        記Bk為k步滯后算子,即:Bkyt=yt-k,則ARMA模型可以表示為:yt=φ1Byt+φ2B2yt+…+φpBpyt+ut;令φ(B)=1-φ1B-φ2B2-…-φpBp,模型可簡寫為:φ(B)yt=ut。AR(p)過程平穩(wěn)的條件是滯后多項式φ(B)的根均在單位圓外,即φ(B)=0的根大于1。

        (二)移動平均(MA)模型

        如果時間序列yt是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項的線性函數(shù),即可表示為:yt=ut-θ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q,記為MA(q)。實參數(shù)θ1,θ2,…,θq為移動平均系數(shù),是模型的待估參數(shù)。引入滯后算子,并令θ(B)=1-θ1B-θ2B2-…-θqBq,則MA模型可簡寫為yt=θ(B)ut。

        移動平均過程無條件平穩(wěn),但通常希望AR過程與MA過程能夠互為可逆過程,因此要求滯后多項式θ(B)的根都在單位圓外,經(jīng)推導(dǎo)可得

        式中,π0=-1;B0=1;其他權(quán)重πj可遞推得到。當(dāng)序列滿足平穩(wěn)條件時,可改寫為其中,φ0=1。

        (三)自回歸移動平均(ARMA)模型

        如果時間序列yt是它的當(dāng)期和前期的隨機(jī)誤差項以及前期值的線性函數(shù),即可表示為:yt=φ1yt-1+φ2yt-2+…+φpyt-p+utθ1ut-1-θ2ut-2-…-θqut-q,記為ARMA(p,q)。其中,φ1,φ2,…,φp為自回歸系數(shù),θ1,θ2,…,θq為移動平均系數(shù),均為待估參數(shù)。

        AR模型和MA模型均為ARMA模型的特殊形式,即對于ARMA(p,q),若階數(shù)q=0,則是自回歸模型AR(p);若階數(shù)p=0,則成為移動平均模型MA(q)。

        引入滯后算子B,該模型可簡記為:φ(B)yt=θ(B)ut。

        ARMA(p,q)過程的平穩(wěn)條件是滯后多項式φ(B)的根均落在單位圓外,可逆條件是θ(B)的根都在單位圓外??梢宰C明,滿足上述條件時,ARMA(p,q)模型等價于無窮階的AR過程或者無窮階的MA過程。

        二、ARMA模型的識別

        通常,使用時間序列u的自相關(guān)系數(shù)(AC)和偏自相關(guān)系數(shù)(PAC)去識別ARMA(p,q)模型。

        對于AR(p)模型,其自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而呈現(xiàn)幾何或震蕩式衰減,而其偏自相關(guān)系數(shù)在p階截止。

        對于MA(q)模型,其自相關(guān)系數(shù)在q階后截尾,其偏自相關(guān)系數(shù)隨滯后階數(shù)的增加呈現(xiàn)幾何或震蕩式衰減。

        對于ARMA(p,q)模型,其自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而呈現(xiàn)幾何式或震蕩式衰減,并在q階后趨于0,其偏自相關(guān)系數(shù)隨著滯后階數(shù)的增加而呈現(xiàn)幾何式或震蕩式衰減,并在p階后趨于0。

        在實際識別中,需注意:(1)對于不顯著的ACF及PACF,可根據(jù)需要認(rèn)為該系數(shù)為0;(2)對滯后階數(shù)較大的孤立數(shù)值可不理會;(3)時間序列觀察點的個數(shù)盡量取大一些。

        三、ARMA模型的診斷

        建立ARIMA模型后,需對其穩(wěn)定性進(jìn)行檢驗,常用的三種檢驗方法為:(1)特征根分布,模型的特征根應(yīng)全部分布在單位圓外;(2)殘差正態(tài)性,采用QQ-plot檢驗殘差的正態(tài)性,若殘差不滿足正態(tài)分布,則說明模型存在偏差;(3)殘差A(yù)CF和PACF,殘差應(yīng)為相互獨立的白噪聲序列。

        四、ARMA模型的選擇

        當(dāng)ARIMA模型通過診斷后,需要選擇統(tǒng)計性質(zhì)較好的模型。具體可選用的方法有:選擇R方較高、參數(shù)統(tǒng)計性最顯著的模型;選擇AIC或BIC信息準(zhǔn)則較小的模型;選擇預(yù)測精度較高的模型。

        五、ARMA模型建模流程

        ARMA模型建模流程圖

        六、總結(jié)

        ARMA模型對很多經(jīng)濟(jì)時間序列數(shù)據(jù),如貨幣供應(yīng)量、國民生產(chǎn)總值等,均有較好的預(yù)測精度,也是目前應(yīng)用較為廣泛的計量模型。同時,由于ARMA模型本身的形式和數(shù)學(xué)推導(dǎo)均不算復(fù)雜,也是預(yù)測分析初學(xué)者學(xué)習(xí)計量模型的最好選擇之一。筆者在本文將ARMA模型的幾種形式和使用方法進(jìn)行了詳細(xì)的介紹,希望對各位讀者對此模型的掌握有所幫助。

        [1]易丹輝.數(shù)據(jù)分析與Eviews應(yīng)用[M].北京:中國人民大學(xué)出版社,2009.

        [2]高鐵梅.計量經(jīng)濟(jì)分析方法與建?!狤views應(yīng)用及實例[M].北京:清華大學(xué)出版社,2006.

        [3]劉斌.應(yīng)用計量經(jīng)濟(jì)學(xué)[M].北京:中國金融出版社,2010.

        [責(zé)任編輯 劉嬌嬌]

        F224

        A

        1673-291X(2017)21-0003-02

        2017-02-07

        王琛文(1995-),男,北京人,本科,從事金融量化分析與對外貿(mào)易研究。

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