張祖兵

摘要：本文在文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上，分析了學(xué)生成績(jī)不理想的原因，闡述了筆者在數(shù)學(xué)“理解學(xué)習(xí)”上獨(dú)到的見解，構(gòu)建了記憶理解，感官理解，理性理解以及構(gòu)造理解的四種理解方式，表達(dá)了對(duì)于所謂的數(shù)學(xué)“學(xué)困生”的意見。

關(guān)鍵詞：理解；理解學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)

中圖分類號(hào)：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2017）06-0039

一、普通高中數(shù)學(xué)“理解學(xué)習(xí)”的現(xiàn)狀

數(shù)學(xué)作為高中教育的一門主要學(xué)科，對(duì)于每一個(gè)班級(jí)來說，總會(huì)有部分學(xué)生學(xué)習(xí)困難。學(xué)生學(xué)得不理想的原因是多方面、多角度的，多種原因結(jié)合就形成了這樣的結(jié)果。下面簡(jiǎn)單舉幾個(gè)例子：

其一，學(xué)生性格會(huì)影響他們的學(xué)習(xí)。有些學(xué)生性格比較內(nèi)斂，與同學(xué)溝通、交流非常少，很多時(shí)候他們沒有聽明白的，或者遇到不會(huì)的問題，他們往往不愿意主動(dòng)問同學(xué)和教師。就因?yàn)檫@，他們失去了能夠及時(shí)理解知識(shí)的好時(shí)機(jī)。這樣的問題日積月累就造成了他們?cè)跀?shù)學(xué)學(xué)習(xí)上越學(xué)越覺得壓力大，從而影響了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

其二，學(xué)生學(xué)習(xí)方法不對(duì)。有些學(xué)生上課認(rèn)認(rèn)真真聽，下課依然玩得不亦樂乎，數(shù)學(xué)成績(jī)卻一直很好。反而，有時(shí)對(duì)于那些平常認(rèn)真聽課，課后認(rèn)真練習(xí)的學(xué)生來說，他們的成績(jī)反而不理想。因?yàn)檫@些學(xué)生的學(xué)習(xí)方法不恰當(dāng)。他們主觀地認(rèn)為高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是靠做練習(xí)練出來的（當(dāng)然，這也與教師強(qiáng)調(diào)練習(xí)有一定的關(guān)系）。所以這些學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中所重視的不是理解知識(shí)內(nèi)容，而是一味地盲目跟從教師的解題過程，沒想過每一步的理由，等解決之后，便豁然開朗地離去，因?yàn)樗X得他已經(jīng)會(huì)了。然而，實(shí)際上，他是否真的會(huì)了，下次再出現(xiàn)，他一定可以順利地解答出來嗎？不一定，因?yàn)樗麤]有真正理解。正因?yàn)闆]有真正地理解好知識(shí)，所以導(dǎo)致只能處理一部分練習(xí)題，達(dá)不到舉一反三的效果。

在以上兩種情況中，學(xué)生并未真正理解學(xué)習(xí)的內(nèi)容，最終導(dǎo)致失去興趣以及信心。很多初中生剛進(jìn)入高中的時(shí)候，都是信心飽滿的，他們已經(jīng)做好了進(jìn)入高中的思想準(zhǔn)備，所以他們一直遙遙領(lǐng)先。但有些人沒有，他們?cè)诟咧袑W(xué)習(xí)一段時(shí)間以后，便產(chǎn)生了一定倦怠，導(dǎo)致成績(jī)不理想。對(duì)于這些學(xué)生來說，有些人會(huì)因?yàn)榧胰?、教師、同學(xué)的鼓勵(lì)以及自己的堅(jiān)強(qiáng)意志，慢慢地拾起對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心。然而，另一些人卻因此一蹶不振。對(duì)于他們來說，或許他們知道數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是必不可少的，但是每當(dāng)他們看到自己的學(xué)習(xí)成績(jī)時(shí)，他們便對(duì)自己失去了信心，也對(duì)數(shù)學(xué)科目失去了興趣。他們覺得數(shù)學(xué)是那些成績(jī)好、聰明之人可以學(xué)好的，自己根本學(xué)不好。這樣，他們便不愿在數(shù)學(xué)上投入更多的時(shí)間，學(xué)習(xí)便進(jìn)入了惡性循環(huán)。理解學(xué)習(xí)在此就顯得格外重要了。

所謂理解學(xué)習(xí)，指在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行更深一步的學(xué)習(xí)。理解，字典解釋為：因每個(gè)人的大腦對(duì)事物分析決定的一種對(duì)事物本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，就是通常我們所說的知其然，又知其所以然。一般也稱為了解或領(lǐng)會(huì)。理解與概念和問題都有密切關(guān)系，有時(shí)是互相重疊的。理解常以問題解決的方式來進(jìn)行。對(duì)提出的問題所給予的回答，可以表現(xiàn)出理解的不同程度或不同水平。理解的標(biāo)志之一，是對(duì)所理解的對(duì)象能用自己的話表達(dá)出來，包括對(duì)語言材料能加以改組，改變其表達(dá)方式。對(duì)某事物理解不確切，難以用自己的話表述，或僅能背誦原文，這說明對(duì)文句或事物并未有真正的理解。

二、對(duì)高中數(shù)學(xué)“理解學(xué)習(xí)”教與學(xué)的建議

很多人認(rèn)為，數(shù)學(xué)就一定要做題，通過大量的練習(xí)可以提高數(shù)學(xué)成績(jī)，所以要想學(xué)好數(shù)學(xué)就要多做題，大量做題。然而，從實(shí)際效果來看，有些時(shí)候卻也增加了他們對(duì)這個(gè)觀點(diǎn)的誤解。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們有時(shí)候可以把一些定理、結(jié)論等的來龍去脈弄得清清楚楚，有時(shí)候卻不需要如此。關(guān)鍵看你如何理解這些內(nèi)容，并將其內(nèi)化為自己的東西。練習(xí)固然重要，但是最重要的應(yīng)當(dāng)屬于“理解”。筆者將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理解方式分為四種，記憶理解，感官理解，理性理解以及構(gòu)造理解。

1. 記憶理解。顧名思義，是利用我們自己的記憶，把一些定理、結(jié)論等通過一定的方式，先把它記住，而后再對(duì)其進(jìn)行理解。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上，如有些公式、結(jié)論等不易理解，卻可以用一些口訣來記憶之時(shí)，可以先用口訣記憶，在記憶之后再慢慢理解。例如：函數(shù)f（x）變換到函數(shù)f（x+1），是將整個(gè)函數(shù)向左平移一個(gè)單位，記憶口訣平移變換的“左加右減”，記憶結(jié)束之后，再慢慢地借助特殊函數(shù)（比如二次函數(shù)，反比例函數(shù)等）來理解；對(duì)于必修5中的數(shù)列求和，有一種求和的方法叫做“錯(cuò)位相減法”，可能學(xué)生在剛開始接觸的時(shí)候不能理解，為什么要用這樣的方法？為什么要乘以公比？為什么要“錯(cuò)位”再相減？為什么錯(cuò)位相減的結(jié)果中間一定是一個(gè)等比數(shù)列求和？為什么看到類似于an=n·2n的形式都可以使用這樣的方法呢？對(duì)于很多這樣的問題，一時(shí)難以全部讓學(xué)生理解接受?？梢宰寣W(xué)生記住“錯(cuò)位相減法”的具體題型以及相應(yīng)的具體操作過程，待學(xué)生練習(xí)一定量的題目以后，可以給學(xué)生提點(diǎn)一下，為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的情況，此時(shí)相信學(xué)生會(huì)很快理解并接受這個(gè)方法的。

2. 感官理解。根據(jù)人的感覺理解數(shù)學(xué)上的一些定理、結(jié)論、題型等。

（1）在對(duì)結(jié)論的理解時(shí)，如函數(shù)y=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）的圖像受三個(gè)量的影響，學(xué)生在學(xué)習(xí)它的平移、伸縮變換規(guī)律時(shí)不易掌握，讓學(xué)生分析觀察：

伸縮變換：y=sinx→y=sin2x

當(dāng)x取原來的值時(shí)，函數(shù)值為sinx，經(jīng)過變換以后當(dāng)x取■時(shí)，函數(shù)值才為sinx。也就是說，當(dāng)縱坐標(biāo)不變時(shí)，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话?。適時(shí)再舉例一些點(diǎn)，便可以讓學(xué)生很好地理解，為什么這樣的變換是“縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼囊话搿保?/p>

平移變換：y=sin2x→y=sin（2x+■）

原函數(shù)當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)值為y=sin0，經(jīng)過平移變換以后，當(dāng)x=-■時(shí)，函數(shù)值為y=sin0，也就是說（0，0）這一點(diǎn)平移到了（-■，0），這樣可以認(rèn)為函數(shù)向左平移了-■個(gè)單位。等學(xué)生理解之后，再告訴學(xué)生不管是平移還是伸縮，僅僅對(duì)進(jìn)行變換，這樣學(xué)生理解得就會(huì)更加深刻。

（2）在對(duì)練習(xí)的理解時(shí)，學(xué)生處理完練習(xí)之后，（上接第39頁）要達(dá)到舉一反三的效果，必須對(duì)所處理的練習(xí)進(jìn)行跟蹤、理解并分析。例如在解三角形題型中，條件a=2bcosC的處理，也許有些人會(huì)利用正弦定理轉(zhuǎn)化為角，利用三角函數(shù)進(jìn)行處理，也會(huì)有人利用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊。但是就這樣一個(gè)條件，我們可以從它身上提煉得到：三角形當(dāng)中的量除了邊就是角，在解三角形的題型中，往往會(huì)出現(xiàn)邊角同在的情況，遇到這樣的條件該如何處理。我們可以“邊角互化”，都化成邊或者角進(jìn)行處理。所以以后一但遇到這樣的問題，肯定會(huì)有這樣的利用正弦定理或者余弦定理進(jìn)行“邊角互化”的過程。再如，數(shù)列當(dāng)中，主要的題型有求通項(xiàng)以及求通項(xiàng)an公式的前n項(xiàng)和，在求Sn過程中，主要方法有錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)相消，倒序相加等等。錯(cuò)位相減主要針對(duì)一個(gè)等差數(shù)列以及一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)相乘求和問題，所以在遇到數(shù)列問題，一旦遇到an·bn或者■求和問題，很有可能是錯(cuò)位相減的做法，所以在求通項(xiàng)an以及bn之時(shí)可以做一個(gè)參考依據(jù)，而且可以給學(xué)生一個(gè)心理暗示：“這道題很簡(jiǎn)單，不就是錯(cuò)位相減嘛。”裂項(xiàng)相消問題主要是出現(xiàn)了分母相乘分之一這樣的形式，常見的是■，注意裂項(xiàng)以后要能夠還原，即恒等進(jìn)行變換。所以只要見到■求和問題，很有可能是裂項(xiàng)相消的問題，這樣讓學(xué)生無形中給自己吃了一顆定心丸。這種理解也是筆者在學(xué)生面前強(qiáng)調(diào)再三的一種理解方式。

3. 理性理解。即對(duì)公式、結(jié)論的來龍去脈理解得非常透徹，比如在知道了正弦公式sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ之后，求sin（α-β）之時(shí)，只需要將β?lián)Q成-β，利用公式sin（-β）=-sinβ，cos（-β）=cosβ，就可以直接可以得出sin（α-β）=sinαcosβ+cosαsinβ，在理解的基礎(chǔ)上加以記憶。再如，由倍角公式cos2α=2cos2α-1=1-2sin2α，可以得出cos2α=■，sin2α=■。這個(gè)降次公式運(yùn)用得非常廣泛，而倍角公式是應(yīng)該熟記的，在倍角公式基礎(chǔ)上得出降次公式易理解又便于記憶。

4. 構(gòu)造理解。在對(duì)于一些結(jié)論、公式不便于記憶之時(shí)，我們可以自己構(gòu)造一種理解的方式將它記憶，只要我們構(gòu)造的理解方式不違背常理，就可以為我們所用。如在三角形中，有很多公式，有時(shí)候記憶起來不太容易，這時(shí)候我們可以構(gòu)造一種記憶方式。筆者認(rèn)為sine（正弦）比較“好”，而cosine（余弦）比較“霸道”，所以，sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ正弦展開，“和”展開中間是“加號(hào)”“差”展開中間是“減號(hào)”；cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ，而余弦展開，“和”展開中間反而是“減號(hào)”，“差”展開是“加號(hào)”，而且余弦“霸道”到硬是要將余弦綁在一起，出現(xiàn)余弦相乘的現(xiàn)象。這樣的理解方式不違背常理，而且便于記憶，還未以后的一些理解提供了方便。如降次公式cos2α=■，sin2α=■，降次公式都是由兩倍角余弦表示，由于余弦比較“霸道”，所以降次的時(shí)候，靠著都是余弦的關(guān)系，所以都是正的，而正弦相對(duì)比較“好”，它可以允許降次的時(shí)候是“負(fù)號(hào)”。

對(duì)于那些感覺數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)比較輕松的學(xué)生來說，他們自己對(duì)于“理解學(xué)習(xí)”可以做得很好，可以自己主動(dòng)尋找理解的方法，理解著去學(xué)習(xí)。對(duì)于所謂的“潛能生”來說，他們所表現(xiàn)出來的成績(jī)相對(duì)落后只是表象，那是因?yàn)樗麄冞€沒有建立起屬于自己的一套理解體系。如果每一個(gè)學(xué)生都能好好地挖掘自己的理解能力，理解學(xué)習(xí)，筆者相信每一個(gè)人都可以學(xué)得很好。

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（作者單位：湖北省公安縣第三中學(xué) 434300）