廣州市第二中學(xué)(510530) 張先龍

判別式法巧證幾個著名的不等式

廣州市第二中學(xué)(510530) 張先龍

判別式來源于一元二次方程根的個數(shù)的判斷,可用于求函數(shù)的定義域、值域和最值,也可用于證明不等式等等,是解題中十分基本而非常重要的數(shù)學(xué)技巧.作為配方法的一種集成性工具,有時使用起來頗為方便,它在不等式證明中屢建奇功,本文擬給出幾個著名的不等式的判別式證法,供讀者參考.

1.Cauchy不等式

設(shè) a1,a2,···,an,b1,b2,···,bn為兩組實數(shù),則

證明 (1)當(dāng)ai全為0時,命題顯然成立;

(2)當(dāng)ai不全為0時,有構(gòu)造二次函數(shù)

2.嵌入不等式

設(shè)x,y,z是任意實數(shù).A,B,C是任意三角形的三個內(nèi)角,求證:

x2+y2+z2>2xy cosA+2yz cosB+2zxcosC.當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.

證明將原不等式轉(zhuǎn)化為

構(gòu)造二次函數(shù)

因為

所以,f(x)>0恒成立,原不等式得證.

3.Oppenheim不等式

若三個實數(shù)A,B,C使不等式

對一切實數(shù)x,y,z均成立,求證:A,B,C>0且

證明令x=z,則A(z?y)2>0恒成立,所以A>0.同理可得B>0,C>0.當(dāng)xz時,令m=x?y,n=x?z,則m?n=z?y,則原不等式即為

兩端同時除以n2,得

(1)當(dāng)A=0時,有B=C>0,此時,顯然A2+B2+C26 2(AB+BC+CA)成立;

(2)當(dāng)A>0時,有判別式?=(A+B+C)2?4AB 6 0,即A2+B2+C26 2(AB+BC+CA)成立.

4.Aczel不等式

設(shè) a1,a2,···,an,b1,b2,···,bn為兩組實數(shù),并且則

證明不妨設(shè)構(gòu)造二次函數(shù)

因為二次函數(shù)f(x)開口向上,且

所以判別式

5.Polya-Szego不等式

設(shè)0

證明原不等式等價于

構(gòu)造二次函數(shù)

因為二次函數(shù)f(x)開口向上,且

又因為00,m2ai? M1bi6 0,故f(1)6 0,所以判別式

即原不等式得證.

6.Beesack不等式

綜上觀之,利用判別式法證明的關(guān)鍵是,構(gòu)造了必有實根的二次函數(shù)f(x)或取值恒非負(fù)且其二次項系數(shù)為正的二次函數(shù)f(x),具體依據(jù)為:

(1)若二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c=0有實根,則其判別式?=b2?4ac>0;

(2)對于二次函f(x)=ax2+bx+c=0數(shù),若a>0,則“f(x)6 0恒成立”等價于“?=b2?4ac 6 0”.

這種證明顯得直觀、簡捷、巧妙.值得我們不斷去嘗試實踐.