摘 要：數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，通過數(shù)與形之間的對應(yīng)和轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問題，它包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)解形”兩個方面。利用它可使復(fù)雜問題簡單化、抽象問題具體化，它兼有數(shù)的嚴(yán)謹(jǐn)與形的直觀之長，是優(yōu)化解題過程的重要途徑之一，是一種基本的數(shù)學(xué)方法。下面主要談一下“以形輔數(shù)”在方程問題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)形；方法；轉(zhuǎn)化

一、 根的個數(shù)問題

【例1】 方程12x=lnx的根的個數(shù)。

分析：思路一、構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-12x

則f（1）=-12<0，f（e）=1-12e>0

∴f（x）在（1，e）內(nèi)有零點(diǎn)，又f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)

∴f（x）在定義域（0，+∞）內(nèi)僅有一個零點(diǎn)。

思路二、令f（x）=12x，g（x）=lnx

在同一坐標(biāo)系中作出兩個函數(shù)f（x）=12x，與g（x）=lnx的圖象（如圖1）

圖1

由圖可知兩曲線只有一個公共點(diǎn)，故方程只有一個解。

注：在思路一中既要弄出f（1）=-12<0，f（e）=1-12e>0，還要說明f（x）=lnx-12x在定義域內(nèi)是單調(diào)的，方可得出方程僅有一根。至于函數(shù)在整個定義域內(nèi)不單調(diào)，或者不能確定函數(shù)的單調(diào)性，只能分開討論解答（見例題2）。思路二中，只要作出兩個函數(shù)的圖象即可。

【例2】 判斷方程log2x=-（x-1）2+2的根的個數(shù)。

分析：思路一、構(gòu)造函數(shù)f（x）=log2x+（x-1）2+2，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)。

x>1時，f（x）遞增，f（1）=-2<0，f（2）=0，f（4）>0。

∴f（x）在（0，+∞）上有唯一的一個零點(diǎn)。

0

∴在（0，+∞）上，f（x）有且僅有一個零點(diǎn)。

即方程log2x=-（x-1）2+2的解只有一個。

思路二、令：f（x）=log2x，g（x）=-（x-1）2+2

在同一坐標(biāo)系中作出二者的圖象（如圖2）。

由圖可知方程log2x=-（x-1）2+2只有一個解。

圖2

注：通過兩個實(shí)例，發(fā)現(xiàn)思路二較思路一要簡捷些，思路二可以導(dǎo)出思路一中根所在的區(qū)間（a，b）端點(diǎn)，對于方程中含有參數(shù)時，思路一無能為力了，請看下面的例題。

二、 參數(shù)取值范圍問題

【例3】 若關(guān)于x的方程x+1-x=m有兩個不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：將方程變形x+1=m+x，引入兩個函數(shù)f（x）=x+1，g（x）=x+m，

在現(xiàn)一坐標(biāo)系中作出f（x）=x+1（x≥1）與g（x）=x+m（x≥-m）的圖象（如圖3）。

圖3

g（x）=x+m（x≥-m）表示以（-m，0）為端點(diǎn)位于x軸上方的動射線，f（x）=x+1（x≥1）表示是由冪函數(shù)y=x向左平移一個單位得到的圖象。

當(dāng)m=1時射線與曲線恰有兩交點(diǎn)

當(dāng)射線與曲線相切，即方程x+1=（m+x）2只有一個解時，

由x2+（2m-1）x+m2-1=0的Δ=（2m-1）2-4（m2-1）=0m=54

結(jié)合圖形，得：1≤m<54。

總之，數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問題并實(shí)現(xiàn)問題的模型轉(zhuǎn)換的一種基本思想和基本方法，它能溝通數(shù)與形的內(nèi)在聯(lián)系。在解題中學(xué)會以形論數(shù)、借數(shù)解形、數(shù)形結(jié)合，直觀又入微，提高形數(shù)聯(lián)想的靈活性，有助于思維素質(zhì)的發(fā)展，有利于提高解題能力。

作者簡介：

溫桂花，江西省贛州市，江西贛縣三中。