安玉蓮　李俊玲

摘 要：本文圍繞“以學(xué)生為主體、教師為主導(dǎo)”“以教學(xué)效果為導(dǎo)向”的教學(xué)思想，總結(jié)了常微分方程教學(xué)中的一些思考和做法，探討常微分方程課的教學(xué)方法改革。

關(guān)鍵詞：常微分方程；教學(xué)方法；教學(xué)效果

常微分方程是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的重要分支之一，它是研究客觀世界量與量之間關(guān)系的重要工具，廣泛地應(yīng)用于物理、化學(xué)、生物、工程、航空航天、醫(yī)學(xué)、經(jīng)濟(jì)和金融等領(lǐng)域。常微分方程課程是我校應(yīng)用數(shù)學(xué)系的一門專業(yè)基礎(chǔ)課，同時又是數(shù)學(xué)分析的后繼課程。這門課程不僅可以讓學(xué)生領(lǐng)略到豐富的數(shù)學(xué)知識，而且引導(dǎo)學(xué)生用新的視角認(rèn)識世界，對培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維起到了非常重要的作用。

如何在常微分方程的教學(xué)中，提高學(xué)生的積極主動性，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，使教學(xué)方式由教學(xué)投入，即以教學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)年限為導(dǎo)向，轉(zhuǎn)變?yōu)榻虒W(xué)產(chǎn)出，即以學(xué)習(xí)效果為導(dǎo)向，是教學(xué)改革中大家比較關(guān)注的問題。在常微分方程課程的教學(xué)過程中，筆者有以下的構(gòu)想和嘗試。

一、“任務(wù)式”教學(xué)——突出學(xué)生主體，體現(xiàn)教師主導(dǎo)

目前，課堂教學(xué)的一大弊端是教師包辦和代勞太多，而學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高，“學(xué)生的主體作用”和“教師的主導(dǎo)”體現(xiàn)得都不明顯。學(xué)生習(xí)慣被動地接受知識，而不是主動地學(xué)習(xí)和探索知識，很難從學(xué)習(xí)中感受到快樂。為了改變這一現(xiàn)狀，教師在教學(xué)過程中，有意識地布置一些學(xué)習(xí)任務(wù)，要求學(xué)生去完成。這個任務(wù)絕不局限于課后的習(xí)題。

比如，常微分方程第一節(jié)緒論課，主要介紹微分方程的背景知識和基本概念。常規(guī)為兩課時，課堂上能夠介紹的內(nèi)容非常有限。教師在教學(xué)中布置學(xué)習(xí)任務(wù)：

了解常微分方程在生產(chǎn)生活中的應(yīng)用；

了解常微分方程的發(fā)展歷史和關(guān)鍵人物；等等。

學(xué)生可以利用各種資源，主動查找和學(xué)習(xí)相關(guān)的資料，以作為課堂內(nèi)容的有效補(bǔ)充。為了督促學(xué)生完成任務(wù)，教師要求學(xué)生在規(guī)定時間內(nèi)以論文、PPT、影像資料等多種形式提交學(xué)習(xí)成果，并及時記錄和交流，任務(wù)完成情況作為學(xué)習(xí)成績的一部分加以體現(xiàn)。教師則在有限的課堂時間內(nèi)，重點(diǎn)講解“數(shù)學(xué)單擺”“人口模型”“傳染病模型”等幾個非常經(jīng)典的微分方程模型，使學(xué)生了解和認(rèn)識應(yīng)用微分方程“思考問題--建立模型—解決問題”的過程。這樣的設(shè)計，突出了教師講解畫龍點(diǎn)睛的主導(dǎo)作用，也調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，充分發(fā)揮其主體作用。

課后學(xué)生分兩次完成作業(yè)，找到了鑒別名畫的真?zhèn)?、測定考古發(fā)掘物的年齡、深水炸彈在水下的運(yùn)動、物資的供給、紅綠燈問題、需求與物價之間的關(guān)系、減肥的數(shù)學(xué)模型等諸多課本上沒有的例子；制作了精美的PPT，介紹常微分方程的發(fā)展歷程；從方法論的角度出發(fā)，學(xué)習(xí)和總結(jié)利用常微分方程建模的常用方法。通過學(xué)習(xí)，學(xué)生對常微分方程背景知識和廣泛的應(yīng)用性有了更充分的認(rèn)識，對應(yīng)用這個工具解決問題的方法有了更加深刻的理解。這樣的作業(yè)，突破課堂限制，不僅使學(xué)生學(xué)到了知識，更主要的是，在學(xué)習(xí)的過程中學(xué)會了資料的搜集與整理以及論文撰寫的基本知識與格式，提高了協(xié)作完成任務(wù)的能力。這樣的學(xué)習(xí)方式，使學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主角，而教師在學(xué)習(xí)活動中的主導(dǎo)和組織作用也得到了充分的發(fā)揮。

二、構(gòu)建以教材為中心的“輻射式”教學(xué)內(nèi)容體系

除教材知識外，“輻射式”構(gòu)建本課程外圍學(xué)習(xí)內(nèi)容，建設(shè)一個以教材為中心，以外圍資料為輔助的教學(xué)內(nèi)容體系。微分方程的發(fā)展歷久彌新，是一門前沿性非常強(qiáng)的課程。教材知識雖然經(jīng)典，但是比較陳舊，不能體現(xiàn)這門課程前沿性的特點(diǎn)。為此，教師在授課過程中應(yīng)給學(xué)生提供比較恰當(dāng)?shù)?、既結(jié)合學(xué)習(xí)內(nèi)容又比較新或者比較經(jīng)典的論文資料，供學(xué)生閱讀學(xué)習(xí)。在搜集資料的過程中，注重提供一定比例的外文資料。通過閱讀與學(xué)習(xí)這些資料，使學(xué)生提高了學(xué)習(xí)興趣，開闊了視野。同時，積累了專業(yè)詞匯，培養(yǎng)了閱讀外文學(xué)術(shù)文獻(xiàn)的能力，提升了學(xué)習(xí)品質(zhì)，為今后的學(xué)習(xí)奠定了良好的基礎(chǔ)。這個教學(xué)內(nèi)容體系，隨著教學(xué)與科研的發(fā)展不斷更新和補(bǔ)充“新鮮血液”，經(jīng)過幾輪的積累，就會形成一個豐富的、動態(tài)的常微分方程課程資料庫。

不僅如此，還應(yīng)要求學(xué)生學(xué)習(xí)Matlab、Maple、Mathematic等常用的工具類數(shù)學(xué)軟件，并且能夠把它應(yīng)用到常微分方程課程的學(xué)習(xí)中，解決一些基本問題，如畫相圖、積分曲線（面）、求各類常微分方程的近似解等。

三、“過程化”教學(xué)——注重學(xué)習(xí)過程的管理和引導(dǎo)

為了體現(xiàn)學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，改變單一的考試辦法，應(yīng)分階段分任務(wù)進(jìn)行考核。考核內(nèi)容有：

第一，期中、期末考試。

第二，作業(yè)考核。

過程考核分課內(nèi)作業(yè)和課外作業(yè)。課內(nèi)作業(yè)是常規(guī)的課后習(xí)題；課外作業(yè)有課堂筆記、文獻(xiàn)閱讀、本課程相關(guān)資料整理等。

第三，課外學(xué)習(xí)內(nèi)容考核。

主要有數(shù)學(xué)軟件學(xué)習(xí)、實驗課內(nèi)容學(xué)習(xí)和操作等。各類學(xué)習(xí)內(nèi)容在考核中都占有一定的比例，以此調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使得總評成績能夠比較全面地反映學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。

在考核方式的比例分配和成績評定過程中，引入學(xué)生的意見，甚至部分展示內(nèi)容中可以讓學(xué)生的評分占一小部分。

四、“建模化”教學(xué)——突出應(yīng)用，提高能力

微分方程來自于實踐，主要解決實踐中遇到的各種問題，建模是利用微分方程解決問題的第一步，也是關(guān)鍵一步。常微分方程教學(xué)應(yīng)該盡可能地體現(xiàn)這一特點(diǎn)。

筆者在每一部分的教學(xué)中都盡可能引入實例，展現(xiàn)建模過程。完成知識點(diǎn)學(xué)習(xí)之后，每一章也都以解決一個實例問題作為結(jié)束。

在教學(xué)過程中，筆者根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，設(shè)計了四節(jié)“實驗課”內(nèi)容，體現(xiàn)出微分方程課程的實用性的特點(diǎn)。比如，在學(xué)習(xí)了解對初值的連續(xù)依賴性之后，為了使學(xué)生了解參數(shù)變化對方程解的影響，教學(xué)中增加了關(guān)于“混沌”的實驗內(nèi)容。通過對經(jīng)典的Logistic模型數(shù)值解的計算，在計算機(jī)上讓學(xué)生看到混沌現(xiàn)象的發(fā)生。在學(xué)習(xí)了微分方程組之后，增加了以了解微分方程組的應(yīng)用和求解為目的的實驗課——“鹽水濃度計算”。在這個試驗中，一個復(fù)雜過程被拆分成較簡單的子系統(tǒng)，一個獨(dú)立的微分方程描述一個子系統(tǒng)，于是一個微分方程組描述整個系統(tǒng)。

實驗課環(huán)節(jié)比較完整地體現(xiàn)了問題的提出、分析、建模、解決等過程。學(xué)生使用計算機(jī)軟件進(jìn)行模擬或者近似解計算，提高了解決問題的能力。

五、“開放式”教學(xué)

學(xué)生的學(xué)習(xí)不拘泥于課堂，除了前面介紹的幾種方法外，筆者還注重營造學(xué)術(shù)氛圍，使學(xué)生感受到研究學(xué)習(xí)的樂趣。

一是請校內(nèi)外專家為學(xué)生作比較通俗的學(xué)術(shù)報告，介紹微分方程領(lǐng)域的前沿工作、發(fā)展動態(tài)、趨勢和應(yīng)用，以及學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法等。通過這些學(xué)術(shù)活動，使學(xué)生在了解前沿的數(shù)學(xué)知識的同時，能夠感受數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)家的魅力，寓教于樂、寓教于趣。

二是組織小型“學(xué)術(shù)活動”，通過分組學(xué)習(xí)，對于作業(yè)完成比較好的學(xué)生，在課堂上留5～10分鐘時間，請他們給班級同學(xué)介紹成果。這項活動極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和表現(xiàn)欲望，效果非常好。

六、“研究式”教學(xué)——通過師生的科研活動，促進(jìn)教學(xué)，培養(yǎng)興趣

微分方程課程是一門前沿性非常強(qiáng)的課程，即便是基本的知識點(diǎn)，也可以挖掘出可以研究的科研課題。

首先，在教學(xué)中，引導(dǎo)學(xué)生選擇課題，參與科研活動，發(fā)現(xiàn)和完成一些小的科研任務(wù)，學(xué)生的創(chuàng)造力得到了很好的開發(fā)和提高。比如：課題組教師指導(dǎo)學(xué)生完成論文《冪級數(shù)法求解微分方程的近似解》《一類雙反饋系統(tǒng)正解的穩(wěn)定性研究》《人口流動對傳染病的影響》等，基于課堂教學(xué)，又高于課本經(jīng)典內(nèi)容，這些研究成果的整理發(fā)表，極大地激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。

其次，我們認(rèn)識到科研活動是教師保持創(chuàng)造性的重要保障，教師應(yīng)該科研與教學(xué)并重，教學(xué)相長。只有知識淵博，富有創(chuàng)造性的教師，才有可能培養(yǎng)出具有創(chuàng)新精神的人才。只有富有教育責(zé)任感和工作熱情的教師，才有可能引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行富有成效的學(xué)習(xí)。在工作中，常微分方程教學(xué)團(tuán)隊的教師成立有非線性分析研究所，每個人都主持有省部級或者國家級科研項目，為不斷提高這門課程的教學(xué)質(zhì)量提供了重要保障。

總之，經(jīng)過幾年的教學(xué)實踐，我校努力踐行“學(xué)生為學(xué)習(xí)主體、教師為學(xué)習(xí)主導(dǎo)”的原則，以課堂教學(xué)為核心，同時突破課堂有限的時空限制，通過各種教學(xué)形式，促使學(xué)生主動學(xué)習(xí)，積極探索。在鼓勵和幫助學(xué)生獲得知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力、分析解決問題的能力，獲得了有效的學(xué)習(xí)成果。同時也真正體現(xiàn)出教師在教學(xué)過程中引導(dǎo)、指導(dǎo)、主導(dǎo)的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1]張偉年.本科數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)改革與實踐[J].高等理科教育，2003（1）：19-21.

[2]趙中，陳瑩.應(yīng)用型本科高校“常微分方程”教學(xué)模式改革與探索[J].鞍山師范學(xué)院學(xué)報，2014，（2）：11-13.

[3]周玉興，蔣心學(xué)，韋新.《常微分方程》課程教學(xué)改革的探討[J].數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2013，32（12）：63-65.

[4]王銳.應(yīng)用型高校常微分方程教學(xué)模式改革[J].陰山學(xué)刊（自然科學(xué)），2017（1）：120-121.

[5]唐玉萍.常微分方程教學(xué)模式轉(zhuǎn)變初探[J].四川文理學(xué)院學(xué)報，2015（2）：66-68.

[6]邵為爽，李曉紅，韓旸，等.基于微課的高師數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程課程翻轉(zhuǎn)課堂教學(xué)模式[J].高師理科學(xué)刊，2016，36（4）：50-52.

[7]王高雄，周之銘，朱思銘，王壽松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1987.