河北省唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué) (郵編：064012)

一道課本上不等式問題的十種證明方法

河北省唐山市豐潤區(qū)任各莊鎮(zhèn)中學(xué)周來友(郵編：064012)

不等式問題是歷年高考中的一個(gè)熱點(diǎn)問題，其證明方法靈活多樣，綜合性很強(qiáng)，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn).本文以一道不等式的多種證明方法為例，淺談在不等式證明中經(jīng)常用到的數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法.

類比轉(zhuǎn)化;數(shù)形結(jié)合;方程和函數(shù)

不等式是研究數(shù)學(xué)的重要工具，是數(shù)學(xué)思想和方法的載體，能比較全面地考查學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問題的能力，歷來都是各類考試的一個(gè)熱點(diǎn)問題，其證明方法體現(xiàn)了很多數(shù)學(xué)思想和方法.下面，筆者以一道課本不等式問題的證明為例，提醒大家在復(fù)習(xí)階段，注意研究經(jīng)典問題，真正做到提高復(fù)習(xí)效率.

本題選自2007年1月第2版的普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)》選修4-5人教A版不等式選講第一章第10頁習(xí)題1.1第11題.

證法1 (用平均不等式)

因?yàn)閍+b+c=1，所以1=(a+b+c)2

=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

又因?yàn)閍2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，所以1≤3(a2+b2+c2)，

證法2 (用柯西不等式)

由柯西不等式可得

證法3 (用配偶不等式)

構(gòu)造以下不等式：

三式相加得，

證法4 (構(gòu)造向量不等式)

而3(a2+b2+c2)=(12+12+12)(a2+b2+c2)，據(jù)此構(gòu)造向量m=(1,1,1)，n=(a,b,c)，

已知a、b、c≥0，

證法5 (用配方法)

因?yàn)閍+b+c=1，所以c=1-a-b，

所以a2+b2+c2=a2+b2+(1-a-b)2

=2a2+2(b-1)a+2b2-2b+1

已知a、b、c≥0，

證法6 (構(gòu)造平方和)

證法7 (構(gòu)造概率模型)

因?yàn)镈ξ≥0，所以Dξ=Eξ2-(Eξ)2≥0，

由Dξ=0可知，上式當(dāng)a=b=c

證法8 (構(gòu)造三角函數(shù))

因?yàn)閍+b+c=1，所以a+b=1-c，

=1-c.

已知a、b、,c≥0，

證法9 (構(gòu)造二次函數(shù))

以a為主元構(gòu)造二次函數(shù)，設(shè)f(a)=a2+b2+c2，因?yàn)閍+b+c=1，所以c=1-a-b，從而f(a)=a2+b2+(1-a-b)2，

整理得f(a)=2a2+2(b-1)a+2b2-2b+1.

已知a、b、c≥0，

c=1-a-b

證法10 (構(gòu)造方程組)

整理得3c2-2c+1-2t≥0.

已知a、b、c≥0，

以上證明過程和方法，用到了消元、配方、構(gòu)造、函數(shù)、方程、化歸、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等技巧，這些都是最重要的數(shù)學(xué)思想和方法.由此我們看出，一題多解有利于培養(yǎng)發(fā)散思維和綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)思想和方法解決實(shí)際問題的能力，希望大家在今后的復(fù)習(xí)中，注意深入挖掘那些典型問題，通過一題多解把基礎(chǔ)知識和解題技巧串聯(lián)起來，以達(dá)到研究經(jīng)典以一當(dāng)十，解析一題復(fù)習(xí)一片的目的.

1 人民教育出版社，課程教材研究所，中國數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書：數(shù)學(xué),選修4-5,A版,不等式選講[M].北京：人民教育出版社，2008.11-11

2http:∥xue163.com/19990/13691/483607438.html

2017-03-25)