山東省淄博市周村區(qū)王村中學(xué) (郵編：255300)山東省淄博市周村區(qū)第三中學(xué) (郵編：255300)

一道中考模擬題的錯解分析 糾正和改編

山東省淄博市周村區(qū)王村中學(xué)鄭學(xué)濤(郵編：255300)山東省淄博市周村區(qū)第三中學(xué)李慶生(郵編：255300)

1 問題提出

1.1 題目呈現(xiàn)

圖1

1.2 選題背景

鑒于對近年來淄博市中考數(shù)學(xué)17題的難度感知，我區(qū)縣在命制畢業(yè)班中考模擬試題時特選取一些設(shè)計新穎，能夠體現(xiàn)出學(xué)生核心素養(yǎng)，對優(yōu)秀和良好的學(xué)生具有明顯區(qū)分度的題目，上題即是其中一例.

2 經(jīng)驗驅(qū)使 悄入誤區(qū)

圖2

3 知識溯源，破解迷局

在進行試題講解前的備課時，從整體上比較了一下幾種解法的優(yōu)劣，覺得上面的解法比較接近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，于是決定首先這種解法.但授課實際操作中，學(xué)生提出質(zhì)疑：本解法中O到C點的距離最小是根據(jù)那條數(shù)學(xué)定理或者基本事實？這使筆者陷入深思和溯源，初中階段設(shè)計線段最小值的題目有很多，但是幾乎無一例外用到這樣幾條數(shù)學(xué)定理或事實：(1)兩點之間線段最短；(2)直線外一點到直線上的所有點的線段中，垂線段最短；(3)三角形兩邊之和大于第三邊；(4)線段長度是某個自變量的函數(shù)，最小值是通過函數(shù)的極值求得.那么上面所述線段OC最小成立的依據(jù)是哪一條呢？通過觀察發(fā)現(xiàn)O是定點，但是O點所在的線段AD只是長度確定，位置并不確定，它會隨A、B位置的變化而變化，這與(2)中直線位置確定有明顯區(qū)別，且對于(2)，產(chǎn)生最小距離的直線上的點就是過直線外的那一點向直線作垂線之后的垂足，而本題未作垂直之前O點已赫然存在于線段AD上，在上課講解的過程中教師未經(jīng)深度思考就默認了依據(jù)(2)，這樣的觀點站不住腳的，那么接踵而至的問題還有如果依據(jù)不成立為什么還會解出正確結(jié)果？正確的解題方法和解題依據(jù)又是什么？上述解題方法能不能經(jīng)過修改成為正確的解答？

4 解決疑惑，突出重圍

圖3

首先可直接排除選擇(4)解決本題的可能，而要確定是依據(jù)(1)、(2)、(3)中的哪一個不妨研究一下這三個定理或事實的使用前提條件：對于(1)使用的前提是有兩定點存在，那么這兩定點之間的距離最小值，即是兩點之間線段的長度；而對于(2)當(dāng)直線外一點為定點，直線為定直線(定位置)才能利用此定理；對于(3)只有滿足兩線段長度固定，且第三條線段與前兩條線段恰好構(gòu)成三角形時才能使用，而構(gòu)成的三角形兩邊長度固定所有情況恰好也是三角形有兩個頂點的位置是固定的，第三點繞其中一個頂點作圓周運動如下圖3.上述解法中只確定了O是定點就選擇了依據(jù)(2)解決問題，是邏輯不嚴謹?shù)?至于會得到正確答案，是因為此法雖不能證明此時OC最短，但卻是OC最短時的精準圖形，這一點從通過其它方法解答的過程中得到驗證.因此只要在原解法上補充證明，就可以獲得本題一種完整的解法，經(jīng)過上述討論還可確定在補充證明的過程中無論是選擇那一條依據(jù)(除(4)外)，都要研究C點的位置.

5 完善解答 終得正果

圖4

6 借題發(fā)揮 一題一課

在上述完整的解法中，所利用的定理，方法雖都是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識和基本技能，但是由于本題的邏輯密度較大，轉(zhuǎn)折性強，“蘋果”位置太高，學(xué)生跳一跳夠不著或者夠著吃力，亦會體現(xiàn)不出題目的價值和功能，那么學(xué)生產(chǎn)生解題畏難情緒也是可以理解的.為讓題目貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，經(jīng)過我區(qū)數(shù)學(xué)老師的進一步商討，本題還可以有兩種改編方案，初步形成一個有效的一題一課的微專題：

6.1 引導(dǎo)學(xué)生利用手拉手旋轉(zhuǎn)相似解決本題，要把旋轉(zhuǎn)的路鋪好，在原題中加入利用旋轉(zhuǎn)相似解題時所用得到的三角形，便于解題思路的自然生產(chǎn)，于是題目變?yōu)椋?/p>

(1)求D、C之間的距離；

(2)求OC的最小值.

圖5

圖6

(2)求線段DF的最小值；

(3)求F點經(jīng)過的路徑的長.

圖7

7 反思解題 改善教學(xué)

高效課堂常見于課堂容量大，教師分析、講解高位切入、云端行走，把學(xué)生的質(zhì)疑、分析、修改、反思寄希望于課下或者同一節(jié)課輾轉(zhuǎn)題目之間時的時間縫隙，這樣的做法恰恰忽視了數(shù)學(xué)“邏輯關(guān)聯(lián)、前后一致”的本質(zhì).久而久之，學(xué)生的深層次的邏輯思維能力、邏輯嚴謹性沒有培養(yǎng)起來，解題總是停留在刻意模仿的階段(形式運算階段)，與“培養(yǎng)學(xué)生走上社會所需要的各種能力”的數(shù)學(xué)教育理念大相徑庭.通過研究以上變式題目，使筆者深深體會到欲通過一道“孤立”的難題培養(yǎng)學(xué)生的各方面的能力不可小覷，教師的引導(dǎo)要腳踏實地，一步一個腳印，幫助學(xué)生按照知識源、方法論與解題需求關(guān)聯(lián)性的遠近程度排列并串聯(lián)起來，方是題目解法的自然生成，也能夠體現(xiàn)題目在培育人的邏輯思維完善性、嚴謹性等方面的重要價值.此外，教學(xué)時可詳盡剖析各知識源的異同點和使用條件、特征與范圍，以提高學(xué)生的辨析與應(yīng)用能力[1].

總之，尊重教學(xué)規(guī)律、尊重學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實、尊重數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，步步為營、環(huán)環(huán)相扣才能夠釋放出解題的精彩，流露出切實的學(xué)生本位，讓學(xué)生獲得對于他生命成長有意義的東西.

1 劉華為.從教“怎樣做”到教“怎樣想”[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：中旬，2016(6):26-28

2017-04-13)