湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué) (郵編：435200)

函數(shù)極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的三種求解策略

湖北省陽(yáng)新縣高級(jí)中學(xué)鄒生書(shū)(郵編：435200)

極值點(diǎn)偏移問(wèn)題是高考和模擬考的一大熱點(diǎn)問(wèn)題，這類試題設(shè)問(wèn)新穎、綜合性強(qiáng)，難度較大.主要考查數(shù)學(xué)思想方法和運(yùn)算求解能力，考查推理論證能力以及分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，同時(shí)考查綜合素質(zhì)和數(shù)學(xué)素養(yǎng).下面先介紹極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的背景，然后通過(guò)典型試題介紹這類問(wèn)題的三種求解策略.

1 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的提出

2 極值點(diǎn)偏移問(wèn)題的求解策略

2.1 構(gòu)造對(duì)稱差函數(shù)策略

例1 (2010年高考天津卷理科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=xe-x(x∈R).

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(II)如果x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明x1+x2>2.

圖1

解(I)f′(x)=(1-x)e-x，當(dāng)x<1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減.所以函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-,1)，減區(qū)間為(1,+)，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)f(x)有極大值f(1)=，函數(shù)沒(méi)有極小值.

(II)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，則x1,x2是直線y=f(x1)與函數(shù)f(x)的圖象兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，不妨設(shè)x1

要證x1+x2>2，只要證x2>2-x1，又02-x1>1.由(I)知f(x)在x>1時(shí)遞減，故只要證f(x2)

構(gòu)造函數(shù)h(x)=f(x)-f(2-x)，又f(x)=xe-x(x∈R)，所以h(x)=xe-x-(2-x)ex-2，h′(x)=(1-x)(e-x-ex-2)，當(dāng)00，從而h(x)遞增，所以h(x)

故x1+x2>2.

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)證明：當(dāng)f(x1)=f(x2)(x1≠x2)時(shí)，求證x1+x2<0.

2.2 構(gòu)造增量函數(shù)策略

(1)構(gòu)造差值增量函數(shù)

例2 (2014年江蘇省南通市二模第20題)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax+a(a∈R)，其圖象與x軸交于A(x1,0),B(x2,0)兩點(diǎn)，且x1

設(shè)x2-x1=2t，則只要證當(dāng)t>0時(shí)，2tet0.設(shè)g(t)=e2t-2tet-1，則只要證當(dāng)t>0時(shí)，g(t)>0.因?yàn)間′(t)=2et(et-t-1)，設(shè)h(t)=et-t-1，則h′(t)=et-1，當(dāng)t>0時(shí)，h′(t)>0，所以h(t)遞增，所以h(t)>h(1)=0，所以g′(t)>0，所以g(t)遞增，所以g(t)>g(1)=0.

(2)構(gòu)造比值增量函數(shù)

例3 (2011年高考遼寧卷理科第21題改編)已知函數(shù)f(x)=lnx-ax2+(2-a)x.

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若函數(shù)f(x)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x0，證明：f′(x0)<0.

因?yàn)閒(x1)=0,f(x2)=0，所以

(1)試猜測(cè)L(a,b)，A(a,b)，G(a,b)這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系.(不需要證明)

(2)若函數(shù)g(x)=ex-ax+a存在兩個(gè)不同的零點(diǎn).x1,x2(x14,x1+x2>x1x2.

(2)由f(x)=ex-ax+a，得f′(x)=ex-a.若a≤0，則f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，其圖象與x軸至多有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意，所以a>0.

點(diǎn)評(píng)運(yùn)用對(duì)數(shù)平均不等式求解省去了構(gòu)造增量函數(shù)不等式的證明過(guò)程，因此解法顯得居高臨下.該解法的關(guān)鍵是必須把前期的準(zhǔn)備工作做好，公式中的a、b分別代表什么，是否都為正數(shù)？前期工作做得好才能靈活運(yùn)用對(duì)數(shù)不等式.練習(xí)4 (2017年蘇州一模第20題)已知函數(shù)f(x)=(lnx-k-1)x，若x1

2017-03-18)