彭思淳，鄧興升

(長沙理工大學 交通運輸工程學院,湖南 長沙 410114)

坐標轉換四參數解算的整體最小二乘新方法

彭思淳，鄧興升

(長沙理工大學 交通運輸工程學院,湖南 長沙 410114)

在平面四參數坐標轉換模型中，觀測向量和誤差方程系數矩陣中部分元素都存在誤差。提出一種使用整體最小二乘迭代法求解坐標轉換四參數的新方法，只改正系數矩陣中含誤差的元素，同時使系數矩陣中不同位置的相同元素具有相同改正數，理論上更嚴謹。設計了平面四參數模型坐標轉換實驗數據，通過與經典最小二乘、整體最小二乘、混合整體最小二乘3種方法結果對比，驗證了新方法的可行性且解算結果更優(yōu)。

平面四參數；坐標轉換；最小二乘； 整體最小二乘；混合整體最小二乘

平面四參數模型廣泛應用于地方獨立坐標系及工程施工控制網的建立，在測繪工程應用中，通常針對不同的平面坐標系進行相互轉換以滿足實際需要。坐標轉換的精度好壞直接影響到工程質量與安全，因此，選用合適的坐標轉換模型與算法非常重要[1]。常用的坐標轉換方法有四參數轉換、六參數轉換及二次曲面模型等[2]。當測區(qū)面積較小或工程區(qū)域不大、公共已知點數量較少的情況下，采用四參數坐標轉換便能達到理想的精度[3]。坐標系統(tǒng)轉換的實質是求解坐標系統(tǒng)轉換參數，采用經典最小二乘求解時，是將某一坐標系下的坐標視為真值，僅對另一坐標系下的坐標進行誤差改正。而實際上測量獲得的坐標成果均是有誤差的，此時，經典最小二乘的估計結果從統(tǒng)計學角度來看是有偏的而非最優(yōu)。因此，在坐標轉換參數求解過程中宜采用整體最小二乘方法[4-6]，同時考慮觀測向量和系數矩陣均含有誤差，即采用EIV模型[7-8]，在理論上才是合理的。整體最小二乘是一種考慮誤差方程系數項也含有誤差情形的平差準則，但在系數矩陣中，有部分系數是固定的常數，它們是不含誤差的，如果認為這些固定的常數也含有誤差，顯然是不合理的。針對系數矩陣中元素的多樣性，專家學者提出多種對應解決方法，如混合整體最小二乘或其改進方法[9-10]；使用特定的定權方法固定系數矩陣中無需修改的常數元素的加權整體最小二乘及其改進方法[11-12]；Xu等提出的基于Partial EIV模型的整體最小二乘算法[13]。本文提出一種使用整體最小二乘迭代法求解坐標轉換四參數的新方法，該方法只改正系數矩陣中含誤差的元素，同時使系數矩陣中不同位置的相同元素具有相同改正數。本文設計了模擬坐標數據，設計坐標在數值大小量級上相同，避免轉換時出現病態(tài)矩陣問題。設計模型參數真值已知，基于整體最小二乘平差準則求解平面四參數坐標轉換模型參數，并與經典最小二乘(LS)、一般整體最小二乘(TLS)、混合整體最小二乘(LS-TLS)的解算結果進行對比分析。

1 平面四參數模型解

1.1 最小二乘解

平面四參數模型又稱平面相似變換模型，基于兩個坐標偏移量、一個旋轉參數和一個尺度因子，模型如下[14]：

(1)

其中：(x1，y1)為源坐標，(x2，y2)為目標坐標，m為尺度參數，θ為旋轉角度參數，x0和y0為平移參數。令a=mcosθ，b=msinθ，則式(1)可寫為

(2)

其誤差方程為

(3)

(4)

1.2 一般整體最小二乘解

式(3)中，系數矩陣A含有源坐標數據，這些坐標是含有誤差的，但經典最小二乘僅考慮觀測值L的誤差，而認為系數矩陣A不含誤差。在實際工程應用中，兩個坐標系下測量得到的公共點坐標都是存在誤差的，需考慮系數矩陣和觀測值矩陣同時存在偶然誤差的情形。同時對系數矩陣和觀測值矩陣進行改正，采用整體最小二乘法，建立EIV模型

(A+EA)X=L+e.

(5)

其迭代解算步驟[15]為

1)設

(6)

(7)

1.3 混合整體最小二乘解

式(3)中，系數矩陣A既有帶誤差的源坐標數據，又有固定的常數項如0,1，認為系數矩陣A的元素全部含有誤差是不合理的，須把常數項排除在誤差項之外?？紤]部分系數矩陣含有誤差的情形，采用混合整體最小二乘法[15]。針對平面四參數坐標轉換問題，其迭代解算步驟為

1)設

(8)

(9)

2)設

(10)

3)則

(11)

(12)

1.4 整體最小二乘新方法

(13)

將其中有誤差的元素單獨提出來構成一個新的列向量Δ，同時將EIV模型式(5)改寫成下式[16]：

Δ.

(14)

ΔTPΔ=min s. t.L-AX-BΔ=0.

(15)

其中對角矩陣P∈R4i×4i為權陣，其主對角線元素依次為Δ中對應元素的權。利用式(15)構造拉格朗日方程為

Φ(Δ,X,λ)=ΔTPΔ+2λT(L-AX-BΔ).

(16)

對式(16)中3個未知參數分別進行求導，得到

(17)

式(17)中，矩陣B中的元素a，b即待求的4個未知參數之二，由一個尺度參數和一個旋轉角度參數構成，其初始值由式(4)求得；待求的改正數向量Δ中的元素是系數矩陣A和觀測向量L中元素對應的改正數。故要求得式(17)的穩(wěn)定解，首先需給矩陣B中的未知量賦初值，然后采用迭代法，其迭代解算步驟如下：

2)將B，P，A，L代入式(17)中，求得參數Δ和X的值。

3)將矩陣A和B加上Δ，X中對應的改正項，重復步驟2)，求得新的Δ和X的值。

4)重復步驟2)、步驟3)，直至相鄰兩次Δ和X的值之差小于一個閾值ε或迭代到指定的次數，迭代結束。

2 算例分析

由于在進行平面四參數轉換時，源坐標與目標坐標都認為是含有誤差的，采用工程實踐數據將不便于進行轉換結果與真值進行對比分析。因此，本實例采用設計參數與模擬數據進行解算試驗，4個參數的真值分別為：x0=500，y0=50；a=0.866，b=0.5。根據該四參數從源坐標轉換到目標坐標，然后在每個點的兩套坐標中均加入了小于5 cm的隨機誤差，坐標數據及其權如表1所示，其中序號1～12號點用來解算四參數，13～25號用來檢驗坐標轉換精度。

表1 公共點坐標觀測值 m

續(xù)表1 m

平面四參數模型4種方法的解算結果如表2所示。

表2 平面四參數解算結果

表2中，轉換坐標差異RMS表示轉換后的坐標與真值之間的差異均方差，參數差異RMS表示解算四參數與其真值之間差異均方差，兩者均以本文方法解結果相對較優(yōu)。本文方法考慮了系數矩陣A中部分觀測元素的誤差，且使不同位置的同一元素具有相同的改正值，理論上更嚴密。由表2可知，當觀測向量與系數矩陣同時存在誤差時，采用加權整體最小二乘法解算結果優(yōu)于一般最小二乘法，與文獻[17]結論一致。

3 結 論

平面坐標轉換是測繪工程中十分基礎的工作，傳統(tǒng)的最小二乘解算方法不考慮觀測向量和誤差方程中系數矩陣的有關坐標的誤差，因此在統(tǒng)計意義上是不嚴密的。本文提出一種只對系數矩陣中含誤差的元素進行改正的整體最小二乘新方法，考慮了系統(tǒng)矩陣誤差及觀測向量誤差，同時使系數矩陣中不同位置的相同元素具有相同改正數。模擬實例表明，該方法可行可靠，相比經典最小二乘、整體最小二乘、混合整體最小二乘具有一定的優(yōu)越性。

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[責任編輯：劉文霞]

A new method of total least squares algorithm for the plane four parameters coordinate transformation

PENG Sichun, DENG Xingsheng

(School of Traffic and Transportation Engineering, Changsha University of Science & Technology, Changsha 410114，China)

In plane four parameters coordinate transformation model, both observation vector and part of the error equation coefficient matrix elements can have errors. To solve this problem, this paper proposes a new method to obtain the plane four parameters coordinate transformation using an iterative method of total least squares. The method only corrects the errors elements in the coefficient matrix. At the same time, it adjusts the same elements in different positions of coefficient matrix to the same correction. The experimental data is designed using the new method to solve the plane four parameter coordinate transformation model. By comparing with the results of three methods of classical least squares, total least squares and mixed LS-TLS, the feasibility of new method is proved and the accuracy of this new method is higher than others.

plane four parameters; coordinate transformation; classical least square; total least square; mixed total least square

2016-11-16

湖南省研究生科研創(chuàng)新資助項目(CX2016B395)；公路地質災變預警空間信息技術湖南省工程實驗室科研資助項目(kfj150602)

彭思淳(1993-), 女, 碩士研究生.

著錄：彭思淳，鄧興升.坐標轉換四參數解算的整體最小二乘新方法[J].測繪工程，2017，26(9)：10-13，22.

10.19349/j.cnki.issn1006-7949.2017.09.003

P207

A

1006-7949(2017)09-0010-04