徐映+鄭惠慶

人教版《數學》教材十分注重對學生學習能力的培養(yǎng)，編者介紹了許多解決數學問題的輔助手段，而畫圖則是其中十分重要的一種。在三年級上冊《解決問題》的兩個例題中，教材引導學生由示意圖過渡到線段圖輔助解題，但第二個例題中線段圖的繪制和使用卻顯得有些“雞肋”。實際教學調查顯示，很多學生不采用圖示分析也能順利解答歸總問題，線段圖似乎成了教學中可有可無的部分。于是在教學中就面臨“圖示教學有什么重要作用”“圖示教學為解決問題提供了什么幫助”等問題的探討。

那么，線段圖在《解決問題》教學中究竟有沒有作用呢？筆者以《解決問題》一課的例題二教學為例，談談自己的思考。

一、借助線段圖預測結果，可以更好地培養(yǎng)學生的數感

課文中的例題內容如下：媽媽的錢買6元一個的碗，正好可以買6個。買9元一個的碗可以買幾個？在畫圖時，學生為了確保線段圖表示題意的準確性，需要對線段的畫法與長短做出判斷，而這個判斷的過程正是對學生數感的培養(yǎng)過程。學生在畫出一條線段表示碗的總價錢后，需要將線段平均分成6份表示每個碗的價格。有的學生選擇將線段總長畫為6厘米，平均分成6份，每份1厘米。有的學生根據數的特征發(fā)現：如果教師在黑板上畫60厘米也很容易平均分成6份。以此類推，學生們觸類旁通想到了54厘米、48厘米等等，更清晰了數量之間的關系，也進一步培養(yǎng)了數感，對于6的倍數有了更清楚的認識。還有的學生想到了將線段先平均分成2份，再把每份平均分成三份，這是對數“6”的進一步剖析。

之后，學生需要畫一條線段表示9元。學生想到“表示9元的線段應該比表示6元的線段長一些”。此時，教師順勢提出“應長多少”的問題，以培養(yǎng)學生的數感。學生在思考的過程中需認真分析9和6的關系，“9比6多3，而3又正好是6的一半，所以應該比表示6的線段長它的一半”。學生以數促圖，又以圖明數，加深了對于9就是一個半6的理解，線段圖畫出后又促進了數感的形成。

線段圖畫出后，學生即可對答案進行初步感知，并預測到答案的范圍。學生推測“9元一個的碗所買個數一定比6元一個的碗要少”，有的學生結合線段圖還能清晰地說出自己的推理過程：“如果9元一個的碗買6個，每個都比6元貴，線段總長就會變長，總價變多，而題目要求總錢數不變，所以不可能買6個，更不可能比6個多了?！边@樣的猜測在線段圖上可以很直觀地觀察出來。

在畫圖、看圖、預測等活動中，學生經過細致觀察與分析，數感得到了進一步提高。學生學會了根據數據的倍數關系選擇線段總長及平均分的方法，學會了根據數據大小及倍數關系的特點正確截取線段長度，學會了根據線段圖對可能結果進行猜測。培養(yǎng)數感是一個龐大而不易的工程，借助線段圖培養(yǎng)數感是一種很有效的途徑。

二、借助線段圖，學生敘述題意、解析每一步算式的意義時，思維表達更有序、更清晰

學生在分析數量關系和解決問題表達思路時，可借助線段圖。數形結合可幫助學生理清思路，降低表達難度。用線段圖的輔助，學生的思維表達更有序、更清晰。

歸總問題題意的理解、關鍵隱藏信息的尋找及數量關系的正、逆向運用對于學生的思維要求很高。部分學生會附和他人，卻不是真正理解意義。這部分學生能列出算式，是因為就學生現階段掌握的知識來說，算式和計算的合理性會給他一定的提示，但對每個算式的含義理解卻并不透徹。有的學生說出了自己的理解，可是若有錯誤想要糾正卻苦于沒有載體而無法說清，而線段圖的出現消除了這些困擾。

借助線段圖，學生將能更好地表述題意，也能讓聽者更清楚敘述者的意思，兩者之間有了一個溝通的橋梁。借助線段圖，每一步的意義看得見也摸得著。描述題意的學生講哪里指哪里，突出自己要表達的重點。線段圖中，上下兩條線段清楚地展現了總價錢相同前提下的兩種不同購買情況，“總錢數不變”在線段圖中顯得十分清晰和突出。學生在敘述“6×6求得的是什么”時在圖中能找到“6×6”這個算式及積的意義，可以感受到“單價×數量=總價”的數量關系，同時也能找到“6×6”的積所表示的“總價錢36元”不僅在第一條線段里有，在第二條線段中也有。接下來，借助線段圖對“36÷9”的意義敘述則讓學生感受到了“單價×數量=總價”的逆向運用。對學生來說，這樣具體的載體無疑是一個很好的幫手，學生們的表述不再那么的艱澀。

在這樣一個過程中，學生的思路被圖引導著慢慢理清。在“先求什么，再求什么”的討論中，有的學生是從信息入手思考問題，有的則是從所要解決的問題入手思考，而這兩種情況借助線段圖表述時指向是正好相反的，一種是從第一條線段說起順藤摸瓜，一種是從第二條線段說起追根溯源。借助線段圖把分析法和綜合法這兩種思考方式及其逆向性具體形象地呈現了出來，這對學生來說比用文字敘述更能讓人接受。

三、借助線段圖，可以更好地訓練學生的逆向思維，檢驗問題答案

結果的檢驗對于學生來說是逆向思維，難度較大，學生們對于檢驗總是缺乏耐心，對其作用理解得也不夠深刻。有了線段圖的幫助，可清晰展現檢驗的逆向思維過程，對于各個思維層次的學生來說應該都有所收獲。

本課將檢驗過程的起因設置為，媽媽得到求出的答案后進行反思：“真的可以買4個嗎？”這體現了檢驗的邏輯價值，激發(fā)學生想盡辦法想向“媽媽”證明我們解答的正確性。檢驗的方法很多種，教師將其中的兩種通過課件用線段圖的形式展現，幫助學生把自己的想法在線段圖上用不同的方法表達出來，清晰而又明了。

學生們想到，“6元一個的碗買6個要花36元，9元一個的碗買4個正好也是36元。總價錢不變所以答案是正確的。”這種方法是借助還原隱藏信息“總價錢不變”來檢驗的。學生們也想到了：“9元一個的碗買4個共36元，而這36元用來買6元一個的碗正好可以買6個。所以答案是正確的?！碑攲W生恢復出6個6元時，這題的檢驗過程也順利完成了。

這兩種檢驗方法選擇了題目原有的不同信息進行還原，是對原題的一次逆向思維。使用動畫手段在線段圖中進行展示，可以對逆向思維有一次感性認識，這勝過教師的千句萬句。

四、借助線段圖，可更清楚地觀察數量間的關系，展現數學思想

數量關系是數學學習的核心內容，數學思想是數學學習的靈魂。本課例中清晰地展現了“當總錢數不變時，單價越低數量越多”的函數關系，“變與不變”“變化是因不變而生”的數學現象及“守恒”的數學思想，并將之形象、生動地留在了學生的腦海之中，而線段圖在其中起到了不可替代的作用。

“超市里的碗絕不止這兩種，媽媽心里的盤算也不止這兩條”，教師以“碗的價格在不停地變化，碗的數量也在變化。變化中有沒有什么規(guī)律呢？”引導學生進行觀察，添補上線段圖的縱向維度。對比中學生不難發(fā)現：“每一份越來越短，份數就越來越多?！薄巴氲膯蝺r越來越貴，買的數量越來越少?！?/p>

接著，教師又以“變化中有沒有什么是不變的呢”引導學生進一步深入觀察。學生發(fā)現總錢數是不變的。教師適時提出“只有當我們的總錢數不變時，才是每一份越少，買得就越多！每一份越多，買得就越少！”這樣一句蘊含函數思想的話語，對于學生來說聽到時感覺到很有規(guī)律、韻味十足，可是其中反比例的關系，能理解多少呢？不得而知。教師在此再次使用線段圖，展現這樣一個反比例的函數關系，十分清晰，一看便知。而這其中“變化中的不變”呼之欲出！

教師引導學生思考“一開始沒有誰告訴我們總錢數”，讓學生發(fā)現總價錢是利用變化中的單價與數量求得的。最后以一句耳熟能詳、簡單而又含義豐富的“變化中求不變，以不變應萬變”總結歸總問題的解答方法與思想精髓，這其實就是守恒思想的體現與應用。其實，學生在總觀這些線段后就不難發(fā)現，“無論選用哪一條線段圖上的信息作為已知信息，都可以求出總價錢，從而求出另一種情況下的數量?！?/p>

可見，線段圖在本課教學中并非雞肋，也并非僅在分析數量關系時有用，線段圖的使用可以貫穿整節(jié)課，并對整節(jié)課的知識架構有很好的輔助作用。

經過課前思考、課中實踐與課后反思，筆者更加堅定了自己的想法。線段圖在解決問題中的作用十分廣泛，其意義遠遠超越了學畫圖、解題意，它在培養(yǎng)學生的觀察、思考、分析能力方面都有不可替代的作用，是學生理解數學思想的拐杖，是學生借以表達的良師益友，是培養(yǎng)學生數感的絕佳途徑。在解決問題的教學中用好線段圖對于培養(yǎng)學生的數學核心素養(yǎng)有著不可估量的作用！

（作者單位：徐映，武漢市育才可立小學；鄭惠慶，武漢市江岸區(qū)小學教研室）