河南省新蔡縣第一高級中學(xué) (463500) 李居之

柯西不等式的多角度探索

河南省新蔡縣第一高級中學(xué) (463500) 李居之

柯西不等式作為高中數(shù)學(xué)選修模塊的內(nèi)容，在解答一些不等式問題時(shí)，起到了舉足輕重的作用.本文就從柯西不等式的角度去審視一些最值問題，供教師教學(xué)參考，加深學(xué)生對柯西不等式的理解.

例1 若等差數(shù)列{an}滿足a21+a23=2，則a3+a4+a5的最大值為 .

這里給出兩種解法.設(shè)此等差數(shù)列{an}的公差為d.

聯(lián)想等差中項(xiàng)的性質(zhì)，注意到3a3-a1=a3+2a3-a1=a3+a1+a5-a1=2a4，于是，又得到了一種更簡易的解法.

上式兩種解法都利用到了柯西不等式，且法二更令人耐人尋味，值得細(xì)細(xì)揣摩，是一道不可多得的好題.

此題原法是數(shù)形結(jié)合找切線的斜率，但注意到(x1-x2)2+(y1-y2)2這種形式與柯西不等式類似，經(jīng)過探究給出了新法.

此題的解法很多，但都需數(shù)形結(jié)合.基于柯西不等式將其化為代數(shù)問題，這種思路雖然一時(shí)難以想象，但更能加深學(xué)生對柯西不等式的理解，不失為一種好方法.

例4 設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，若4x2+y2+xy=1，則2x+y的最小值為 .

例5 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)到直線3x-4y-10=0與x=3的距離分別為d1、d2，若點(diǎn)P在單位圓x2+y2=1上運(yùn)動，則5d1-d2的最大值為 .

解：因5d1-d2=|3x0-4y0-10|-|x0-3|≤

通過絕對值不等式的性質(zhì)，再利用柯西不等式，降低了此題的難度；不過這需要判斷兩絕對值式子的符號，本文直接略去，讀者可去嘗試判斷正負(fù)號，受到其中的啟發(fā).

此題是江蘇的一道競賽題，其解法較多，利用對稱性x=y是本題的最優(yōu)解法，但通過柯西不等式將x+y的值逼近出來，可能是試題的命題意向.

華羅庚說：“新的數(shù)學(xué)方法和概念常常比解決問題本身更重要.”運(yùn)用柯西不等式需要一定的技巧性，不難掌握，容易理解，在解題過程中，是比較實(shí)用的方法.