浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)龍賽中學(xué) (315200) 梅 潔

一道高考試題的解法分析與命制背景
——2016年天津市高考數(shù)學(xué)理科第20題

浙江省寧波市鎮(zhèn)海區(qū)龍賽中學(xué) (315200) 梅 潔

1 試題呈現(xiàn)

已知函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b，x∈R，其中a,b∈R.

(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若f(x)存在極值點(diǎn)x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求證x1+2x0=3；

2 試題簡(jiǎn)評(píng)

本試題表述嚴(yán)謹(jǐn)，樸實(shí)無華，解法靈活.題目3個(gè)小問，呈現(xiàn)平和自然，問題與問題之間相互聯(lián)系，層層遞進(jìn)，易于激發(fā)學(xué)生解決問題的興趣.作為一道壓軸題，以三次函數(shù)為背景,主要考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)(單調(diào)性、極值、最值)與證明不等式中的應(yīng)用，充分考查學(xué)生推理論證能力和數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想.第Ⅰ問屬于學(xué)生較熟悉的題型，考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系、考查分類討論的數(shù)學(xué)思想.第Ⅱ問考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值之間的關(guān)系以及考查三次方程的根與系數(shù)之間的關(guān)系.第Ⅲ小題是一個(gè)證明題，解決三次函數(shù)的最大值的最小化問題，此問題的實(shí)質(zhì)是函數(shù)的逼近問題，是第一類切比雪夫多項(xiàng)式的一種特殊情況，該問題是近幾年高考、聯(lián)賽中的熱門問題，其背景深厚，內(nèi)涵豐富，要求具有較強(qiáng)的運(yùn)算能力，靈活的轉(zhuǎn)化與化歸思想.總體上，試題設(shè)計(jì)立意鮮明，角度寬，視點(diǎn)多，充分體現(xiàn)了“以能力立意為指導(dǎo)，考查能力和素質(zhì)”的命題原則.

3 試題解析

3.1 第(Ⅰ)小題的分析與解答

第Ⅰ問求原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)分布問題，可采用分類討論，也可采用參數(shù)分離，這2種方法是解決函數(shù)單調(diào)性問題的通性通法.本題采用分類討論來處理較為妥當(dāng).

評(píng)注：由于方程f′(x)=0是否有解與a的正負(fù)性有關(guān)，因此在解答中對(duì)a的正負(fù)性作為分界點(diǎn)討論.分類討論是導(dǎo)數(shù)壓軸題中常見的數(shù)學(xué)思想，處理該類問題首先要理清為何要討論，其次確定討論標(biāo)準(zhǔn)，要求做到不重不漏，這些都是分類討論的關(guān)鍵.

3.2 第(Ⅱ)小題的分析與解答

第(Ⅱ)小題證明一個(gè)恒等式，實(shí)質(zhì)是證明三次方程根與實(shí)數(shù)的關(guān)系，處理該類問題一般可以從三個(gè)角度去考慮：1、函數(shù)角度，2、方程角度，3、作差比較.學(xué)生只需要一定的運(yùn)算能力和分析能力，能夠較快地分析出解題的思路，從而有較好的入手點(diǎn)

評(píng)注：先驗(yàn)證f(3-2x0)=f(x0)，再說明f(x)=f(x0)的根有且只有兩個(gè)不同的根，從而得到x1=3-2x0，使問題得到順利解決.

解法2:(方程角度)令f(x1)=f(x0)=c，則x0,x1是方程f(x)-c=0的兩個(gè)不等實(shí)根；又因?yàn)閤0是f(x)的極值點(diǎn)，所以x0即是g(x)=f(x)-c的零點(diǎn)也是極值點(diǎn)；所以x0是方程f(x)-c=0的二重根.又因?yàn)閒(x)-c=0，即x3-3x2+(3-a)x-1-b-c=0;由三次函數(shù)的韋達(dá)定理知x0+x0+x1=3，即2x0+x1=3得證.

評(píng)注：先分析x0是方程g(x)=0的二重根，x1是方程g(x)=0的一重根；從而就很容易想到2x0+x1為三根之和，故采用韋達(dá)定理易證.

解法3:(做差比較)因?yàn)閒(x1)=f(x0)，則f(x1)-f(x0)=0，代入函數(shù)表達(dá)式，得(x1-x0)[(x1-1)2+(x0-1)2+(x0-1)(x1-1)-a]=0(1);又由解法1知a=3(x0-1)2，則等式(1)可化簡(jiǎn)為(x1-x0)2[2x0+x1-3]=0；又因?yàn)閤1≠x0，所以2x0+x1=3.

評(píng)注：因?yàn)閒(x)為多項(xiàng)式函數(shù)，且函數(shù)值f(x1)=f(x0)，采用作差比較，通過代數(shù)恒等變形，轉(zhuǎn)化為自變量之間的恒等關(guān)系也是一種比較常用的方法，考查代數(shù)恒等變形的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

3.3 第(Ⅲ)小題的分析與解答

第(Ⅲ)小題證明一個(gè)含絕對(duì)值的多元不等式，實(shí)質(zhì)上是一個(gè)函數(shù)逼近問題，是第一類切比雪夫多項(xiàng)式n=3時(shí)的情況，具有深厚的高等數(shù)學(xué)背景，解決這類問題常采用的方法：1、分類討論，2、賦值法，3、數(shù)形結(jié)合.本問題的解決需要學(xué)生較高的綜合分析能力，較強(qiáng)的代數(shù)運(yùn)算能力，能巧妙利用對(duì)稱思想的能力.

解法1:(分類討論)設(shè)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為M，max{x,y}表示x,y兩數(shù)中的最大值.根據(jù)f(x)在[0,2]上單調(diào)性的不同情況分三種情況進(jìn)行分類討論：

評(píng)注：求f(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值，先考慮函數(shù)在區(qū)間[0,2]上的單調(diào)性與a是否大于3有關(guān)，因此在解答中對(duì)a=3作為分界點(diǎn)討論.再通過比較端點(diǎn)函數(shù)值與極值之間的大小關(guān)系進(jìn)行討論.

解法2:(賦值法)設(shè)g(x)在區(qū)間[0,2]上的最大值為M，max{x,y}表示x,y兩數(shù)中的最大值.

由(1)和(2)知

更一般性的結(jié)論：

這可能是這個(gè)問題的出題背景吧.

下面再?gòu)膸缀谓嵌葋砜纯催@個(gè)問題

幾何解釋:原問題等價(jià)于在區(qū)間[0,2]上，存在a>0，b∈R，使得g(x)≤M恒成立，求M的最小值. 因?yàn)閨(x-1)3-ax-b|≤M，即ax+b-M≤(x-1)3≤ax+b+M.原問題又可以轉(zhuǎn)化為在區(qū)間[0,2]上，存在a>0，b∈R,y=(x-1)3的圖像“夾在”兩條平行直線l1:y=ax+b-M與l2:y=ax+b+M之間.求l1,l2兩條直線縱截距之差的絕對(duì)值的最小值.

圖1

4 教學(xué)啟示

教師在日常的教學(xué)中在保證基礎(chǔ)知識(shí)，基本技能落實(shí)好的前提下加強(qiáng)各種數(shù)學(xué)思想方法的滲透，如數(shù)形結(jié)合、分類討論，轉(zhuǎn)化化歸等思想，同時(shí)還要在平時(shí)教學(xué)中滲透高等數(shù)學(xué)中的思想、觀點(diǎn)、方法，加大初等知識(shí)和高等知識(shí)交叉點(diǎn)的研究與學(xué)習(xí)，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu).只有學(xué)生學(xué)會(huì)了思考和研究的方法，掌握了基本的數(shù)學(xué)思想，能像數(shù)學(xué)家一樣去思考問題，成績(jī)水平才能真正提高.

同時(shí)教師還應(yīng)在平時(shí)加強(qiáng)高考試題研究，由于高考命題具有連續(xù)性，因此加強(qiáng)高考試題的研究，有助于把握高考試題的發(fā)展方向，尤其是研究高考中最能體現(xiàn)題目本質(zhì)特征的解法，理解試題的命制背景和特點(diǎn)，才能發(fā)揮它在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的導(dǎo)向作用.本題的背景在前幾年的各省高考試題及數(shù)學(xué)聯(lián)賽中多次出現(xiàn)，比如2009年湖北高考理科數(shù)學(xué)第21題，2010年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽第9題，2015年1月浙江省學(xué)業(yè)水平考試第34題.如果在平時(shí)教學(xué)中，能夠引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)學(xué)問題背后的內(nèi)容，往往可以捕捉到高考命題的一絲線索.

[1]沈虎躍.一道競(jìng)賽試題的解法分析與命題背景[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2009(10)：34-36.

[2]佩捷，林常.切比雪夫逼近問題[M].哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2013:1-10.

[3]楊瑞強(qiáng).青山不言自用翠——2016年全國(guó)課標(biāo)Ⅰ卷理科第21題[J].中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(10):35-37.