福建省泉州市第七中學 (362000) 吳寶樹

一道離心率試題的命制與分析*

福建省泉州市第七中學 (362000) 吳寶樹

在全國統(tǒng)一命題背景及新課程改革背景下，做好高三復習工作的一個重要環(huán)節(jié)就是命題工作.在認真研讀全國卷考試大綱和考試說明的基礎上，領(lǐng)會新課程改革對核心素養(yǎng)的要求，命制出有質(zhì)量的試題，將會對考生的復習迎考起到很好的幫助.在本校的一次高三月考命題中，本人負責命制解析幾何部分的試題，本文選取其中一道試題，分析試題的來源、命制過程及試題功能.

1 試題呈現(xiàn)

2 考查目標

本題考查了橢圓的離心率問題、等比數(shù)列通項公式、三角形邊角關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性問題以及解不等式問題，綜合運用了函數(shù)與方程的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想，考查了學生的轉(zhuǎn)化意識、數(shù)學語言互譯能力及發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力.

3 命制過程

3.1 試題來源

教材人教A版選修1-1第33頁，給出橢圓焦點三角形圖形: 橢圓的兩個焦點F1,F2與橢圓上任意一點P組成的三角形.

3.2 命制與改編

方案一 去繁就簡

2008年這道聯(lián)賽一試試題的核心問題是利用三角形兩邊之和大于第三邊構(gòu)造不等式，從而求得公比的范圍.據(jù)此，可以得到如下題目：

題1 已知ΔABC的三邊a,b,c成公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍.

方案二 改變背景

引入橢圓焦點三角形作為背景，將方案一中的三角形放在橢圓中，取橢圓的焦點三角形作為背景，在焦點三角形中，除了利用兩邊之和大于第三邊構(gòu)造不等式外，還要關(guān)注橢圓的焦半徑a-c≤|PF|≤a+c這一隱含條件，題目的難度遞進了一步.據(jù)此，可將題目改進如下：

題2 已知橢圓上存在一點P，F(xiàn)1,F2為左右焦點，若ΔPF1F2的三邊|PF1|,|F1F2|,|PF2|成公比為q的等比數(shù)列，求q的取值范圍.

方案三 改變設問

圓錐曲線離心率問題是考試的熱點，也是難點問題，將最后設問與圓錐曲線離心率結(jié)合在一起，緊扣考試熱點，同時也豐富了解法，拓寬了解題思路. 據(jù)此，可以得到如下題目：

方案四 問題完善

在方案三的問題中，需要對|PF1|,|F1F2|,|PF2|的大小關(guān)系進行討論，即分公比大于1或公比小于1兩種情況，解題過程完全一致，顯得比較繁瑣.因此，可以適當降低試題的難度，最后成題的時候規(guī)定了|PF1|,|F1F2|,|PF2|的大小關(guān)系，既達到了考察目的，解題過程又不會顯得過于繁瑣. 據(jù)此，可以得到如下題目：

4 解題思路

本題題干簡潔，易于學生快速把握題目的意思，從試題條件可以提取出如下信息：1、ΔPF1F2為焦點三角形；2、三角形的三邊|PF1|,|F1F2|,|PF2|成公比大于1的等比數(shù)列.設問為求橢圓的離心率范圍，需要根據(jù)條件構(gòu)造不等式，并求出不等式的范圍.解決此類問題經(jīng)常用到定義法、函數(shù)單調(diào)性法、導數(shù)法、換元法、配方法、不等式法、數(shù)形結(jié)合法等解題方法，是高考中常見的題型.

解決本題有以下兩種思路：

思路一：利用三角形兩邊之和大于第三邊，構(gòu)造不等式，運用函數(shù)與方程的思想轉(zhuǎn)化為雙勾函數(shù)處理求解.

思路二：由已知條件直接解出焦半徑|PF1|，|PF2|，利用三角形兩邊之和大于三邊，同時結(jié)合橢圓焦半徑的范圍構(gòu)造不等式.

5 試題詳解

6 試題評價

本題屬中檔題，學生需要準確把握題目的意思，利用圖形的直觀特征，通過建模的思想，建立解決問題的模型，在模型的求解過程中，需要綜合運用多種手段，才可得到正確答案.

這道試題充分體現(xiàn)了一道好的試題的功能和作用，充分考察了學生把握信息的能力和綜合解決問題的能力.通過對一道聯(lián)賽試題的變式和改造，充分地暴露了試題的生成過程和命制過程，充分發(fā)揮了直觀想象，將建模的意識和數(shù)學學科的核心素養(yǎng)充分地融入到試題當中. 該試題一方面利用幾何直觀想象巧構(gòu)數(shù)學函數(shù)問題，另一方面又把數(shù)學函數(shù)問題通過合理處理轉(zhuǎn)化為幾何直觀圖像想象問題，揭示了問題的本質(zhì).幾何直觀為高中數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一，本題充分發(fā)掘圖像的性質(zhì)，利用三角形的邊角關(guān)系以及橢圓的焦半徑，構(gòu)造不等式，求出橢圓離心率范圍.從圖形的直觀特征出發(fā)，運用函數(shù)與方程的思想，求解出不等式的范圍.直觀解決問題教學這種重要手段，是探索和形成論證思路的思維根本.通過幾何直觀構(gòu)造論證求解，揭示函數(shù)本質(zhì)，體現(xiàn)思維自然規(guī)律.

[1]吳寶樹.一道質(zhì)檢試題命題思路的剖析[J].中學數(shù)學研究(江西),2016(3):10-12.

[2]黃永生,楊丹.一道試題的解法思考與改編[J].福建中學數(shù)學.2015(10):14-15.

*本文為福建省教育科學“十三五”規(guī)劃2016年度課題《基于全國Ⅰ卷函數(shù)與導數(shù)的考察研究》(課題編號：FJJKXB-314)的研究成果；也為福建省普教室2016年度課題《優(yōu)化設計實踐性作業(yè)，提高學生數(shù)學建模素養(yǎng)策略研究》(MJYKT2016-211)研究成果.