羅夢(mèng)維

【摘 要】本文介紹了微分代數(shù)方程的概念與特點(diǎn)，發(fā)展現(xiàn)狀與應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上重點(diǎn)論述了微分代數(shù)方程在電路理論中的應(yīng)用，然后在微分方程的擴(kuò)展領(lǐng)領(lǐng)域，電力系統(tǒng)研究領(lǐng)域、光學(xué)研究領(lǐng)域、生態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域的應(yīng)用進(jìn)行了簡(jiǎn)要說(shuō)明。

【關(guān)鍵詞】微分代數(shù)方程；發(fā)展現(xiàn)狀；實(shí)際應(yīng)用；電路理論

1 微分代數(shù)方程的概念與特點(diǎn)

微分代數(shù)方程指的是微分方程和代數(shù)方程的組合，可用于表示滿足方程表達(dá)式的系統(tǒng)，因此也通常被稱作微分代數(shù)系統(tǒng)，微分代數(shù)方程是微分系統(tǒng)對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)進(jìn)行描述的推廣和延伸。

采用數(shù)學(xué)理論對(duì)某現(xiàn)實(shí)運(yùn)動(dòng)進(jìn)行精確描述時(shí)，不僅需要考慮該運(yùn)動(dòng)所遵循的動(dòng)力學(xué)方程，而且需要考慮運(yùn)動(dòng)過(guò)程條件限制。通常情況下，運(yùn)動(dòng)所遵循的動(dòng)力學(xué)方程采用微分方程表示，運(yùn)動(dòng)過(guò)程條件限制采用代數(shù)方程表示。因此，可以認(rèn)為微分代數(shù)方程是精確刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)運(yùn)動(dòng)的重要工具。

2 微分代數(shù)方程的發(fā)展現(xiàn)狀

雖然微分代數(shù)方程的概念在20世紀(jì)70年代初期才首次提出，但是在此之前，微分代數(shù)方程已經(jīng)廣泛應(yīng)用于科學(xué)與工程技術(shù)領(lǐng)域，得到越來(lái)越多的科研機(jī)構(gòu)與研究人員的關(guān)注。初始階段，對(duì)于微分代數(shù)方程的研究主要集中在數(shù)值計(jì)算方面，將其作為處理復(fù)雜系統(tǒng)的工具，在多個(gè)學(xué)科領(lǐng)域得到了廣泛應(yīng)用。然而，微分代數(shù)方程的特性決定了研究人員難以利用處理正常系統(tǒng)的工具和方法對(duì)其展開(kāi)研究工作，因此，雖然針對(duì)微分代數(shù)方程的理論有所發(fā)展，但是相關(guān)研究成果仍然較少。

Venkatasubramanian等人基于傳統(tǒng)數(shù)學(xué)理論對(duì)微分代數(shù)方程的局部分支問(wèn)題進(jìn)行了探討研究，并將研究成果成功應(yīng)用于電力系統(tǒng)穩(wěn)定性分析，證明了研究成果對(duì)于劃定系統(tǒng)穩(wěn)定平衡點(diǎn)吸引域范圍的有效性；Reich基于傳統(tǒng)微積分理論對(duì)微分代數(shù)方程的局部結(jié)構(gòu)理論中相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行了探討研究，采用微積分理論研究系統(tǒng)的空間幾何特性；陳伯山等人對(duì)微分代數(shù)方程進(jìn)行了歸類，將其劃歸為受限微分方程，基于傳統(tǒng)控制學(xué)理論對(duì)該類方程的狀態(tài)空間形式進(jìn)行了探討研究，研究成果可用于系統(tǒng)線性化及Hopf分支理論的改進(jìn)和完善，也對(duì)系統(tǒng)解耦問(wèn)題進(jìn)行了分析，得到了系統(tǒng)反饋控制所需條件及相關(guān)結(jié)果。

微分代數(shù)方程的研究課題之一即平凡解在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性問(wèn)題，與一般微分方程類似，李雅普諾夫第二方法是判斷系統(tǒng)平凡解穩(wěn)定性的常用方法。Hill在開(kāi)展有關(guān)電力系統(tǒng)暫態(tài)穩(wěn)定性的研究時(shí)，對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行了探討，雖然得到了部分研究成果，但由于微分代數(shù)方程的特殊性，較難將其應(yīng)用于一般系統(tǒng)中，因此應(yīng)用價(jià)值較低。

到目前為止，由于微分代數(shù)方程的復(fù)雜性，針對(duì)微分代數(shù)方程所開(kāi)展的研究工作，或者對(duì)其進(jìn)行局部常微分化，進(jìn)而開(kāi)展平行于常微分方程的理論研究；或者針對(duì)系統(tǒng)的特定形式，推廣系統(tǒng)穩(wěn)定性概念，進(jìn)而研究各種特定形式下的系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題。

3 微分代數(shù)方程在電路理論中的應(yīng)用

作為電路理論中的重要分支，電路分析的目的是計(jì)算給定電路模型中部分支路的電流與部分節(jié)點(diǎn)的電壓，而電路模型所包括的信息有電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、電路元件值、激勵(lì)源變化形式等。電路分析遵循基爾霍夫定律，主要分為穩(wěn)態(tài)分析和暫態(tài)分析。在實(shí)際電路分析中，經(jīng)常會(huì)用到不同的微分代數(shù)方程，微分代數(shù)方程的復(fù)雜程度能夠在一定程度上反映實(shí)際電路模型分析的難易程度。

一階動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析或者二階動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析，依據(jù)電路約束條件可以建立系統(tǒng)換路后以所求變量為未知量的微分方程，再結(jié)合由初始條件轉(zhuǎn)換得到的代數(shù)方程，構(gòu)成微分代數(shù)方程。對(duì)于一般的RLC低階動(dòng)態(tài)電路，微分方程與代數(shù)方程的數(shù)量較少，可以利用基本的數(shù)學(xué)理論和電路理論進(jìn)行求解計(jì)算。

高階動(dòng)態(tài)電路的時(shí)域分析，建立微分方程與代數(shù)方程存在困難，因此高階動(dòng)態(tài)電路對(duì)應(yīng)的高階微分代數(shù)方程通常利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行建立和求解，需要提供電路模型中各元件的連接關(guān)系、類型、參數(shù)以及支路關(guān)聯(lián)參考方向等信息即可獲取電路的計(jì)算結(jié)果，方便快捷。

4 微分代數(shù)方程的擴(kuò)展應(yīng)用

在電力系統(tǒng)研究領(lǐng)域，可以利用李雅普諾夫函數(shù)方法求解有關(guān)微分代數(shù)方程所代表的混雜系統(tǒng)穩(wěn)定性問(wèn)題，為電力系統(tǒng)的分析研究提供全新的工具與方法。

在光學(xué)研究領(lǐng)域，微分代數(shù)方程與計(jì)算機(jī)技術(shù)結(jié)合可以求解得到函數(shù)任意階導(dǎo)數(shù)，在帶電粒子光學(xué)有關(guān)軌跡跟蹤、靈敏度分析、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等方面具有廣闊的應(yīng)用前景。

在生態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)研究領(lǐng)域，原有的經(jīng)濟(jì)學(xué)理論模型與微分代數(shù)方程結(jié)合建立生態(tài)經(jīng)濟(jì)學(xué)微分代數(shù)系統(tǒng)，可以用于研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性及分支問(wèn)題等，以獲取系統(tǒng)相關(guān)特性。

微分代數(shù)方程也在不斷推動(dòng)其他科學(xué)與工程應(yīng)用領(lǐng)域的發(fā)展，大量的研究成果吸引了更多的研究學(xué)者投入到該領(lǐng)域的探索中。相信在不久的將來(lái)，微分代數(shù)方程的研究和應(yīng)用必將產(chǎn)生質(zhì)的飛躍。

5 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)本文的介紹，闡述了微分代數(shù)方程的概念與特點(diǎn)、發(fā)展現(xiàn)狀與應(yīng)用以及相關(guān)電路理論的發(fā)展現(xiàn)狀。本文可以使讀者對(duì)上述理論有大致了解和初步認(rèn)識(shí)，感悟微分代數(shù)方程理論對(duì)科學(xué)與工程應(yīng)用發(fā)展的推動(dòng)作用。相信微分代數(shù)方程理論的不斷發(fā)展與完善，能夠不斷推動(dòng)科學(xué)技術(shù)的變革與進(jìn)步。

【參考文獻(xiàn)】

[1]Venkatasubramanian V， Schattler H， Aboorszky J. Local Bifurcations and feasibility regions in differential algebraic systems[J]. IEEE Trans. Automatic Control， 1995， 40（12）： 1992-2013.

[2]Reich S. On the local qualitative behavior of differential algebraic equations[J]. Circ. Syst. Sig. Process，1995，14（4）：427-443.

[3]陳伯山，廖曉昕，劉永清.非線性微分代數(shù)系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)型和分支[J].應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2000，23（3）：429-443.

[4]陳伯山，劉永清.非線性微分代數(shù)控制系統(tǒng)解耦和反饋鎮(zhèn)定[J].控制理論與應(yīng)用，1999，16（5）：764-766.

[5]Hill D J， Mareels I M Y. Stability theory for differential-algebraic systems with application to power system[J]. IEEE Trans on Circuits and Systems， 1990， 37（11）： 1416-1423.

[責(zé)任編輯：朱麗娜]